《工程科学学报》：一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进（石家庄铁道大学）

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工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进Bouc Wen模型王鹏杨绍普刘永强赵义伟王翠艳 Modified Bouc-Wen model based on a fractional derivative for describing the hysteretic characteristics of magnetorheological elastomers WANG Peng.YANG Shao-pu.LIU Yong-qiang.ZHAO Yi-wei,WANG Cui-yan 引用本文：王鹏，杨绍普，刘永强，赵义伟.王翠艳.一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进Bouc Wer模型[).工程科学学报， 2022,443:389-401.doi:10.13374issn2095-9389.2021.06.23.002 WANG Peng,YANG Shao-pu,LIU Yong-qiang,ZHAO Yi-wei,WANG Cui-yan.Modified Bouc Wen model based on a fractional derivative for describing the hysteretic characteristics of magnetorheological elastomers[J].Chinese Journal of Engineering,2022, 443):389-401.doi:10.13374.issn2095-9389.2021.06.23.002 在线阅读View online::https://doi.org/10.13374j.issn2095-9389.2021.06.23.002 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 一种描述减振器滞回特性的Bouc Weni改进模型 An improved Bouc Wen model for describing hysteretic characteristics of shock absorbers 工程科学学报.2020,4210)：1352 https:loi.org10.13374.issn2095-9389.2019.10.18.001 干/湿状态下HFP搭接接头的剪切蠕变试验及分数阶导数流变模型 Experiment and fractional derivative rheological modeling of the shear creep of HFRP overlap joints under dry and moist environments 工程科学学报.2017,399：1396htps:oi.org10.13374.issn2095-9389.2017.09.013 THMC多场耦合作用下岩石物理力学性能与本构模型研究综述 A review of the research on physical and mechanical properties and constitutive model of rock under THMC multi-field coupling 工程科学学报.2020.42(11)：1389 https:/1oi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.07.29.003 初始温度条件下全尾胶结膏体损伤本构模型 Damage constitutive model of cemented tailing paste under initial temperature effect 工程科学学报.2017,391)：31htps:ldoi.org/10.13374.issn2095-9389.2017.01.004 氨含量对0Crl6Ni5Mo马氏体不锈钢高温热变形行为影响 Effect of nitrogen content on the hot deformation behavior of OCrl6Ni5Mo martensitic stainless steel 工程科学学报.2017,39(10：1525htps:doi.org/10.13374j.issn2095-9389.2017.10.010 临床外科手术中骨切削技术的研究现状及进展 A review of bone cutting in surgery 工程科学学报.2019.41(6：709htps:/doi.org10.13374j.issn2095-9389.2019.06.002

一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进BoucWen模型王鹏杨绍普刘永强赵义伟王翠艳 Modified Bouc−Wen model based on a fractional derivative for describing the hysteretic characteristics of magnetorheological elastomers WANG Peng, YANG Shao-pu, LIU Yong-qiang, ZHAO Yi-wei, WANG Cui-yan 引用本文: 王鹏, 杨绍普, 刘永强, 赵义伟, 王翠艳. 一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进BoucWen模型[J]. 工程科学学报, 2022, 44(3): 389-401. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.23.002 WANG Peng, YANG Shao-pu, LIU Yong-qiang, ZHAO Yi-wei, WANG Cui-yan. Modified BoucWen model based on a fractional derivative for describing the hysteretic characteristics of magnetorheological elastomers[J]. Chinese Journal of Engineering, 2022, 44(3): 389-401. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.23.002 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.23.002 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 一种描述减振器滞回特性的BoucWen改进模型 An improved Bouc Wen model for describing hysteretic characteristics of shock absorbers 工程科学学报. 2020, 42(10): 1352 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.001 干/湿状态下HFRP搭接接头的剪切蠕变试验及分数阶导数流变模型 Experiment and fractional derivative rheological modeling of the shear creep of HFRP overlap joints under dry and moist environments 工程科学学报. 2017, 39(9): 1396 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.09.013 THMC多场耦合作用下岩石物理力学性能与本构模型研究综述 A review of the research on physical and mechanical properties and constitutive model of rock under THMC multi-field coupling 工程科学学报. 2020, 42(11): 1389 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.29.003 初始温度条件下全尾胶结膏体损伤本构模型 Damage constitutive model of cemented tailing paste under initial temperature effect 工程科学学报. 2017, 39(1): 31 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.01.004 氮含量对0Cr16Ni5Mo马氏体不锈钢高温热变形行为影响 Effect of nitrogen content on the hot deformation behavior of 0Cr16Ni5Mo martensitic stainless steel 工程科学学报. 2017, 39(10): 1525 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.10.010 临床外科手术中骨切削技术的研究现状及进展 A review of bone cutting in surgery 工程科学学报. 2019, 41(6): 709 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.06.002

工程科学学报.第44卷，第3期：389-401.2022年3月 Chinese Journal of Engineering,Vol.44,No.3:389-401,March 2022 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.23.002;http://cje.ustb.edu.cn 一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进 Bouc-Wen模型王鹏2)，杨绍普)区，刘永强)，赵义伟2)，王翠艳2) 1)石家庄铁道大学省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室，石家庄0500432)石家庄铁道大学交通运输学院，石家庄0500433)石家庄铁道大学机械工程学院.石家庄050043 ☒通信作者，E-mai:yangsp@stdu.ed山.cn 摘要为了准确表征大范围应变幅值、激励频率和磁场下磁流变弹性体(Magnetorheological elastomer,MRE)的力学行为，本文引入黏弹性分数阶导数，提出一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进Bouc-W©n模型.分析了各向同性与异性MRE的微观形貌特征，对MRE进行了性能试验，研究发现，MRE的储能和损耗模量随着应变幅值(0~100%)增大先不变后减小，随着频率(0~100Hz)增大而增大，随着磁场(0~545T)增大而增大.在此基础上，基于分数阶导数提出改进 Bouc-Wen模型，在Simulink软件中建立仿真模型，利用Oustaloup滤波器算法对分数阶导数项近似计算，对比分析验证了改进模型的有效性，各工况下仿真数据和试验数据的吻合度均高于98%.结果表明：改进Bouc-Wen模型能准确地模拟MRE应力应变滞回曲线，拟合精度较Bouc-Wn模型明显提升，改进模型在较宽的应变幅值、频率和磁场范围内是准确有效的，为实现MRE的工程应用打下基础. 关键词磁流变弹性体：性能试验；分数阶导数：本构模型：滞回特性分类号TB381 Modified Bouc-Wen model based on a fractional derivative for describing the hysteretic characteristics of magnetorheological elastomers WANG Peng2,YANG Shao-pu,LIU Yong-giang,ZHAO Yi-wei2),WANG Cui-yan 1)State Key Laboratory of Mechanical Behavior and System Safety of Traffic Engineering Structures,Shijiazhuang Tiedao University,Shijiazhuang 050043,China 2)School of Transportation,Shijiazhuang Tiedao University,Shijiazhuang 050043,China 3)School of Mechanical Engineering,Shijiazhuang Tiedao University,Shijiazhuang 050043,China Corresponding author,E-mail:yangsp@stdu.edu.cn ABSTRACT As a new type of magnetic sensitivity smart material,magnetorheological elastomers showing a good magnetorheological effect have been broadly applied in the field of intelligent structures and devices.A viscoelastic fractional derivative element was introduced into the stress-strain relationship of magnetorheological elastomers based on the Bouc-Wen model to accurately characterize the mechanical behavior of magnetorheological elastomers under a wide range of strain amplitude,excitation frequency,and magnetic 收稿日期：2021-06-23 基金项目：国家重点研发计划资助项目(2020Y℉B2007700):国家自然科学基金资助项目(11790282,12172235,12072208,52072249)：石家庄铁道大学国家重点实验室开放基金资助项目(ZZ2021-13):河北省研究生创新资助项目(CXZZBS2021112):河北省教育厅科学技术青年基金资助项目(QN2018237)

一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进 Bouc−Wen 模型王鹏1,2)，杨绍普1) 苣，刘永强1,3)，赵义伟1,2)，王翠艳2) 1) 石家庄铁道大学省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室，石家庄 050043 2) 石家庄铁道大学交通运输学院，石家庄 050043 3) 石家庄铁道大学机械工程学院，石家庄 050043 苣通信作者， E-mail: yangsp@stdu.edu.cn 摘要为了准确表征大范围应变幅值、激励频率和磁场下磁流变弹性体 (Magnetorheological elastomer, MRE) 的力学行为，本文引入黏弹性分数阶导数，提出一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进 Bouc−Wen 模型. 分析了各向同性与异性 MRE 的微观形貌特征，对 MRE 进行了性能试验，研究发现，MRE 的储能和损耗模量随着应变幅值 (0～100%) 增大先不变后减小，随着频率 (0～100 Hz) 增大而增大，随着磁场 (0～545 mT) 增大而增大. 在此基础上，基于分数阶导数提出改进 Bouc−Wen 模型，在 Simulink 软件中建立仿真模型，利用 Oustaloup 滤波器算法对分数阶导数项近似计算，对比分析验证了改进模型的有效性，各工况下仿真数据和试验数据的吻合度均高于 98%. 结果表明：改进 Bouc−Wen 模型能准确地模拟 MRE 应力应变滞回曲线，拟合精度较 Bouc−Wen 模型明显提升，改进模型在较宽的应变幅值、频率和磁场范围内是准确有效的，为实现 MRE 的工程应用打下基础. 关键词磁流变弹性体；性能试验；分数阶导数；本构模型；滞回特性分类号 TB381 Modified Bouc−Wen model based on a fractional derivative for describing the hysteretic characteristics of magnetorheological elastomers WANG Peng1,2) ，YANG Shao-pu1) 苣，LIU Yong-qiang1,3) ，ZHAO Yi-wei1,2) ，WANG Cui-yan2) 1) State Key Laboratory of Mechanical Behavior and System Safety of Traffic Engineering Structures, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China 2) School of Transportation, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China 3) School of Mechanical Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China 苣 Corresponding author, E-mail: yangsp@stdu.edu.cn ABSTRACT As a new type of magnetic sensitivity smart material, magnetorheological elastomers showing a good magnetorheological effect have been broadly applied in the field of intelligent structures and devices. A viscoelastic fractional derivative element was introduced into the stress−strain relationship of magnetorheological elastomers based on the Bouc−Wen model to accurately characterize the mechanical behavior of magnetorheological elastomers under a wide range of strain amplitude, excitation frequency, and magnetic 收稿日期: 2021−06−23 基金项目: 国家重点研发计划资助项目（2020YFB2007700）；国家自然科学基金资助项目（11790282,12172235, 12072208, 52072249）；石家庄铁道大学国家重点实验室开放基金资助项目（ZZ2021-13）；河北省研究生创新资助项目（CXZZBS2021112）；河北省教育厅科学技术青年基金资助项目（QN2018237）工程科学学报，第 44 卷，第 3 期：389−401，2022 年 3 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 44, No. 3: 389−401, March 2022 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.23.002; http://cje.ustb.edu.cn

·390 工程科学学报，第44卷.第3期 field and to make it better applied in engineering practice.Further,a modified Bouc-Wen model based on a fractional derivative was proposed to describe the hysteresis characteristics of magnetorheological elastomers.The Bouc-Wen model has good universality and can accurately describe the hysteretic characteristics of the magnetorheological elastomer's nonlinear viscoelastic region,but it cannot accurately simulate magneto-viscoelasticity and frequency dependence.The fractional derivative can express this characteristic with fewer parameters and higher accuracy.The micromorphology characteristics of isotropic and anisotropic magnetorheological elastomers were analyzed,and the performance tests of the magnetorheological elastomers were conducted.The storage and loss modulus of the magnetorheological elastomers initially remain unchanged and then decrease with an increase in strain amplitude(0-100%).Moreover, the storage and loss modulus of the magnetorheological elastomers increase with an increase in frequency(0-100 Hz)and magnetic flux density(0-545 mT).On this basis,a modified Bouc-Wen model was proposed based on the fractional derivative.The simulation model was established using the Simulink software,and the fractional derivative part of the modified model was approximately calculated using the Oustaloup filter algorithm.The effectiveness of the modified model was verified through a comparative analysis.The fitness values of simulation and experimental data under different loading conditions are higher than 98%.Results show that the modified Bouc-Wen model can accurately simulate the stress-strain hysteresis loops of the magnetorheological elastomers,and the fitting accuracy is significantly improved compared with that of the Bouc-Wen model.The modified model is accurate and effective in a wide range of strain amplitudes,frequencies,and magnetic fields,which can lay a foundation for the engineering application of magnetorheological elastomers. KEY WORDS magnetorheological elastomer;performance test;fractional derivative;constitutive model;hysteresis characteristic 磁流变弹性体(Magnetorheological elastomers,. 四边形特征是由弹性基体与磁性颗粒之间发生摩 MRE)是一种新型的磁敏智能材料，由弹性体基擦引起的，故采用库伦摩擦模型描述此种现象山体、磁性粒子和添加剂组成，具有良好的磁流变效 Chen在黏弹性参数模型基础上提出了带库伦摩擦应.与磁流变液相比，MRE具有稳定性好、响应的线性黏弹性模型2)Blom将弹性模型和边界面快、无沉降、无泄漏等特点，在调谐阻尼器、节点衬模型结合，提出了一种新的磁敏(Magneto-sensitive, 套、变刚度悬架等领域具有良好的应用前景-) MS)橡胶非线性本构模型)由于库伦摩擦元件长期以来，许多学者都致力于MRE的研究，对其的存在使得上述模型的滞回曲线具备了平行四边制备、性能测试和性能改善进行了系统的研究B- 形的特征，但不能准确地反映加载过程中切线模目前，磁流变弹性力学特性的研究主要从微量渐变特性观和宏观两个方面进行.微观本构模型是基于磁与整数阶黏弹性模型相比，分数阶模型的优偶极子理论提出的，主要是为了解释磁流变效应势在于能以更少的参数和更高的精度来描述产生的机理，以及磁致模量与各因素之间的关系 MRE的频率依赖性和磁致黏弹性4此外，黏弹微观本构模型有磁偶极子模型、链状模型、柱性材料的力学特性与加载过程密切相关，而分数模型、网格模型图]等.基于磁偶极子理论的微观导数具有时间记忆功能，更适合描述有历史依赖模型解释了磁流变效应产生的原因，但不能全面过程的物理现象6，Xu依据基体黏弹性和磁致黏描述MRE在磁场中的力学行为.此外，基于磁偶弹性，采用分数阶导数形式，提出了磁致黏弹性参极子理论的物理模型结构往往过于复杂，不便于数模型刀Wang建立了分数阶的非线性本构模工程应用型.研究表明，分数阶导数单元可以实现更少的参为使磁流变弹性体应用于工程实际，还需要数和更高的精度来描述频率相关性孔凡采用可以描述其宏观力学行为的模型.宏观力学模型谐波平衡法研究了简谐激励下滞回分数阶系统的应综合考虑外加磁场、激励幅值以及加载频率等稳态响应.结果表明，分数阶数和稳态位移幅值的对MRE力学性能的影响网.黏弹性参数模型广泛关系依赖于系统，分数阶导数模型能以较少的参用于MRE力学特性的预测.Li等o提出了四参数模拟力-位移关系的频率依赖性9，.Wang等2o 数线性黏弹性模型预测MRE的力学特性.该模型鉴于MRE的剪切模量对磁场强度、加载幅值和频可以反映激励频率对磁流变弹性体力学性能的影率的敏感性，建立了含分数阶微分单元的黏弹性响，但对于MRE非线性滞回特性的描述不够准模型.结果表明上述分数阶黏弹性模型能够准确确.一些学者认为大应变下MRE滞回曲线的平行表征磁流变弹性体的频率依赖懒性和磁致黏弹性

field and to make it better applied in engineering practice. Further, a modified Bouc−Wen model based on a fractional derivative was proposed to describe the hysteresis characteristics of magnetorheological elastomers. The Bouc−Wen model has good universality and can accurately describe the hysteretic characteristics of the magnetorheological elastomer’s nonlinear viscoelastic region, but it cannot accurately simulate magneto-viscoelasticity and frequency dependence. The fractional derivative can express this characteristic with fewer parameters and higher accuracy. The micromorphology characteristics of isotropic and anisotropic magnetorheological elastomers were analyzed, and the performance tests of the magnetorheological elastomers were conducted. The storage and loss modulus of the magnetorheological elastomers initially remain unchanged and then decrease with an increase in strain amplitude (0–100%). Moreover, the storage and loss modulus of the magnetorheological elastomers increase with an increase in frequency (0–100 Hz) and magnetic flux density (0–545 mT). On this basis, a modified Bouc−Wen model was proposed based on the fractional derivative. The simulation model was established using the Simulink software, and the fractional derivative part of the modified model was approximately calculated using the Oustaloup filter algorithm. The effectiveness of the modified model was verified through a comparative analysis. The fitness values of simulation and experimental data under different loading conditions are higher than 98%. Results show that the modified Bouc−Wen model can accurately simulate the stress−strain hysteresis loops of the magnetorheological elastomers, and the fitting accuracy is significantly improved compared with that of the Bouc−Wen model. The modified model is accurate and effective in a wide range of strain amplitudes, frequencies, and magnetic fields, which can lay a foundation for the engineering application of magnetorheological elastomers. KEY WORDS magnetorheological elastomer；performance test；fractional derivative；constitutive model；hysteresis characteristic 磁流变弹性体 (Magnetorheological elastomers, MRE) 是一种新型的磁敏智能材料，由弹性体基体、磁性粒子和添加剂组成，具有良好的磁流变效应. 与磁流变液相比，MRE 具有稳定性好、响应快、无沉降、无泄漏等特点，在调谐阻尼器、节点衬套、变刚度悬架等领域具有良好的应用前景[1−2] . 长期以来，许多学者都致力于 MRE 的研究，对其制备、性能测试和性能改善进行了系统的研究[3−4] . 目前，磁流变弹性力学特性的研究主要从微观和宏观两个方面进行. 微观本构模型是基于磁偶极子理论提出的，主要是为了解释磁流变效应产生的机理，以及磁致模量与各因素之间的关系. 微观本构模型有磁偶极子模型[5]、链状模型[6]、柱模型[7]、网格模型[8] 等. 基于磁偶极子理论的微观模型解释了磁流变效应产生的原因，但不能全面描述 MRE 在磁场中的力学行为. 此外，基于磁偶极子理论的物理模型结构往往过于复杂，不便于工程应用. 为使磁流变弹性体应用于工程实际，还需要可以描述其宏观力学行为的模型. 宏观力学模型应综合考虑外加磁场、激励幅值以及加载频率等对 MRE 力学性能的影响[9] . 黏弹性参数模型广泛用于 MRE 力学特性的预测. Li 等[10] 提出了四参数线性黏弹性模型预测 MRE 的力学特性. 该模型可以反映激励频率对磁流变弹性体力学性能的影响，但对于 MRE 非线性滞回特性的描述不够准确. 一些学者认为大应变下 MRE 滞回曲线的平行四边形特征是由弹性基体与磁性颗粒之间发生摩擦引起的，故采用库伦摩擦模型描述此种现象[11] . Chen 在黏弹性参数模型基础上提出了带库伦摩擦的线性黏弹性模型[12] . Blom 将弹性模型和边界面模型结合，提出了一种新的磁敏 (Magneto-sensitive， MS) 橡胶非线性本构模型[13] . 由于库伦摩擦元件的存在使得上述模型的滞回曲线具备了平行四边形的特征，但不能准确地反映加载过程中切线模量渐变特性. 与整数阶黏弹性模型相比，分数阶模型的优势在于能以更少的参数和更高的精度来描述 MRE 的频率依赖性和磁致黏弹性[14−15] . 此外，黏弹性材料的力学特性与加载过程密切相关，而分数导数具有时间记忆功能，更适合描述有历史依赖过程的物理现象[16] . Xu 依据基体黏弹性和磁致黏弹性，采用分数阶导数形式，提出了磁致黏弹性参数模型[17] . Wang 建立了分数阶的非线性本构模型. 研究表明，分数阶导数单元可以实现更少的参数和更高的精度来描述频率相关性[18] . 孔凡采用谐波平衡法研究了简谐激励下滞回分数阶系统的稳态响应. 结果表明，分数阶数和稳态位移幅值的关系依赖于系统，分数阶导数模型能以较少的参数模拟力‒位移关系的频率依赖性[19] . Wang 等[20] 鉴于 MRE 的剪切模量对磁场强度、加载幅值和频率的敏感性，建立了含分数阶微分单元的黏弹性模型. 结果表明上述分数阶黏弹性模型能够准确表征磁流变弹性体的频率依赖性和磁致黏弹性. · 390 · 工程科学学报，第 44 卷，第 3 期

王鹏等：一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进Bouc-Wen模型 391· Bouc-Wen模型已广泛用于描述场相关的非别标记为CIP80%各向同性、CIP80%各向异性、线性滞回系统和其他复杂动态特性.Dominguez等2] CIP60%各向同性、CIP60%各向异性.CIP由江苏把磁流变阻尼器的励磁电流作为变量引入到天一超细金属粉末有限公司购买，平均粒径5.5m, Bouc-Wen模型，使得模型能够考虑不同电流强使用的添加剂主要有硬脂酸(Stearic Acid,SA)、氧度对磁流变阻尼器力学特性的影响.Yang2四首次化锌(ZnO)、促进剂(CZ)、防老剂(RD)、防老剂采用Bouc-Wen模型用于模拟MRE隔振器的力学 (401ONA)、古马隆树脂(Coumarone resin)、硫磺特性.研究表明，Bouc-Wen模型能有效模拟MRE (S),天然橡胶和添加剂均由衡水中铁建工程橡胶非线性黏弹区的滞回特性，但不能准确反映滞回有限责任公司提供.MRE的成分配比如表1所示曲线对频率的依赖性.许多学者不断对Bouc-Wen 所用的设备有：C℉-2L型密炼机（东莞市昶丰机械模型进行修正，赵义伟等21针对Bouc-Wen模型科技有限公司生产)、RL-6型开炼机（佰弘机械有在非识别激励工况下模拟的阻尼力与实际阻尼力限公司生产)、M-2000-AN型硫化仪（高铁检测仪误差较大问题，提出了一种描述减振器滞回特性器有限公司生产)、XLB-25型平板硫化机（邢台维的改进模型.Xu等2在Bouc-Wen模型基础上，斯特机械有限公司生产)等，MRE制备流程如图1 同时考虑磁流变液温升效应和惯性效应，提出了所示带质量元素的温度唯象模型.Wang等考虑了 MRE的非线性、频率依赖性，提出了基于Bouc-Wen 表1MRE的成分配比的MRE非线性本构模型，上述Bouc-Wen模型能 Table 1 Composition of MRE 够模拟MRE的应力应变的非线性特性，但由于 Coumarone resin SA ZnO CZ RD 4010NA S NR CIP Bouc-Wen滞回算子在正弦荷载作用下的滞回曲 12 5 0.5 3 2 3100 190 线与加载频率无关，Bouc-Wen模型仅由弹簧和阻 12 1 0.5 3 3100 506 尼元件构成的Kelvin模型不能准确地表征MRE的磁致黏弹性和频率依赖性.因此需要对Bouc-Wen 模型进一步改进 NR SA.ZnO.CZ. 综上可知，上述模型在描述磁流变弹性体的 RD,4010NA.S 力学行为时既具有一定的独特性，又表现出某些 Rubber mixing 局限性.Bouc-Wen模型通用性好，能够很好地模 by internal mixer CIP and 拟大应变荷载下的非线性滞回特征，但不能准确 coumarone resin 预测MRE的磁致黏弹性和频率依赖性.而分数阶 Rubber mixing by open mill 导数模型却能以更少的参数和更高的精度来描述这一特性.此外，分数阶导数具有记忆性功能，更 Determination 适合描述MRE的黏弹性在加载过程中表现出的 of curing time 历史依赖性.为了准确表征大范围应变幅值、激励 Vulcanization of plate 频率和磁场下MRE的力学行为.本文在Bouc-Wen vulcanization machine 模型的基础上，将黏弹性分数阶导引入到MRE的应力应变关系中，提出一种描述磁流变弹性体滞 Isotropic MRE 回特性的分数阶导数改进Bouc-Wen模型.通过图1MRE制备实验流程对剪切模式下测得的应力应变实验数据进行拟 Fig.1 Experimental process of MRE preparation 合，实现了模型参数的识别，验证了模型的有效性通过扫描电子显微镜(Scanning electron 1MRE力学特性实验分析 microscope,SEM)观察MRE的截面形貌，观察前 1.1制备及性能试验对样品进行表面喷金处理.图2为MRE的截面形选用天然橡胶(Natural rubber,NR)、羰基铁粉貌图，图中所示呈分散相的白色球形颗粒为CP, (Carbonyl iron particles,CIP)和添加剂作为原材料，连续相的黑色部分为天然橡胶基体通过塑练、混炼、硫化等工艺制备了不同CP质量由图2可知，MRE4种样品的CIP颗粒表面被分数(60%、80%)的各向同性和各向异性MRE,分天然橡胶包裹且浸润性良好，颗粒与橡胶基体之

Bouc−Wen 模型已广泛用于描述场相关的非线性滞回系统和其他复杂动态特性. Dominguez 等[21] 把磁流变阻尼器的励磁电流作为变量引入到 Bouc‒Wen 模型，使得模型能够考虑不同电流强度对磁流变阻尼器力学特性的影响. Yang[22] 首次采用 Bouc−Wen 模型用于模拟 MRE 隔振器的力学特性. 研究表明，Bouc‒Wen 模型能有效模拟 MRE 非线性黏弹区的滞回特性，但不能准确反映滞回曲线对频率的依赖性. 许多学者不断对 Bouc−Wen 模型进行修正，赵义伟等[23] 针对 Bouc−Wen 模型在非识别激励工况下模拟的阻尼力与实际阻尼力误差较大问题，提出了一种描述减振器滞回特性的改进模型. Xu 等[24] 在 Bouc−Wen 模型基础上，同时考虑磁流变液温升效应和惯性效应，提出了带质量元素的温度唯象模型. Wang 等[25] 考虑了 MRE 的非线性、频率依赖性，提出了基于 Bouc−Wen 的 MRE 非线性本构模型. 上述 Bouc−Wen 模型能够模拟 MRE 的应力应变的非线性特性，但由于 Bouc−Wen 滞回算子在正弦荷载作用下的滞回曲线与加载频率无关，Bouc−Wen 模型仅由弹簧和阻尼元件构成的 Kelvin 模型不能准确地表征 MRE 的磁致黏弹性和频率依赖性. 因此需要对 Bouc−Wen 模型进一步改进. 综上可知，上述模型在描述磁流变弹性体的力学行为时既具有一定的独特性，又表现出某些局限性. Bouc−Wen 模型通用性好，能够很好地模拟大应变荷载下的非线性滞回特征，但不能准确预测 MRE 的磁致黏弹性和频率依赖性. 而分数阶导数模型却能以更少的参数和更高的精度来描述这一特性. 此外，分数阶导数具有记忆性功能，更适合描述 MRE 的黏弹性在加载过程中表现出的历史依赖性. 为了准确表征大范围应变幅值、激励频率和磁场下 MRE 的力学行为. 本文在 Bouc−Wen 模型的基础上，将黏弹性分数阶导引入到 MRE 的应力应变关系中，提出一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进 Bouc−Wen 模型. 通过对剪切模式下测得的应力应变实验数据进行拟合，实现了模型参数的识别，验证了模型的有效性. 1 MRE 力学特性实验分析 1.1 制备及性能试验选用天然橡胶 (Natural rubber, NR)、羰基铁粉 (Carbonyl iron particles, CIP) 和添加剂作为原材料，通过塑练、混炼、硫化等工艺制备了不同 CIP 质量分数 (60%、80%) 的各向同性和各向异性 MRE，分别标记为 CIP80% 各向同性、CIP80% 各向异性、 CIP60% 各向同性、CIP60% 各向异性. CIP 由江苏天一超细金属粉末有限公司购买，平均粒径 5.5 μm，使用的添加剂主要有硬脂酸 (Stearic Acid, SA)、氧化锌 (ZnO)、促进剂 (CZ)、防老剂 (RD)、防老剂 (4010NA)、古马隆树脂 (Coumarone resin)、硫磺 (S)，天然橡胶和添加剂均由衡水中铁建工程橡胶有限责任公司提供. MRE 的成分配比如表 1 所示. 所用的设备有：CF-2L 型密炼机 (东莞市昶丰机械科技有限公司生产)、RL-6 型开炼机 (佰弘机械有限公司生产)、M-2000-AN 型硫化仪 (高铁检测仪器有限公司生产)、XLB-25 型平板硫化机 (邢台维斯特机械有限公司生产) 等，MRE 制备流程如图 1 所示. 表 1 MRE 的成分配比 Table 1 Composition of MRE g Coumarone resin SA ZnO CZ RD 4010NA S NR CIP 12 1 5 0.5 3 2 3 100 190 12 1 5 0.5 3 2 3 100 506 NR, SA, ZnO, CZ, RD, 4010NA, S Rubber mixing by internal mixer CIP and coumarone resin Rubber mixing by open mill Determination of curing time Vulcanization of plate vulcanization machine Isotropic MRE 图 1 MRE 制备实验流程 Fig.1 Experimental process of MRE preparation 通过扫描电子显微镜 (Scanning electron microscope, SEM) 观察 MRE 的截面形貌，观察前对样品进行表面喷金处理. 图 2 为 MRE 的截面形貌图，图中所示呈分散相的白色球形颗粒为 CIP，连续相的黑色部分为天然橡胶基体. 由图 2 可知，MRE 4 种样品的 CIP 颗粒表面被天然橡胶包裹且浸润性良好，颗粒与橡胶基体之王鹏等：一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进 Bouc−Wen 模型 · 391 ·

间存在一些桥接结构，说明颗粒与基体的界面结合能力比较强. 各向同性 MRE 的 CIP 随机均匀分布在橡胶基体中，而各向异性 MRE 的基体中有许多直线状沟壑，CIP 沿着硫化时施加的取向磁场的方向形成链状结构，与各向同性 MRE 的截面形貌明显不同. 采用奥地利安东帕公司生产的旋转流变仪 (Physica MCR 301) 对 MRE 进行动态性能试验. 图 3 为旋转流变仪、试件及测试示意图，其中试件为直径 20 mm，厚度 1 mm 的 MRE 圆片. 测试时，首先将试件放置于下平台的中心，随后上部转子向下运动直至与试件上表面接触，并施加法向力 (3 N) 使试件与上下极板紧密贴合，防止试件发生滑动. 旋转流变仪通过改变线圈电流实现在平行板系统上施加不同的磁场，上部转子按照设定程序施加平行于试件的旋转剪切应变激励，并由内部精密传感器测定试件反馈的应力，经过仪器控制软件计算得到所需结果. 在振荡剪切测试模式下，每个正弦应变加载周期内软件可记录 257 个应力应变数据点，根据这些数据点可绘制每个正弦应变加载周期内的应力应变曲线. 选用振荡剪切模式，在不同应变幅值、频率和 (a) (b) B (c) 50.0 μm 100 μm B (d) 100 μm 100 μm 图 2 MRE 的截面形貌. （a）CIP60% 各向同性；（b）CIP80% 各向同性；（c）CIP60% 各向异性；（d）CIP80% 各向异性 Fig.2 Cross section of MRE: (a) CIP60% isotropic; (b) CIP80% isotropic; (c) CIP60% anisotropic; (d) CIP80% anisotropy (a) (b) (c) (d) Direction of shear Normal force Magnetic field lines Rotating plate MRE Bed Electromagnet 图 3 （a，b）旋转流变仪；（c）MRE 试件；（d）测试示意图 Fig.3 (a, b) Rotary rheometer; (c) MRE specimen; (d) schematic of the measuring system · 392 · 工程科学学报，第 44 卷，第 3 期

王鹏等：一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进Bouc-Wen模型 393· 磁场下对MRE的动态黏弹性进行扫描测试.另变幅值的增大，CIP80%的MRE损耗模量先保持外，对MRE加载正弦应变激励，测试其在不同应不变后不断减小，而CIP60%的MRE损耗模量先变幅值、频率和磁场下的应力响应小幅增加随后减小.另外，CIP80%的MRE的储能 1.2MRE力学特性分析模量开始出现下降时对应的应变幅值明显小于佩恩效应是MRE重要力学特性之一，表现为 CIP60%的MRE,说明CIP80%的MRE的线性黏储能模量随着应变幅值的增加而急剧下降]图4 弹区较小，原因是羰基铁粉含量增加会降低橡胶为磁感应强度234mT,频率1Hz时，MRE的储能基体的交联密度，使基体分子链稳定性变弱，相同模量和损耗模量随应变幅值的变化曲线应变下使储能模量更小由图4可知，MRE的储能模量变化趋势相同，分析应变频率对MRE动态黏弹性的影响在一个较小的应变范围内保持不变，该应变范围图5显示了应变幅值0.05%时，不同磁感应强度称为MRE的线性黏弹区，当应变幅值继续增大， B下，MRE的储存模量和损耗模量随应变频率的储能模量快速减小，呈现明显的佩恩效应.随着应变化曲线 103 103 (a) (b) -CIP80%anisotropic -。CIP80%isotropic CIP60%anisotropic ★CIP60%isotropic sninp 多10生88888号8880680 鲁-CIP80%anisotropic 6488 10 -。CIP80%isotropic CIP60%anisotropic CIP60%isotropic 100 10L 10-P2 10P 102 102 10° 102 Strain amplitude/% Strain amplitude/ 图4MRE的储能和损耗模量随应变幅值的变化曲线.(a)储能模量：(b)损耗模量 Fig.4 Storage modulus(a)and loss modulus(b)curves of MRE with strain amplitude 由图5可知，MRE的储能模量和损耗模量随零场模量高于各向同性，即CP链状结构排列比着应变频率增加而增大，因为当频率增加时，橡胶其均匀分布具有更高的零场模量、磁感应强度基体中分子链的应变跟不上应力的变化速度，这 545mT时，储能模量由高到低分别为：529、364、会造成分子链的纠缠，从而使CP与基体间相互 144和72kPa,损耗模量由高到低分别为：182、作用增强，使MRE的储能模量与损耗模量变大， 113、20和10kPa,其中CIP80%各向异性的最大储可见储能模量和损耗模量都具有频变特性.同时，能模量是零场储能模量的2.7倍，最大损耗模量是随着磁感应强度增大，储能模量和损耗模量增加，零场损耗模量的3.2倍反映了MRE的磁流变效应.当频率和磁场相同时，需要指出的是MRE的磁流变效应随着应变 CIP80%各向异性的储能模量和损耗模量最大，幅值增加呈减小趋势.因此，当应变幅值增加时制 CIP60%各向同性的储能模量和损耗模量最小. 备的MRE的最大磁流变效应会有所降低.为使橡分析磁场对MRE动态黏弹性的影响.图6为胶基MRE在大应变工程应用中具有良好的磁流应变幅值0.05%，频率1Hz时，MRE的储能模量和变效应，开展进一步提升橡胶基MRE磁流变效应损耗模量随磁感应强度的变化曲线的研究仍是必要的由图6可知，MRE的储能模量、损耗模量随着 2MRE本构模型磁感应强度的增加而增大，磁流变效应明显.磁感应强度为0mT(零场)时，4种样品的储能模量由 2.1改进Bouc-Wen模型高到低分别为：193、174、85和50kPa,损耗模量由 Bouc-Wen滞回单元最早由Bouc和Wen提出，高到低分别为：57、44、10和6kPa,说明CIP质量该模型采用非线性微分方程来描述磁滞特性，由分数的增加使MRE零场模量增加，各向异性MRE 两条光滑的曲线组成，精度较高，具有很强的灵活

磁场下对 MRE 的动态黏弹性进行扫描测试. 另外，对 MRE 加载正弦应变激励，测试其在不同应变幅值、频率和磁场下的应力响应. 1.2 MRE 力学特性分析佩恩效应是 MRE 重要力学特性之一，表现为储能模量随着应变幅值的增加而急剧下降[3] . 图 4 为磁感应强度 234 mT，频率 1 Hz 时，MRE 的储能模量和损耗模量随应变幅值的变化曲线. 由图 4 可知，MRE 的储能模量变化趋势相同，在一个较小的应变范围内保持不变，该应变范围称为 MRE 的线性黏弹区[4] ；当应变幅值继续增大，储能模量快速减小，呈现明显的佩恩效应. 随着应变幅值的增大，CIP80% 的 MRE 损耗模量先保持不变后不断减小，而 CIP60% 的 MRE 损耗模量先小幅增加随后减小. 另外，CIP80% 的 MRE 的储能模量开始出现下降时对应的应变幅值明显小于 CIP60% 的 MRE，说明 CIP80% 的 MRE 的线性黏弹区较小，原因是羰基铁粉含量增加会降低橡胶基体的交联密度，使基体分子链稳定性变弱，相同应变下使储能模量更小. 分析应变频率对 MRE 动态黏弹性的影响 . 图 5 显示了应变幅值 0.05% 时，不同磁感应强度 B 下，MRE 的储存模量和损耗模量随应变频率的变化曲线. Strain amplitude/% CIP80% anisotropic CIP80% isotropic CIP60% anisotropic CIP60% isotropic Storage modulus/kPa 100 101 102 103 10−2 100 102 (a) Loss modulus/kPa 100 101 102 103 Strain amplitude/% 10−2 100 102 (b) CIP80% anisotropic CIP80% isotropic CIP60% anisotropic CIP60% isotropic 图 4 MRE 的储能和损耗模量随应变幅值的变化曲线. （a）储能模量；（b）损耗模量 Fig.4 Storage modulus (a) and loss modulus (b) curves of MRE with strain amplitude 由图 5 可知，MRE 的储能模量和损耗模量随着应变频率增加而增大，因为当频率增加时，橡胶基体中分子链的应变跟不上应力的变化速度，这会造成分子链的纠缠，从而使 CIP 与基体间相互作用增强，使 MRE 的储能模量与损耗模量变大，可见储能模量和损耗模量都具有频变特性. 同时，随着磁感应强度增大，储能模量和损耗模量增加，反映了 MRE 的磁流变效应. 当频率和磁场相同时， CIP80% 各向异性的储能模量和损耗模量最大， CIP60% 各向同性的储能模量和损耗模量最小. 分析磁场对 MRE 动态黏弹性的影响. 图 6 为应变幅值 0.05%，频率 1 Hz 时，MRE 的储能模量和损耗模量随磁感应强度的变化曲线. 由图 6 可知，MRE 的储能模量、损耗模量随着磁感应强度的增加而增大，磁流变效应明显. 磁感应强度为 0 mT (零场) 时，4 种样品的储能模量由高到低分别为：193、174、85 和 50 kPa，损耗模量由高到低分别为：57、44、10 和 6 kPa，说明 CIP 质量分数的增加使 MRE 零场模量增加，各向异性 MRE 零场模量高于各向同性，即 CIP 链状结构排列比其均匀分布具有更高的零场模量. 磁感应强度 545 mT 时，储能模量由高到低分别为： 529、364、 144 和 72 kPa，损耗模量由高到低分别为： 182、 113、20 和 10 kPa，其中 CIP80% 各向异性的最大储能模量是零场储能模量的 2.7 倍，最大损耗模量是零场损耗模量的 3.2 倍. 需要指出的是 MRE 的磁流变效应随着应变幅值增加呈减小趋势. 因此，当应变幅值增加时制备的 MRE 的最大磁流变效应会有所降低. 为使橡胶基 MRE 在大应变工程应用中具有良好的磁流变效应，开展进一步提升橡胶基 MRE 磁流变效应的研究仍是必要的. 2 MRE 本构模型 2.1 改进 Bouc‒Wen 模型 Bouc−Wen 滞回单元最早由 Bouc 和 Wen 提出，该模型采用非线性微分方程来描述磁滞特性，由两条光滑的曲线组成，精度较高，具有很强的灵活王鹏等：一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进 Bouc−Wen 模型 · 393 ·

394 工程科学学报，第44卷，第3期 103 (a) 10(b) 日 102 ed/sn 苦菩营者者喜清喜著喜著 y/sn e-B=0 mT -B=0mT 10 --B=115 mT -0-B=115 mT 4-B=234mT B=234 mT Storage modulus ★B=456mT 10' Storage modulus ★B=456mT -Loss modulus B=545mT -Loss modulus B=545 mT 1 10- 10° 10 103 10- 10° 10 102 Frequency/Hz Frequency/Hz (c) 102 102 (d) 差三10 备音名君合备备奇名名名名辛 -8-B=0mT 式注甘对 -B=0mT 10 B=115 mT 10° B=115 mT 。B=234mT -B=234 mT Storage modulus ★B=456mT Storage modulus *-B=456mT ---Loss modulus ◆-B=545mT ---Loss modulus ◆B=545mT 10 10 10- 10° 10 102 10 10p 10 102 Frequency/Hz Frequency/Hz 图5MRE的储能和损耗模量随应变频率的变化曲线.(a)CIP80%各向同性：(b)CIP80%各向异性：(c)CIP60%各向同性：()CIP60%各向异性 Fig.5 Storage and loss modulus curves of MRE with strain frequency:(a)CIP80%isotropic;(b)CIP80%anisotropic;(c)CIP60%isotropic;(d)CIP60% anisotropic 600 200 (a) (b) 500 -CIP80%anisotropic CIP80%anisotropic o-CIP80%isotropic 150 CIP80%isotropic A-CIP60%anisotropic -CIP60%anisotropic 400 ◆-CIP60%isotropic ★CIP60%isotropic 300 200 15T 100 0 0 0 200 400 600 0 200 400 600 Magnetic flux density/mT Magnetic flux density/mT 图6MRE储能和损耗模量随磁感应强度的变化曲线.(a)储能模量：(6)损耗模量 Fig.6 Storage modulus(a)and loss modulus(b)of MRE with magnetic flux density 性，是一种经典的描述滞回曲线的模型.Yang等a 式中，F为模型输出力，x、分别为位移和速度，k、首次将Bouc-Wen模型用于拟合MRE隔振器的力- c分别为刚度和阻尼系数，参数：为中间变量，是位移关系，该模型由Bouc-Wen滞回单元、弹簧单 :关于时间的一阶导数，α介于0到1之间，表征模元和黏滞阻尼单元并联组成.控制方程为：型的线性程度，A、n、B、y是量纲一参数，共同决定了滞回曲线的形状和大小 F=akx+(1-a)kz+c (1) 分数阶导数能很好地模拟系统响应的黏弹特之=At-yl"-l-Br (2) 性，在黏弹性材料的建模中备受关注.黏弹性材料

性，是一种经典的描述滞回曲线的模型. Yang 等[22] 首次将 Bouc−Wen 模型用于拟合 MRE 隔振器的力‒ 位移关系，该模型由 Bouc−Wen 滞回单元、弹簧单元和黏滞阻尼单元并联组成. 控制方程为： F = αkx+(1−α)kz+cx˙ （1） z˙ = Ax˙ −γ|x˙|z|z| n−1 −βx˙|z| n （2） x˙ z˙ 式中，F 为模型输出力，x、分别为位移和速度，k、 c 分别为刚度和阻尼系数，参数 z 为中间变量，是 z 关于时间的一阶导数，α 介于 0 到 1 之间，表征模型的线性程度，A、n、β、γ 是量纲一参数，共同决定了滞回曲线的形状和大小. 分数阶导数能很好地模拟系统响应的黏弹特性，在黏弹性材料的建模中备受关注. 黏弹性材料 Frequency/Hz 10−1 100 101 102 10−1 100 101 102 Modulus/kPa Frequency/Hz 100 101 102 103 10−1 100 101 102 Modulus/kPa B=0 mT B=115 mT B=234 mT B=456 mT B=545 mT (c) (a) Storage modulus Loss modulus B=0 mT B=115 mT B=234 mT B=456 mT B=545 mT Storage modulus Loss modulus Frequency/Hz 10−1 100 101 102 10−1 100 101 102 Modulus/kPa Frequency/Hz 101 102 103 10−1 100 101 102 Modulus/kPa (d) (b) B=0 mT B=115 mT B=234 mT B=456 mT B=545 mT Storage modulus Loss modulus B=0 mT B=115 mT B=234 mT B=456 mT B=545 mT Storage modulus Loss modulus 图 5 MRE 的储能和损耗模量随应变频率的变化曲线. （a）CIP80% 各向同性；（b）CIP80% 各向异性；（c）CIP60% 各向同性；（d）CIP60% 各向异性 Fig.5 Storage and loss modulus curves of MRE with strain frequency: (a) CIP80% isotropic; (b) CIP80% anisotropic; (c) CIP60% isotropic; (d) CIP60% anisotropic 0 200 400 600 Magnetic flux density/mT 0 100 200 300 400 500 600 Storage modulus/kPa CIP80% anisotropic CIP80% isotropic CIP60% anisotropic CIP60% isotropic (a) 0 200 400 600 Magnetic flux density/mT CIP80% anisotropic CIP80% isotropic CIP60% anisotropic CIP60% isotropic 0 50 100 150 200 Loss modulus/kPa (b) 图 6 MRE 储能和损耗模量随磁感应强度的变化曲线. （a）储能模量；（b）损耗模量 Fig.6 Storage modulus (a) and loss modulus (b) of MRE with magnetic flux density · 394 · 工程科学学报，第 44 卷，第 3 期

王鹏等：一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进Bouc-Wen模型 395 的力学特性与时间相关，介于理想弹性体和理想 5+ 黏性体之间，具有记忆性功能.采用分数阶导数能 sP≈us+ (9) 够用较少的参数来准确地描述黏弹性材料的力学式中，N为滤波器的阶次.滤波器的零点和极点特性，并且适用于较宽的频率范围.因此，将分别为： MRE复杂的形变恢复力用等效的黏弹性阻尼元件表示，把分数阶导数引入到MRE的应力应变关系 w氵=w(Vh/)2i-l-p/N (10) 中，提出引人分数阶导数黏滞特性的改进Bouc-Wen wi=wb(Vwn/wb)2i-1+p)IN (11) 模型（如图7）.模型的控制方程为：设x()是滤波器的输入信号，则输出信号近似 Bouc-Wen 等于Dx(0.例如当分数阶算子为s,选定的频率段范围为0.001~1000rads,当Oustaloup滤波器阶次分别取5、7和9时，得到的频响曲线如图8 所示.由图8可知滤波器阶次N=9时，该算法在选 WWWW 定的频率段内所得结果与真实值非常接近 50 (a) ----W=5 ---W=9 N=7 图7改进Bouc-Wen模型 True value Fig.7 Modified Bouc-Wen model 0 F=akx+(1-a)k+cDPx (3) 50 10-2 100 102 10 Frequency/(rad.s-) 立=At-yM-1-B” (4) 60r (b) 式中，p为分数阶导数阶次，其值介于0~1.Dx为应变x关于时间1的p阶导数，其他参数含义同 30 ----N=5 -N=9 Bouc-Wen模型. N=7 True value 2.2分数阶导数项计算 10 10° 102 10 Frequency/(rad's) 分数阶导数的定义有多种形式，本文采用Caputo 图8颜率响应曲线.(a)幅凝：(b)相频型定义来描述： Fig.8 Frequency response curves:(a)amplitude-frequency;(b)phase- 以0=m-n6-pdr 1 frequency (5) 式中，Te)为Gamma函数，满足： 3MRE模型验证 rG-bed (6) 3.1参数识别算法在诸多的优化算法中，粒子群算法(Particle 设MRE性能试验时施加的剪切应变为： swarm optimization,.PSO)具有较好的寻优能力，尤 x(t)=xm sin(wt+) (7) 其针对复杂的工程问题，能够迅速找到近似解.假其中，xm为应变幅值，0为角频率，9为相位角设在D维的搜索空间中，有M个粒子构成一个群根据文献[26]对分数阶导数项化简，可得：体X,当前的迭代次数为1，粒子i当前位置X,飞行速度'，粒子当前最优位置q粒子群的当前最 DPx(t)=xmoP sin(p/2+wt+) (8) 优位置g每个粒子的位置就是一个潜在的解，代分数阶导数的求解常用的算法有：近似解析入目标函数L计算适应值，根据适应值的大小衡法、数值解法、滤波器算法，本文采用Oustaloup滤量解的优劣.第i个粒子最优位置更新：波器算法进行近似计算2-2，基本思想是在选定 q), L[X(d+1)】≥L[q(d] 的频率段(bo)内做分数阶算子sP的近似替换， q(d+1)= X(a+1),L[X(d+1]<g:(a)] ,分别为滤波器拟合频率段的上下限.根据 (12) 该思想构造Oustaloup滤波器：粒子群当前最优位置由下式确定：

的力学特性与时间相关，介于理想弹性体和理想黏性体之间，具有记忆性功能. 采用分数阶导数能够用较少的参数来准确地描述黏弹性材料的力学特性，并且适用于较宽的频率范围 . 因此，将 MRE 复杂的形变恢复力用等效的黏弹性阻尼元件表示，把分数阶导数引入到 MRE 的应力应变关系中，提出引入分数阶导数黏滞特性的改进 Bouc−Wen 模型 (如图 7). 模型的控制方程为： k cDt p x Bouc‒Wen 图 7 改进 Bouc−Wen 模型 Fig.7 Modified Bouc−Wen model F = αkx+(1−α)kz+cD p t x （3） z˙ = Ax˙ −γ|x˙|z|z| n−1 −βx˙|z| n （4） D p t 式中，p 为分数阶导数阶次，其值介于 0～1. x为应变 x 关于时间 t 的 p 阶导数，其他参数含义同 Bouc−Wen 模型. 2.2 分数阶导数项计算分数阶导数的定义有多种形式，本文采用 Caputo 型定义来描述： D p t x(t) = 1 Γ(1− p) w t 0 x˙(τ) (t−τ) p dτ （5）式中， Γ(z) 为 Gamma 函数，满足： Γ(z) = w ∞ 0 e −t t z−1 dt （6）设 MRE 性能试验时施加的剪切应变为： x(t) = xm sin(ωt+φ) （7）其中，xm 为应变幅值，ω 为角频率，φ 为相位角. 根据文献 [26] 对分数阶导数项化简，可得： D p t x(t) = xmω p sin(pπ/2+ωt+φ) （8）分数阶导数的求解常用的算法有：近似解析法、数值解法、滤波器算法，本文采用 Oustaloup 滤波器算法进行近似计算[27−28] ，基本思想是在选定的频率段 (ωb , ωh ) 内做分数阶算子 s p 的近似替换， ωb , ωh 分别为滤波器拟合频率段的上下限. 根据该思想构造 Oustaloup 滤波器： s p ≈ ω p h ∏ N i s+ω ∗ i s+ωi （9） ω ∗ i ωi 式中，N 为滤波器的阶次. 滤波器的零点和极点分别为： ω ∗ i = ωb( √ ωh/ωb) (2i−1−p)/N （10） ωi = ωb( √ ωh/ωb) (2i−1+p)/N （11） D p t x(t) 设 x(t) 是滤波器的输入信号，则输出信号近似等于 . 例如当分数阶算子为 s 0.5，选定的频率段范围为 0.001～1000 rad·s−1 ，当 Oustaloup 滤波器阶次分别取 5、7 和 9 时，得到的频响曲线如图 8 所示. 由图 8 可知滤波器阶次 N=9 时，该算法在选定的频率段内所得结果与真实值非常接近. 10−4 10−2 100 102 104 −50 0 50 Magnitude/dB Frequency/(rad·s−1) N=7 N=5 N=9 True value (a) 0 30 60 Phase/(°) 10−4 10−2 100 102 104 Frequency/(rad·s−1) N=7 N=5 N=9 True value (b) 图 8 频率响应曲线. （a）幅频；（b）相频 Fig.8 Frequency response curves: (a) amplitude-frequency; (b) phasefrequency 3 MRE 模型验证 3.1 参数识别算法在诸多的优化算法中，粒子群算法 (Particle swarm optimization, PSO) 具有较好的寻优能力，尤其针对复杂的工程问题，能够迅速找到近似解. 假设在 D 维的搜索空间中，有 M 个粒子构成一个群体 X，当前的迭代次数为 λ，粒子 i 当前位置 Xi，飞行速度 Vi，粒子当前最优位置 qi，粒子群的当前最优位置 g. 每个粒子的位置就是一个潜在的解，代入目标函数 L 计算适应值，根据适应值的大小衡量解的优劣. 第 i 个粒子最优位置更新： qi(λ+1) =      qi(λ), L[Xi(λ+1)] ⩾ L[qi(λ)] Xi(λ+1), L[Xi(λ+1)] < L[qi(λ)] （12）粒子群当前最优位置由下式确定：王鹏等：一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进 Bouc−Wen 模型 · 395 ·

396 工程科学学报，第44卷，第3期 L[g()]min(L[g()].....L[qm()] (13) 粒子在搜索空间中的速度更新公式： (d+1)=(+dn[q(d)-j(a]+d2r2 Out [g()-xj(] (14) 粒子在搜索空间中的位置更新公式： j(d+1)=x(d)+j(d+1) (15) 其中，i=[1,2,M,产[1,2，D:n为惯性权重； Out d山和d是加速常数；n1和2是(0,1)内的随机数设定粒子的速度区间(ymin'ma,位置范围(xmim xmax),如果超出范围则取边界值. 粒子群优化算法具有很好的优化能力，但局 Out 1 部搜索性能较差，导致求解结果存在较大的偏差而遗传算法(Genetic algorithm,GA)具有出色的局部搜索能力，但优化过程耗时且对种群初始化敏图9 Simulink建立的改进Bouc-Wen模型感.本文将GA和PSO算法相结合2四，各取所长， Fig.9 Modified Bouc-Wen model in Simulink 用于MRE力学模型的参数识别.将Spencer提出的误差计算公式作为参数识别的目标函数L0,公 Initial population and speed 式如下： MRE model (rest-rim)2 in Simulink L= Vmi1 (16) 1 m /(-c2 Calculate the Test data Vm台 fitness value of MRE 式中，cst为MRE的剪切应力试验数据，s为试验 Update extreme position 数据的均值，tim为剪切应力的仿真数据，m为数据点个数.目标函数反映的是仿真值与试验值间的误差率，100%减去误差率即为仿真数据的吻 Meet termination Yes Output conditions results 合率根据改进Bouc-Wen模型的控制方程在 No Simulink软件中搭建仿真模型，如图9所示，图中 Update extreme position 模块表示积分，实现到：的积分运算.0表示位移x的初值.MRE力学模型的参数识别过程即 Crossover and variation 目标函数最小值的优化过程，流程图如图10所示图10基于GA-PSO算法的参数识别流程图 3.2不同工况下模型验证 Fig.10 Parameter identification based on GA-PSO algorithm 本节参数识别时选用的试验数据均为CIP80% 各向同性的MRE在正弦剪切应变加载下得到的 4.64%、8.57%、15.8%、29.3%),对Bouc-Wen模型应力应变试验数据.利用GA-PSO算法对MRE本和改进Bouc-Wen模型的参数进行识别，得到的仿构模型的参数进行辨识，验证模型的有效性，设置真数据和试验数据对比如图11所示. 惯性权重=1，加速常数d1=d山2=3.5，粒子数M= 由图I1可知，Bouc-Wen模型在小应变幅值 36.迭代次数400.染色体编码长度8，交叉概率0.7. 时拟合效果较好，在大应变幅值下能近似模拟试变异概率0.3. 验数据滞回曲线的平行四边形特征.但随着应变 (1)不同应变幅值工况下的模型验证幅值增大，Bouc-Wen模型仿真数据与试验数据误当磁感应强度为0mT,应变频率为1Hz时，差逐渐增大，当应变幅值为29.3%时，仿真和试验选用不同应变幅值工况的试验数据(1.36%、2.51%、滞回曲线存在明显差异.而改进Bouc-Wen模型

L[g(λ)] = min{ L[q(λ)],··· ,L [ qm(λ) ]} （13）粒子在搜索空间中的速度更新公式： vi j(λ+1) = ηvi j(λ)+d1r1[qi j(λ)− xi j(λ)]+d2r2 [gj(λ)− xi j(λ)] （14）粒子在搜索空间中的位置更新公式： xi j(λ+1) = xi j(λ)+vi j(λ+1) （15）其中， i = [1,2,···, M]， j= [1,2,···, D]； η 为惯性权重； d1 和 d2 是加速常数；r1 和 r2 是 (0, 1) 内的随机数. 设定粒子的速度区间 (vmin, vmax)，位置范围 (xmin, xmax)，如果超出范围则取边界值. 粒子群优化算法具有很好的优化能力，但局部搜索性能较差，导致求解结果存在较大的偏差. 而遗传算法 (Genetic algorithm, GA) 具有出色的局部搜索能力，但优化过程耗时且对种群初始化敏感. 本文将 GA 和 PSO 算法相结合[29] ，各取所长，用于 MRE 力学模型的参数识别. 将 Spencer 提出的误差计算公式作为参数识别的目标函数 L [30] ，公式如下： L = √ 1 m ∑m i=1 (τ test i −τ sim i ) 2 √ 1 m ∑m i=1 (τ test i −τ¯ test) 2 （16） τ test i τ¯ test i τ sim i 式中，为 MRE 的剪切应力试验数据，为试验数据的均值，为剪切应力的仿真数据，m 为数据点个数. 目标函数反映的是仿真值与试验值间的误差率， 100% 减去误差率即为仿真数据的吻合率. z˙ x0 根据改进 Bouc−Wen 模型的控制方程在 Simulink 软件中搭建仿真模型，如图 9 所示，图中模块表示积分，实现到 z 的积分运算. 表示位移 x 的初值. MRE 力学模型的参数识别过程即目标函数最小值的优化过程，流程图如图 10 所示. 3.2 不同工况下模型验证本节参数识别时选用的试验数据均为 CIP80% 各向同性的 MRE 在正弦剪切应变加载下得到的应力应变试验数据. 利用 GA−PSO 算法对 MRE 本构模型的参数进行辨识，验证模型的有效性，设置惯性权重 η =1，加速常数 d1 = d2 =3.5，粒子数 M = 36，迭代次数 400，染色体编码长度 8，交叉概率 0.7，变异概率 0.3. (1) 不同应变幅值工况下的模型验证. 当磁感应强度为 0 mT，应变频率为 1 Hz 时，选用不同应变幅值工况的试验数据 (1.36%、2.51%、 4.64%、 8.57%、 15.8%、 29.3%)，对 Bouc−Wen 模型和改进 Bouc−Wen 模型的参数进行识别，得到的仿真数据和试验数据对比如图 11 所示. 由图 11 可知，Bouc−Wen 模型在小应变幅值时拟合效果较好，在大应变幅值下能近似模拟试验数据滞回曲线的平行四边形特征. 但随着应变幅值增大，Bouc−Wen 模型仿真数据与试验数据误差逐渐增大，当应变幅值为 29.3% 时，仿真和试验滞回曲线存在明显差异. 而改进 Bouc−Wen 模型 α α z z z F γ γ s—1 n n n β β x x c c k k Out 1 Out 1 Out 1 Out 1 + + + x0 x0 A A x x x x x 图 9 Simulink 建立的改进 Bouc−Wen 模型 Fig.9 Modified Bouc−Wen model in Simulink Initial population and speed MRE model in Simulink Yes Calculate the fitness value Update extreme position Meet termination conditions Output results Update extreme position Crossover and variation No Test data of MRE 图 10 基于 GA−PSO 算法的参数识别流程图 Fig.10 Parameter identification based on GA−PSO algorithm · 396 · 工程科学学报，第 44 卷，第 3 期

在不同应变幅值下的拟合效果较 Bouc−Wen 模型明显提升，当应变幅值小于 15.8% 时，仿真数据和试验数据得到的滞回曲线几乎完全重合，即便当幅值为 29.3% 时，数据吻合度也较高，说明改进模型能够准确地描述 MRE 的滞回特性. (2) 不同频率工况下的模型验证. 当磁感应强度为 405 mT，应变幅值为 0.40% 时，选用不同应变频率工况的试验数据 (0.5、1、3 和 5 Hz)，对 Bouc−Wen 模型和改进 Bouc−Wen 模型的参数进行识别，得到的仿真数据和试验数据对比如图 12 所示. 由图 12 可知， Bouc−Wen 模型在应变频率 0.5 和 1 Hz 时拟合误差较大，不能有效辨识滞回曲线随频率的变化规律. 对比可见，改进 Bouc−Wen 模型在不同应变频率下的仿真数据与试验数据的拟合效果均好于 Bouc−Wen 模型，在应变频率 0.5 Experiment Simulation Experiment Simulation xm=4.64% xm=2.51% xm=1.36% Shear stress/kPa Shear stress/kPa Strain/% Strain/% −5 0 5 −4 −2 0 2 4 −20 0 20 −20 0 20 −20 −5 0 5 Shear stress/kPa Shear stress/kPa Strain/% Strain/% Experiment Simulation Experiment Simulation −5 0 5 −4 −2 0 2 4 xm=4.64% xm=2.51% xm=1.36% (c) −20 0 20 −20 0 20 −20 −5 0 5 (d) xm=15.80% xm=8.57% xm=29.30% (a) (b) xm=15.80% xm=8.57% xm=29.30% 图 11 不同幅值下的仿真与试验数据对比. （a, b）Bouc−Wen 模型；（c, d）改进 Bouc−Wen 模型 Fig.11 Comparison of simulation and experimental data under different amplitudes: (a, b) Bouc−Wen model; (c, d) modified Bouc−Wen model Shear stress/kPa Strain/% Strain/% −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 −3 −2 −1 0 1 2 3 Shear stress/kPa −3 −2 −1 0 1 2 3 f =1 Hz f =5 Hz f =3 Hz f =0.5 Hz f =1 Hz f =5 Hz f =3 Hz f =0.5 Hz (a) −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 (b) Experiment Simulation Experiment Simulation 图 12 不同频率下的仿真与试验数据对比. （a）Bouc−Wen 模型；（b）改进 Bouc−Wen 模型 Fig.12 Comparison of simulation and test data under different frequencies: (a) Bouc−Wen model; (b) modified Bouc−Wen model 王鹏等：一种描述磁流变弹性体滞回特性的分数阶导数改进 Bouc−Wen 模型 · 397 ·

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