信号与系统电容 第二章连续系统的时域分析 21LT连续系统的响应2.3卷积积分 、微分方程的经典解 信号时域分解与卷积 关于0-和0+初始值 卷积的图解→ 、零输入响应和零状态响应→2.4卷积积分的性质 2.2冲激响应和阶跃响应 、卷积代数 一、冲激响应 、奇异函数的卷积特性 、卷积的微积分性质冖 四、卷积的时移特性 点击目录,进入相关章节 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--11页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 二、阶跃响应 2.3 卷积积分 一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解 2.4 卷积积分的性质 一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性 点击目录 ，进入相关章节
信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 第二章连续系统的时域分析 LTI连续系统的时域分析,归结为:建立并求解 线性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t,故 称为时域分析法。这种方法比较直观,物理概念清楚, 是学习各种变换域分析法的基础。 2.1LT连续系统的响应 微分方程的经典解 y(n)(t)+any(n-D(t)+.+ajo(t)+aoy(t) bmf(t)+bmf(m-D(t)+.+b,fo(t)+ bof(t) 144D C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--22页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解 线性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故 称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚， 是学习各种变换域分析法的基础。 第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)
信号与系统电素索 2.1LT连续系统的响应 微分方程的经典解: y(完全解)=y1(齐次解)+y(0(特解) 齐次解是齐次微分方程 yo)+any(n1)+…+a1y()(t)+aoy()=0 的解。y(的函数形式由上述微分方程的特征根确定 特解的函数形式与激励函数的形式有关。P43表2-1、22 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关,而与激励 f(t函数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应; 特解的函数形式由激励确定,称为强迫响应。 例描述某系统的微分方程为 y'(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t) 求(1)当f(t)=2e,t≥0;y(0)=2,y(0=-1时的全解 (2)当(t)=e2,t≥0;y(0)=1,y(0)=0时的全解 页ALL日西较电子利技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--33页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 例 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e-2t，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。 特解的函数形式与激励函数的形式有关。P43表2-1、2-2 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应
信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 解:(1)特征方程为λ2+5+6=0其特征根λ=-2, 入2=-3。齐次解为 y(t)=C1e-2+C2e31 由表2-2可知,当f(t)=2e-时,其特解可设为 y,(t=Pe-t 将其代入微分方程得 Pet+5(-Pe-)+6Pet=2e-t解得P=1 于是特解为y()=e-t 全解为:y()=ya()+y()=C1e-2+C2e-3+e-t 其中待定常数C1,C,由初始条件确定。 y0)=C1+C2+1=2,y(0=-2C1-32-1=-1 解得C1=3,C2=-2 最后得全解y(t=3e--2e-e-t,t≥0 244|口c西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--44页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 解: (1) 特征方程为λ2 + 5 λ+ 6 = 0 其特征根λ 1= – 2， λ 2= – 3。齐次解为 y h(t) = C 1e – 2t + C 2e – 3t 由表2-2可知，当f(t) = 2e – t时，其特解可设为 y p(t) = Pe – t 将其代入微分方程得 Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 于是特解为 y p(t) = e – t 全解为： y(t) = y h(t) + y p(t) = C 1e – 2t + C 2e – 3t + e – t 其中 待定常数 C 1,C 2由初始条件确定。 y(0) = C 1+C 2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t ≥0
信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 (2)齐次解同上。当激励(t)=e2时,其指数与特征 根之一相重。由表知:其特解为 y,(t=(Pt+ poet 代入微分方程可得P1e=e2 所以P1=1但P不能求得。全解为 y(t)=Cre-t+C,e 3t+ te-2t+ poe-it (C+Poe-2t+C,e-3t+ te-2t 将初始条件代入,得 y(0)=(C1+P0)+C2=1,y(0)=-2(C1+P0)-3C2+1=0 解得C1+Pn=2,C2=-1最后得微分方程的全解为 y)=2e2-e -3t+ te 2tt≥ 0 上式第一项的系数C1+P=2,不能区分C1和P0,因而 也不能区分自由响应和强迫响应。 页ALL日西较电子利技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--55 页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 （ 2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征 根之一相重。由表知：其特解为 y p(t) = (P 1t + P 0)e–2t 代入微分方程可得 P 1 e-2t = e–2t 所以 P 1= 1 但 P 0不能求得。全解为 y(t)= C 1 e–2t + C 2 e–3t + te–2t + P 0 e–2t = (C 1+P 0)e–2t +C 2 e–3t + te–2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C 1+P 0) + C 2=1 ，y’(0)= –2(C 1+P 0) –3C 2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C 2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t ≥ 0 上式第一项的系数 C 1+P 0= 2，不能区分 C 1 和 P 0，因而 也不能区分自由响应和强迫响应。 2.1 LTI连续系统的响应
信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 关于0-和0+初始值 若输入ft是在仁=0时接入系统,则确定待定系数 C时用t=0时刻的初始值,即y(0+)(f=0,1,2…,n 而y(+)包含了输入信号的作用,不便于描述系 统的历史信息。 在t=0-时,激励尚未接入,该时刻的值y(0-)反映 了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始 状态或起始值。 通常,对于具体的系统,初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程,就需要从已知的初始状态 y(0)设法求得y(0+)。下列举例说明。 26页 c西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--66页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 二、关于0-和0+初始值 若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数 Ci时用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2…，n- 1)。 而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系 统的历史信息。 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映 了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始 状态或起始值。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态 y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明
信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 例:描述某系统的微分方程为 y"(t)+3y'(t)+2y(t)=2r(t)+6ft) 已知y(0-)=2,y(0-)=0,f()=e(t),求y(04)和y(0)。 解:将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 (t)+3y(t)+2y(t)=28(t)+6e(t) (1) 利用系数匹配法分析:上式对于七0-成立,在0-<t<0 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为28(),故y”(t应包含冲激函数,从 而y(t)在t=0处将发生跃变,即y(0+)≠y(0) 但y(t)不含冲激函数,否则y”(t将含有δ(t)项。由 于y'(t)中不含δ(t),故y(t)在t=0处是连续的。 故 y(0+)=y(0-)=2 7页N⊥41 c西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--77页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。 解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从 而y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由 于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 故 y(0+) = y(0-) = 2 2.1 LTI连续系统的响应
信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 对式(1)两端积分有 0+ 0 0+ o y(t)dt+3y'(t)dt+2 y(odt=2 8(t)dt a(t)dt 由于积分在无穷小区间[0-,OJ进行的,且y(t)在t=0连续, 故 0+ y(O)t=0,e()dt=0 于是由上式得 y(4)-y(0-)+3y(0+)-y(0-)|=2 考虑y(+)=y(0-)=2,所以 y`(04)-y(0-)=2,y'(0+)=y(0-)+2=2 由上可见,当微分方程等号右端含有冲激函数(及其各 阶导数)时,响应y(t)及其各阶导数中,有些在0处将 发生跃变。但如果右端不含时,则不会跃变。 2-8页 c西安电科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--88页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 对式(1)两端积分有 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +− +− +− +− +− + + = + 00 00 00 00 00 y''(t)dt 3 y'(t)dt 2 y(t)dt 2 δ (t)dt 6 ε (t)dt 由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0连续， 故 ∫ ∫ +− +− = = 00 00 y(t)dt 0, ε (t)dt 0 于是由上式得 [y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2 考虑 y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0+) – y’(0-) = 2 ， y’(0+) = y’(0-) + 2 =2 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各 阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将 发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。 2.1 LTI连续系统的响应
信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 三、零输入响应和零状态响应 y(t)=y3(t)+y(t),也可以分别用经典法求解 注意:对t=0时接入激励ft)的系统,初始值 0(0+),y)(0)=0,1,2,…,n-1)的计算。 y(0)=yO(0-)+y(0-) 0(0+)=y30(0+)+y0(0+) 对于零输入响应,由于激励为零,故有 yO(0+)=y(0)=y0(0) 对于零状态响应,在t0时刻激励尚未接入,故应有 y①)(0-)=0 y00+)的求法下面举例说明 2一9页 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--99页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 三、零输入响应和零状态响应 y(t) = yx(t) + yf(t) ,也可以分别用经典法求解。 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yx(j)(0+), yf(j)(0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计算。 y(j)(0-)= yx(j)(0-)+ yf(j)(0-) y(j)(0+)= yx(j)(0+)+ yf(j)(0+) 对于零输入响应，由于激励为零，故有 yx(j)(0+)= yx(j)(0-) = y (j)(0-) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yf(j)(0-)=0 yf(j)(0+)的求法下面举例说明
信号与系统电容 2.1LT连续系统的响应 例:描述某系统的微分方程为 y"(t)+3y'(t)+2y(t)=2r(t)+6ft) 已知y(0-)=2,y(0-)=0,f(t)=ε(t)。求该系统的零输 入响应和零状态响应。 解:(1)零输入响应y(t)激励为0,故y满足 y"(t)+3yx'(t)+2y(t)=0 yO+)=y(0-)=y(0)=2 y(0+)=y(0-)=y(0-)=0 该齐次方程的特征根为-1,-2,故 y (t=Cet+ Cye -zt 代入初始值并解得系数为C3=4,C、2=-2,代入得 y、(t)=4e-t-2e2,t>0 第20|4||■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第22--1010页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输 入响应和零状态响应。 解：（1）零输入响应yx(t) 激励为0 ，故yx(t)满足 yx”(t) + 3yx’(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx’(0+)= yx’(0-)= y’(0-)=0 该齐次方程的特征根为–1， – 2，故 yx(t) = Cx1e –t + Cx2e –2t 代入初始值并解得系数为Cx1=4 ,Cx2= – 2 ，代入得 yx(t) = 4e –t – 2e –2t ,t > 0
