武汉大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章（7-4）常系数差分方程的求解

§7.4常乘数差分方程的求解 ●进代法 ●时城盤典法 ●高散卷积陂;利用弃次解得零 输入解,再利用卷积和求零状 态解。 ●变换城法(Z变换波) ●收态变量分析法

§7.4常系数差分方程的求解 迭代法 时域经典法 离散卷积法：利用齐次解得零 输入解，再利用卷积和求零状 态解。 变换域法（Z变换法） 状态变量分析法

一求解差分方程的选代店和經典法 迭代法 ●当差分方程阶蚀餐低时常用此法 y(n)=ay(n-1)+x(n) x(n=S(n) n=0y(0)=ay(-1)+x(0)=0+6(m)=1 n=1y(1)=ay(0)+x(1)=a+0 n=2y(2)=av(1)+x(2)=aa+0=a2 n=n y(n=ay(n-1+x(n=a (n)=a"u(n)

一求解差分方程的迭代法和经典法 •迭代法 当差分方程阶次较低时常用此法 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 2 (2) (1) (2) . 0 1 (1) (0) (1) 0 0 (0) ( 1) (0) 0 ( ) 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 y n a u n n n y n ay n x n a n y ay x a a a n y ay x a a n y ay x n y n ay n x n x n n n n                                 

·时城经典波 差分方程 ∑ay(n-k)=∑ X(n-I k=0 潜征根∑ay(n-k)=0有N个特征根Ck ●齐次解 旅重恨时的齐蚀 y(n)=∑Ckak k=0 L次重根时的齐群y(n)=∑Cnn k=1 共轭根时的齐次解 C(a+jBy+C(a-jB

•时域经典法 差分方程 特征根： 有N个特征根 齐次解： l 非重根时的齐次解 l L次重根时的齐次解 l 共轭根时的齐次解        M r r N k k a y n k b x n r 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0     a y n k N k k  k n k N k n Ck y     0 ( ) n k l k l k l y n C n      1 ( ) n n C( j ) C ( j ) 1    2  

齐次解的形式 (1)特征恨是不等实根r;r2,…,rn ynk]=Cr4+C2+…+Cn (2)特征恨是等实恨r1=r2=.=rn y[k]=C1r+C2b+…+Cnk k (3)持征根是成对共轭复根 i2=a土jb=pe jQ20 Wn[k]=Cip cos hQ20+C2p" sin kQ2o

齐次解的形式 (1) 特征根是不等实根 r1 , r2 , , rn (2) 特征根是等实根 r1=r2==rn (3) 特征根是成对共轭复根 k n n k k h y k  C r C r C r 1 1 2 2 [ ] n k n k k h y k C r C kr C k r 1 1 2 [ ]     0 1,2      j r a jb e 1 0 2 0 y [k]  C cos k C sin k k k h  

特斛:(参考p20最后一段) 。自由顶为n的多项式 则嫱僻为Dn+D2n-1+…+D1 。自由项含有身L不是齐根,则特解Da 自由项舍有〃且C是单欧齐次恨, 则特解(Dn+22 。自由项含有身儿是K次重齐次恨 则特解(Dn+D2n=+…+D+1)an

特解：（参考p20最后一段) l 自由项为 的多项式 则特解为 l 自由项含有 且 不是齐次根，则特解 l 自由项含有 且 是单次齐次根， 则特解 l 自由项含有 且 是K次重齐次根 则特解 1 1 1 2      k k k D n D n  D k n n a n Da n a a a n a a n k k k (D n D n D )a 1 1 1 2     n (D n D )a 1  2

特解: 自由顶苟正猴或余表达式 则特解为D(n)= D sinno+D2 cosna n是差分方程的婧征方程的m次重恨时, 则特解是(Dn+D2nx+…+D1)n

•特解： •自由项为 正弦或余弦表达式 则特解为 • 是差分方程的特征方程的m次重根时， 则特解是 1 0 2 0 D(n)  D sinn  D cosn k k k k (D n D n D )n 1 1 1 2     k n

●完会解=齐蚀解十特解 ●代入边界条件求出待定柰数C1,于是 得到宠佥解的闵式 下面对上次课付论的p39、7-22题的差分方 程进行求解

完全解=齐次解+特解 代入边界条件求出待定系数 ，于是 得到完全解的闭式 Ci 下面对上次课讨论的p39、7-22题的差分方 程进行求解

解:特征方程为α+(1+a)=0 a=1+a x(n)=10 y(n)=c(1+a)"+D 将特解D代入方程:D=10+(1+a)D 10 D y(n)=c(1+a)y-0 10 y(0)=20 C=20+ 10 10 y(n)=(20+)(1-a) a 将a=0.003;n=12代入方程 y(12)0.m3010.06(10032-101=14273元

元 将 代入方程 将特解 代入方程： 解：特征方程为 ＋ [10 .06 (1.003 ) 10 ] 142 .73 0.003 1 (12 ) 0.003 ; 12 10 )(1 ) 10 ( ) (20 10 (0) 20 20 10 ( ) (1 ) 10 10 (1 ) ( ) (1 ) 1 ( ) 10 (1 ) 0                             n n n n y a n a a a y n a y c a y n c a a D D D a D y n c a D a x n a  

2已知二阶线性时不变续时间系就的动方程 yk]-5y{k-1+6yk-2]=f[k 初始条件y|0=0,y1=-1,翰入信号k=2kuk,求 就的完企响应yk] 解(1)求齐次方程yk-5yk-1H+6yk-2]=0的齐次解yh|k 特征方程为r2-5r+6=0 持征根为 F1=2,n2=3 齐次解yA闪yk]=C124+C23

2 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y[0]=0, y[1]=1, 输入信号f[k]=2 k u[k]，求系 统的完全响应y[k]。 特征根为 齐次解yh[k] 解 (1)求齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2] = 0的齐次解yh [k] 特征方程为 y[k]5y[k 1] 6y[k  2]  f [k] 5 6 0 2 r  r   r1  2,r2  3 k k yh[k]  C1 2 C2 3

2)求非齐次方程yk-5y{-11+6k-2]=的特解y[ 由输入/[凡]的形式,设方程的特解为 yn小]=A2,k≥0 将持解带入原微分方程即可求得常数4=-2。 3)求方程的全解 k]=y,[]+y,[k]=C12K+C23k-k2k-,k20 C1+(2 y]=2C1+3C2-2=-1解得C=1.C2=1 yk]=-24+3-k2k+k>0

2) 求非齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2] =f[k] 的特解yp[k] 解得 C1=1，C2= 1 由输入f [k]的形式，设方程的特解为 将特解带入原微分方程即可求得常数A=2。 3) 求方程的全解 y [k]  Ak2 , k  0 k p [ ] [ ] [ ] 2 3 2 , 0 1    1  2    y k y k y k C C k k k k k h p y[0]  C1 C2  0 y[1]  2C1  3C2  2  1 [ ] 2 3 2 , 0 1       y k k k k k k