工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 王春晖孙朝阳郭祥如魏云灿蔡旺 Investigation of the plastic deformation of single crystal copper using a two-dimensional discrete dislocation dynamics model WANG Chun-hui,SUN Chao-yang,GUO Xiang-ru,WEI Yun-can,CAI Wang 引用本文： 王春晖，孙朝阳，郭祥如，魏云灿，蔡旺.单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究).工程科学学报，2021,43(10)： 1365-1375.doi:10.13374j.issn2095-9389.2021.04.21.005 WANG Chun-hui,SUN Chao-yang,GUO Xiang-ru,WEI Yun-can,CAI Wang.Investigation of the plastic deformation of single crystal copper using a two-dimensional discrete dislocation dynamics model[J].Chinese Journal of Engineering,2021,43(10):1365- 1375.doi:10.13374.issn2095-9389.2021.04.21.005 在线阅读View online::htps/ldoi.org/10.13374/.issn2095-9389.2021.04.21.005 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in Zr-Cu薄膜生长及力学性能的分子动力学模拟 Molecular dynamic simulations of the growth and mechanical properties of ZrCu films 工程科学学报.2019,41(4：497 https:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.04.010 高应变率下红砂岩"冻伤效应" "Frostbite effect"of red sandstone under high strain rates 工程科学学报.2019,41(10：1249htps:/doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.01.14.002 SC半导体不同晶面氧化机理及动力学的研究进展 Research progress on the oxidation mechanism and kinetics of a SiC semiconductor with different crystal surfaces 工程科学学报.2021,435)：594htps:doi.org10.13374j.issn2095-9389.2020.10.10.001 微波场下的钒渣氯化动力学 Kinetics of chlorination of vanadium slag by microwave heating 工程科学学报.2020,429外：1157 https:/doi.org/10.13374j.issn2095-9389.2019.09.20.003 外加强环式H型钢梁-方钢管角柱节点抗震性能 Seismic performance of H-shaped steel beam-to-square steel corner column connection with external strengthened ring 工程科学学报.2018,40(8：1005 https:/1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2018.08.015 基于深度循环神经网络的协作机器人动力学误差补偿 Error compensation of collaborative robot dynamics based on deep recurrent neural network 工程科学学报.2021,43(7)：995 https://doi..org10.13374.issn2095-9389.2020.04.30.003
单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 王春晖 孙朝阳 郭祥如 魏云灿 蔡旺 Investigation of the plastic deformation of single crystal copper using a two-dimensional discrete dislocation dynamics model WANG Chun-hui, SUN Chao-yang, GUO Xiang-ru, WEI Yun-can, CAI Wang 引用本文: 王春晖, 孙朝阳, 郭祥如, 魏云灿, 蔡旺. 单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究[J]. 工程科学学报, 2021, 43(10): 1365-1375. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2021.04.21.005 WANG Chun-hui, SUN Chao-yang, GUO Xiang-ru, WEI Yun-can, CAI Wang. Investigation of the plastic deformation of single crystal copper using a two-dimensional discrete dislocation dynamics model[J]. Chinese Journal of Engineering, 2021, 43(10): 1365- 1375. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2021.04.21.005 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.04.21.005 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in Zr-Cu薄膜生长及力学性能的分子动力学模拟 Molecular dynamic simulations of the growth and mechanical properties of Zr—Cu films 工程科学学报. 2019, 41(4): 497 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.04.010 高应变率下红砂岩"冻伤效应" "Frostbite effect" of red sandstone under high strain rates 工程科学学报. 2019, 41(10): 1249 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.01.14.002 SiC半导体不同晶面氧化机理及动力学的研究进展 Research progress on the oxidation mechanism and kinetics of a SiC semiconductor with different crystal surfaces 工程科学学报. 2021, 43(5): 594 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.10.10.001 微波场下的钒渣氯化动力学 Kinetics of chlorination of vanadium slag by microwave heating 工程科学学报. 2020, 42(9): 1157 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.09.20.003 外加强环式H型钢梁-方钢管角柱节点抗震性能 Seismic performance of H-shaped steel beam-to-square steel corner column connection with external strengthened ring 工程科学学报. 2018, 40(8): 1005 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.08.015 基于深度循环神经网络的协作机器人动力学误差补偿 Error compensation of collaborative robot dynamics based on deep recurrent neural network 工程科学学报. 2021, 43(7): 995 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.04.30.003
工程科学学报.第43卷，第10期：1365-1375.2021年10月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.10:1365-1375,October 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.04.21.005;http://cje.ustb.edu.cn 单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 王春晖2)，孙朝阳2，)四，郭祥如，魏云灿12)，蔡旺2) 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)北京科技大学金属轻量化成形制造北京市重点实验室，北京1000833)北京科技大学顺 德研究生院，佛山5280004)天津理工大学天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室，天津300384 ☒通信作者，E-mail:suncy@usth.edu.cn 摘要针对亚微米尺度晶体元器件在加工和服役中出现的反常力学行为和动态变形等问题，基于离散位错动力学理论建 立了单晶铜塑性变形过程的二维离散位错动力学模型.该模型考虑外加载荷、位错间相互力和自由表面镜像力对位错的作 用机制，引入了截断位错速度准则.与微压缩实验对比验证了模型的正确性，并且能够描述力加载描述的位错雪崩现象.应 用该模型分析了不同加载方式和应变率下位错演化及力学行为，结果表明：当外部约束为力加载和位移加载时，应力应变曲 线分别呈现出台阶状的应变突增和锯齿状的应力陡降.位错雪崩效应的内在机制则分别归结为位错速度的随机性和位错源 开动的间歇性：应变率在10~4×10s1范围内，单品铜屈服应力的应变率敏感性发生改变，位错演化特征由单滑移转变为多 滑移面激活的均匀变形，位错增殖逐渐代替位错源激活作为流动应力的主导机制 关键词单晶铜：离散位错动力学；加载方式：应变率；力学行为 分类号TG142.71 Investigation of the plastic deformation of single crystal copper using a two- dimensional discrete dislocation dynamics model WANG Chun-hui2,SUN Chao-yang 2 GUO Xiang-r),WEI Yun-can 2,CAl Wang2) 1)School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Beijing Key Laboratory of Lightweight Metal Forming,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 3)Shunde Graduate School,University of Science and Technology Beijing.Foshan 528000,China 4)Tianjin Key Laboratory for Advanced Mechatronic System Design and Intelligent Control,School of Mechanical Engineering,Tianjin University of Technology,Tianjin 300384,China Corresponding author,E-mail:suncy @ustb.edu.cn ABSTRACT Microelectromechanical systems (MEMS)that feature components with the same geometrical size as that of an individual grain have been widely used in a variety of industries,including electronics,machinery,energy,transportation,aerospace,and architecture.Owing to the widespread engineering application of MEMS and nanoelectromechanical system devices,including sensors and actuators,submicron scale crystal materials exhibit mechanical behaviors different from those of macroscale materials,such as size effect,intermittent plastic flow,and strain rate effect,that have become significant topics in mechanics and materials research in recent years.Since dislocations are the carriers of plastic deformation,understanding the dislocation mechanism of submicron crystalline materials is crucial for designing and predicting microdevice reliability.To improve the understanding of abnormal mechanical behavior and dynamic deformation of submicron scale crystal components in processing and application,a two-dimensional discrete dislocation dynamics model of single crystal copper for plastic deformation was established based on the discrete dislocation dynamics theory.The 收稿日期：2021-04-21 基金项目：国家自然科学基金委员会与英国皇家学会合作交流资助项目(51911530209)：国家自然科学基金面上资助项目(52175285)：国 家自然科学基金NSAF联合资助项目(U1730121):北京科技大学顺德研究生院科技创新专项基金资助项目(BK19CE008)
单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 王春晖1,2)，孙朝阳1,2,3) 苣，郭祥如4)，魏云灿1,2)，蔡 旺1,2) 1) 北京科技大学机械工程学院, 北京 100083 2) 北京科技大学金属轻量化成形制造北京市重点实验室, 北京 100083 3) 北京科技大学顺 德研究生院, 佛山 528000 4) 天津理工大学天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室, 天津 300384 苣通信作者， E-mail: suncy@ustb.edu.cn 摘 要 针对亚微米尺度晶体元器件在加工和服役中出现的反常力学行为和动态变形等问题，基于离散位错动力学理论建 立了单晶铜塑性变形过程的二维离散位错动力学模型. 该模型考虑外加载荷、位错间相互力和自由表面镜像力对位错的作 用机制，引入了截断位错速度准则. 与微压缩实验对比验证了模型的正确性，并且能够描述力加载描述的位错雪崩现象. 应 用该模型分析了不同加载方式和应变率下位错演化及力学行为，结果表明：当外部约束为力加载和位移加载时，应力应变曲 线分别呈现出台阶状的应变突增和锯齿状的应力陡降，位错雪崩效应的内在机制则分别归结为位错速度的随机性和位错源 开动的间歇性；应变率在 102～4×104 s −1 范围内，单晶铜屈服应力的应变率敏感性发生改变，位错演化特征由单滑移转变为多 滑移面激活的均匀变形，位错增殖逐渐代替位错源激活作为流动应力的主导机制. 关键词 单晶铜；离散位错动力学；加载方式；应变率；力学行为 分类号 TG142.71 Investigation of the plastic deformation of single crystal copper using a twodimensional discrete dislocation dynamics model WANG Chun-hui1,2) ，SUN Chao-yang1,2,3) 苣 ，GUO Xiang-ru4) ，WEI Yun-can1,2) ，CAI Wang1,2) 1) School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) Beijing Key Laboratory of Lightweight Metal Forming, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 3) Shunde Graduate School, University of Science and Technology Beijing, Foshan 528000, China 4) Tianjin Key Laboratory for Advanced Mechatronic System Design and Intelligent Control, School of Mechanical Engineering, Tianjin University of Technology, Tianjin 300384, China 苣 Corresponding author, E-mail: suncy@ustb.edu.cn ABSTRACT Microelectromechanical systems (MEMS) that feature components with the same geometrical size as that of an individual grain have been widely used in a variety of industries, including electronics, machinery, energy, transportation, aerospace, and architecture. Owing to the widespread engineering application of MEMS and nanoelectromechanical system devices, including sensors and actuators, submicron scale crystal materials exhibit mechanical behaviors different from those of macroscale materials, such as size effect, intermittent plastic flow, and strain rate effect, that have become significant topics in mechanics and materials research in recent years. Since dislocations are the carriers of plastic deformation, understanding the dislocation mechanism of submicron crystalline materials is crucial for designing and predicting microdevice reliability. To improve the understanding of abnormal mechanical behavior and dynamic deformation of submicron scale crystal components in processing and application, a two-dimensional discrete dislocation dynamics model of single crystal copper for plastic deformation was established based on the discrete dislocation dynamics theory. The 收稿日期: 2021−04−21 基金项目: 国家自然科学基金委员会与英国皇家学会合作交流资助项目（51911530209）；国家自然科学基金面上资助项目（52175285）；国 家自然科学基金 NSAF 联合资助项目（U1730121）；北京科技大学顺德研究生院科技创新专项基金资助项目（BK19CE008） 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期：1365−1375，2021 年 10 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 10: 1365−1375, October 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.04.21.005; http://cje.ustb.edu.cn
·1366 工程科学学报，第43卷，第10期 effects of applied load,dislocation interactions,and image force by the free surface on dislocations were all considered in the numerical model,and the cutoff weighted dislocation velocity was also introduced.The model can be used to describe the "dislocation avalanche" effect under stress-controlled modes and interpret the dislocation evolution and mechanical behavior under different loading modes and strain rates,as demonstrated by microcompression experiments.When the external loading modes are force control and displacement control,the stress-strain curves show a step-like character under strain and a sharply serrated character under stress,respectively.The randomization of the dislocation velocity and intermittent activation of dislocation sources are the internal mechanisms of the dislocation avalanche effect.The strain rate sensitivity of the yield stress for single crystal copper changes in the strain rate range of 102-4x 10s The evolution characteristics of the dislocations change from single slip plane to uniform deformations induced by multiple slip planes activation,and the dominant mechanism for the strain rate effect of yield stress is dislocation multiplication rather than dislocation source activation. KEY WORDS single crystal copper;discrete dislocation dynamics;loading modes;strain rates;mechanical behavior 随着以传感器和激励器为代表的微机械微电 认为是位错机制从单臂位错源增殖变化到表面形 子元器件的广泛应用和发展，亚微米尺度晶体材料 核.Zheng等2o在传统二维离散位错动力学(Two- 表现出明显区别于宏观尺度材料的力学行为-， dimensional discrete dislocation dynamics,2D-DDD) 如尺寸效应B)、时空不连续性6刀以及应变率敏 模型中引入热激活位错逃逸机制，分析了应力松 感性⑧-)为了评估并预测亚微米尺度晶体元器件 弛和蠕变过程中钛合金的应变率敏感性行为.然 在加工和服役中的性能，需要搭建起反常力学响 而，上述研究仅仅聚焦纳米尺度晶体和低应变率 应与微结构演化的桥梁，分析其在不同加载方式 下变形行为.郭祥如等叫基于3D-DDD分析单晶 和应变率下的力学响应和位错机制. 镍压缩变形过程中流动应力和变形机制的应变率 实验研究表明，单向压缩的亚微米尺度单晶 效应，揭示了更高应变率下有效应力代替位错源 在不同加载方式下呈现显著的时空不连续性：在 激活应力成为流动应力的主要部分这一机理 力加载时，应力-应变曲线呈现台阶状；在位移加 Agnihotri与Van der Giessen四的多晶铜拉伸变形 载时，应力-应变曲线呈现锯齿状.离散位错则以 的工作也表达相同的观点，但是没有基于理论解 类似“雪崩”的方式贡献塑性应变，在晶体表面形 析的具体量化分析， 成很多滑移带和滑移线uo-川.Papanikolaou等a和 传统的连续介质力学理论缺乏材料的内禀长 MaaB等1通过实验发现了非常规的准周期性雪崩 度参数，无法描述亚微米尺度位错形核、运动、湮 式应变爆发.Csikor等通过三维位错动力学 灭等一系列演化反应2)，为了简化计算模型，提高 Three-dimensional discrete dislocation dynamics, 处理晶体材料的计算效率，本文主要采用2D 3D-DDD)模拟和相应变形行为的统计分析，确定 DDD模型来研究单晶铜不同加载方式和应变率的 了位错雪崩过程中应变变化的分布，并建立了其 塑性流动问题.通过与微压缩的位移加载实验结 对微晶尺寸的依赖关系.上述研究揭示了发生应 果对照，验证了模型的可行性.在此基础上，将加 变突增或者应力陡降的内在原因，并基于模型和 载方式与位错演化联系起来，解释了不同加载方 理论表征其规律性，然而未分析加载方式对间歇 式对应的特征应力-应变曲线，揭示了高应变率对 性行为的影响.Cui等s-在3D-DDD模拟中通 单晶铜位错演化和屈服应力的影响，确定了应变 过调整外部加载方式，发现单品铜微柱的力学行 率敏感性行为转变机制 为从力控制下的应变爆发转变到位移控制下的准 1单晶铜二维离散位错动力学模型 周期振荡.上述工作尚未分析不同加载方式下力 学特征转变的位错机理. 1.1二维离散位错动力学框架 在类似碰撞和冲击的高应变率服役环境中， 离散位错动力学是以晶体材料弹性连续介质 亚微米单品铜应变率相关的位错基动态变形机制 中线缺陷-位错为研究对象，通过对滑移系中大量 已成为重要的研究方向-阁Jennings等通过实 位错的集群运动和相互反应的显式表达，描述塑 验研究纳米单晶铜在不同应变率下的拉伸和压缩 性变形特征的微尺度力学建模方法.2D-DDD模 行为，发现了流动应力的应变率敏感性随着晶体 型，如图1(a),忽略三维位错交割和螺位错交滑移 尺寸的减小和应变率的上升出现转变，其原理被 等交互作用机制，将三维位错线投影到二维平面
effects of applied load, dislocation interactions, and image force by the free surface on dislocations were all considered in the numerical model, and the cutoff weighted dislocation velocity was also introduced. The model can be used to describe the “dislocation avalanche” effect under stress-controlled modes and interpret the dislocation evolution and mechanical behavior under different loading modes and strain rates, as demonstrated by microcompression experiments. When the external loading modes are force control and displacement control, the stress–strain curves show a step-like character under strain and a sharply serrated character under stress, respectively. The randomization of the dislocation velocity and intermittent activation of dislocation sources are the internal mechanisms of the dislocation avalanche effect. The strain rate sensitivity of the yield stress for single crystal copper changes in the strain rate range of 102 –4 × 104 s −1 . The evolution characteristics of the dislocations change from single slip plane to uniform deformations induced by multiple slip planes activation, and the dominant mechanism for the strain rate effect of yield stress is dislocation multiplication rather than dislocation source activation. KEY WORDS single crystal copper；discrete dislocation dynamics；loading modes；strain rates；mechanical behavior 随着以传感器和激励器为代表的微机械微电 子元器件的广泛应用和发展，亚微米尺度晶体材料 表现出明显区别于宏观尺度材料的力学行为[1−2] ， 如尺寸效应[3−5]、时空不连续性[6−7] 以及应变率敏 感性[8−9] . 为了评估并预测亚微米尺度晶体元器件 在加工和服役中的性能，需要搭建起反常力学响 应与微结构演化的桥梁，分析其在不同加载方式 和应变率下的力学响应和位错机制. 实验研究表明，单向压缩的亚微米尺度单晶 在不同加载方式下呈现显著的时空不连续性：在 力加载时，应力−应变曲线呈现台阶状；在位移加 载时，应力−应变曲线呈现锯齿状. 离散位错则以 类似“雪崩”的方式贡献塑性应变，在晶体表面形 成很多滑移带和滑移线[10−11] . Papanikolaou 等[12] 和 Maaß等[13] 通过实验发现了非常规的准周期性雪崩 式应变爆发. Csikor 等[14] 通过三维位错动力学 （ Three-dimensional discrete dislocation dynamics, 3D−DDD）模拟和相应变形行为的统计分析，确定 了位错雪崩过程中应变变化的分布，并建立了其 对微晶尺寸的依赖关系. 上述研究揭示了发生应 变突增或者应力陡降的内在原因，并基于模型和 理论表征其规律性，然而未分析加载方式对间歇 性行为的影响. Cui 等[15−16] 在 3D−DDD 模拟中通 过调整外部加载方式，发现单晶铜微柱的力学行 为从力控制下的应变爆发转变到位移控制下的准 周期振荡. 上述工作尚未分析不同加载方式下力 学特征转变的位错机理. 在类似碰撞和冲击的高应变率服役环境中， 亚微米单晶铜应变率相关的位错基动态变形机制 已成为重要的研究方向[17−18] . Jennings 等[19] 通过实 验研究纳米单晶铜在不同应变率下的拉伸和压缩 行为，发现了流动应力的应变率敏感性随着晶体 尺寸的减小和应变率的上升出现转变，其原理被 认为是位错机制从单臂位错源增殖变化到表面形 核. Zheng 等[20] 在传统二维离散位错动力学（Twodimensional discrete dislocation dynamics, 2D−DDD） 模型中引入热激活位错逃逸机制，分析了应力松 弛和蠕变过程中钛合金的应变率敏感性行为. 然 而，上述研究仅仅聚焦纳米尺度晶体和低应变率 下变形行为. 郭祥如等[21] 基于 3D−DDD 分析单晶 镍压缩变形过程中流动应力和变形机制的应变率 效应，揭示了更高应变率下有效应力代替位错源 激活应力成为流动应力的主要部分这一机理. Agnihotri 与 Van der Giessen [22] 的多晶铜拉伸变形 的工作也表达相同的观点，但是没有基于理论解 析的具体量化分析. 传统的连续介质力学理论缺乏材料的內禀长 度参数，无法描述亚微米尺度位错形核、运动、湮 灭等一系列演化反应[23] ，为了简化计算模型，提高 处理晶体材料的计算效率 ，本文主要采用 2D− DDD 模型来研究单晶铜不同加载方式和应变率的 塑性流动问题. 通过与微压缩的位移加载实验结 果对照，验证了模型的可行性. 在此基础上，将加 载方式与位错演化联系起来，解释了不同加载方 式对应的特征应力−应变曲线，揭示了高应变率对 单晶铜位错演化和屈服应力的影响，确定了应变 率敏感性行为转变机制. 1 单晶铜二维离散位错动力学模型 1.1 二维离散位错动力学框架 离散位错动力学是以晶体材料弹性连续介质 中线缺陷–位错为研究对象，通过对滑移系中大量 位错的集群运动和相互反应的显式表达，描述塑 性变形特征的微尺度力学建模方法. 2D−DDD 模 型，如图 1（a），忽略三维位错交割和螺位错交滑移 等交互作用机制，将三维位错线投影到二维平面 · 1366 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期
王春晖等：单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 ·1367. (a) (b) Stress/GPa 1.0 0.5 15 -1.0 国1位错的二维简化及其应力场.()位错线在二维平面的投影示意图：(b)水平方向和(c)倾斜45°方向正刃型位错剪切应力场 Fig.1 Two dimensional simplification of and stress field of dislocation:(a)planar representation of the dislocation line on a 2D plane,stress field ( around a positive edge dislocation in the(b)horizontal direction and (c)tilt direction with an angle of 45 上，简化为平面模型中一个伏尔特拉(Volterra)奇 图中，n代表位错环所在滑移面的单位法向，b表 异点，通过关注刃型位错点的受力、运动和演化， 示位错的Burgers矢量. 研究微尺度晶体塑性变形行为. 由于位错与边界以及位错之间强相互作用， 品体中位错受到的应力来源主要是外部作用 位错结构热力学不平衡态驱动位错沿滑移系运动 和模拟区域内位错间的相互作用.根据施密特 并重新分布，基于最小势能原理，位错运动的热力 (Schmid)定律，计算外部载荷在滑移系上对位错 学构型力，即位错皮奇-凯勒(Peach-Koehler)力为： 的分解剪切应力2网，位错间的相互作用是通过位 错弹性应力场起作用，2D-DDD中刃型位错在无 fi=n. o+∑-b (6) 限大介质中的应力场公式如下2s-6: 其中，m表示位错i所在滑移面单位法向，表示 Gby(3x2+y2） xx=- (1) 位错i的Burgers矢量，ap表示外部作用应力张 2π(1-)）(x2+y2)2 量，求和项∑σ表示所有N个位错j对位错i的 Gb y2-y2） Owy= (2) 2(1-y(2+27 长程作用应力张量 当施加在位错上的驱动力大于阻碍力时，位 Gb x2-y2） 错开始运动，主要包括滑移和攀移.位错滑移是连 0y= (3) 2π(1-0(x2+y2)2 续弹性介质场中位错沿晶体特定滑移系运动的保 其中，，w,o分别是位错在x方向、y方向的 守运动，而位错攀移是在垂直滑移面通过吸收和 正应力以及剪切应力，Pa:v是泊松比，量纲为一； 释放点缺陷实现位错扩散运动的非保守运动7 (x,y)是模拟区域任意点相对位错的位置，(m, 通常在非高温变形环境下，位错运动形式以滑移 m);G和b分别为品体材料的剪切模量(Pa)和位 为主.在Peach-Koehler力作用下，考虑到位错运 错的伯格斯(Burgers)矢量的模，m.由于位错间的 动处于过阻尼状态，每个位错段的速度由作用在 相互作用的计算基于水平且平行的两滑移面，在 其上的总力和黏滞阻尼系数决定，即位错1的滑移 倾转滑移系下应力场的计算需要考虑坐标系x-y 速度表示为P42: 和滑移坐标系x'-y两个系统应力张量的变换，具 vi=fi B (7) 体公式如下2： Bo B= (8) '=R(aT..R(a) (4) 1-2| 其中，。为坐标系x-y下的应力张量，σ为滑移坐 其中，v是位错i的滑移速度，ms;B为位错滑移 标系x'-y下的应力张量，R@为产生应力场的位错 的黏性阻尼系数，Nsm;为作用在位错i上的 所在滑移系α的坐标旋转矩阵： Peach--Koehler力.是位错平均速度，ms;'s为剪 R(@)- cos()sin(o) 5) 切波速，ms.当位错运动速度较低时，采用静态 -sin()cos() 黏性阻尼系数Bo,Nsm 其中，o是滑移系a中x方向相对x方向的倾斜角 经历剧烈塑性变形后的金属晶体，其位错密 度，()：应力场旋转结果如图1(b)和图1(c)所示. 度可增加4~5个数量级，说明晶体在塑性变形过
上，简化为平面模型中一个伏尔特拉（Volterra）奇 异点，通过关注刃型位错点的受力、运动和演化， 研究微尺度晶体塑性变形行为. 晶体中位错受到的应力来源主要是外部作用 和模拟区域内位错间的相互作用. 根据施密特 （Schmid）定律，计算外部载荷在滑移系上对位错 的分解剪切应力[24] ，位错间的相互作用是通过位 错弹性应力场起作用，2D−DDD 中刃型位错在无 限大介质中的应力场公式如下[25−26] ： σxx = − Gb 2π(1−ν) y ( 3x 2 +y 2 ) ( x 2 +y 2 )2 （1） σyy = Gb 2π(1−ν) y ( x 2 −y 2 ) ( x 2 +y 2 )2 （2） σxy = Gb 2π(1−ν) x ( x 2 −y 2 ) ( x 2 +y 2 )2 （3） 其中，σxx, σyy, σxy 分别是位错在 x 方向、y 方向的 正应力以及剪切应力，Pa；ν 是泊松比，量纲为一； （ x, y）是模拟区域任意点相对位错的位置 ，（m， m）；G 和 b 分别为晶体材料的剪切模量 (Pa) 和位 错的伯格斯（Burgers）矢量的模，m. 由于位错间的 相互作用的计算基于水平且平行的两滑移面，在 倾转滑移系下应力场的计算需要考虑坐标系 x−y 和滑移坐标系 x′−y′两个系统应力张量的变换，具 体公式如下[26] ： σ ′ = R (α)T ·σ· R (α) （4） 其中，σ 为坐标系 x−y 下的应力张量，σ′为滑移坐 标系 x′−y′下的应力张量，R (α) 为产生应力场的位错 所在滑移系 α 的坐标旋转矩阵： R (α) = [ cos(φ α ) sin(φ α ) −sin(φ α ) cos(φ α ) ] （5） 其中，φ α 是滑移系 α 中 x′方向相对 x 方向的倾斜角 度，（º）；应力场旋转结果如图 1（b）和图 1（c）所示. 图中，n 代表位错环所在滑移面的单位法向，b 表 示位错的 Burgers 矢量. 由于位错与边界以及位错之间强相互作用， 位错结构热力学不平衡态驱动位错沿滑移系运动 并重新分布，基于最小势能原理，位错运动的热力 学构型力，即位错皮奇−凯勒（Peach−Koehler）力为： f i = n i · σ app + ∑ N j,i σ ′j · b i （6） ∑ N j,i σ ′j 其中，n i 表示位错 i 所在滑移面单位法向，b i 表示 位错 i 的 Burgers 矢量，σ app 表示外部作用应力张 量，求和项 表示所有 N 个位错 j 对位错 i 的 长程作用应力张量. 当施加在位错上的驱动力大于阻碍力时，位 错开始运动，主要包括滑移和攀移. 位错滑移是连 续弹性介质场中位错沿晶体特定滑移系运动的保 守运动，而位错攀移是在垂直滑移面通过吸收和 释放点缺陷实现位错扩散运动的非保守运动[27] . 通常在非高温变形环境下，位错运动形式以滑移 为主. 在 Peach−Koehler 力作用下，考虑到位错运 动处于过阻尼状态，每个位错段的速度由作用在 其上的总力和黏滞阻尼系数决定，即位错 i 的滑移 速度表示为[24,28] ： v i = f i / B （7） B = B0 1−v¯ 2 / v 2 s （8） v i f i v¯ 其中， 是位错 i 的滑移速度，m·s−1 ；B 为位错滑移 的黏性阻尼系数，N·s·m−1 ； 为作用在位错 i 上的 Peach−Koehler 力. 是位错平均速度，m·s−1 ；vs 为剪 切波速，m·s−1 . 当位错运动速度较低时，采用静态 黏性阻尼系数 B0，N·s·m−1 . 经历剧烈塑性变形后的金属晶体，其位错密 度可增加 4～5 个数量级，说明晶体在塑性变形过 b n x y 0 1.0 0.5 (a) (b) (c) −0.5 −1.0 Stress/GPa σxy y' x' 图 1 位错的二维简化及其应力场. （a）位错线在二维平面的投影示意图；（b）水平方向和（c）倾斜 45°方向正刃型位错剪切应力场 Fig.1 Two dimensional simplification of and stress field of dislocation: (a) planar representation of the dislocation line on a 2D plane; stress field (σxy) around a positive edge dislocation in the (b) horizontal direction and (c) tilt direction with an angle of 45° 王春晖等： 单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 · 1367 ·
·1368 工程科学学报，第43卷，第10期 程中必然发生着位错增殖.其中，弗兰克-瑞德 用偶极子上外部分解切应力正好与偶极子之的间 (Frank-Read)位错源形核是内部位错增殖的一种 互相吸引应力平衡： 主要方式.2D-DDD方法将位错源简化和近似成 Gb Lnuc=2r(l-U）Tauc (11) 滑移面上一点，当作用在点源上的分切应力x大于 临界形核强度tc并保持临界发育时间1auc后，一 当同一滑移面中一对异号位错互相吸引并靠 对带有异号Burgers矢量位错偶极子形核在位错 近会发生湮灭，在2D-DDD模型中，设置当正负位 源点两侧，其分布极性与分切应力方向对应.为使 错相互距离小于临界距离Lami,位错发生湮灭 位错源开动，作用在位错源的分解切应力需克服 Lanni是材料相关参数，m;在计算中一般取Lam=6b0 位错线弯曲时的线张力.根据奥罗万(Orowan)应 1.2离散位错动力学模型的数值实现 力判据，位错源静态平衡破坏需要的临界切应 本研究中离散位错动力学模型计算流程如 力为： 图2所示，采用前向欧拉积分算法以时间增量步 的方式进行.在每个增量步中，需要的计算主要 Tnuc =28 Gb (9) lo 是：①确定当前位错的构型、应力和应变状态； 其中，B为一个量化参数，对Frank--Read源，l,lo为 ②根据位错所处应力状态计算位错运动Peach- 位错源初始长度，m:与晶体尺寸有关.16满足一个 Koehler力；③根据式(7)~(11)的本构法则处理位 均值：心和标准差△的高斯分布，以确保位错源 错运动、Frank-Read源形核、异号湮灭等短程位 强度在一定范围内变动 错构型的变化、为了提高计算效率，节约计算成 位错临界形核时间为2,2： 本，根据应变率和计算总应变确定固定时间步增 lo 量.同时，为了考虑实际情况位错不会超过前面位 toue=22Taucb (10) 错的特点，计算中需要对相邻位错判断，若当前时 其中，1是描述位错从半椭圆到完全位错环的增 间步内发生位错越过现象则需要对位错速度进行 强因子，2为与黏性阻尼系数B有关的常数，Pas. 修正.本文主程序基于Matlab平台编写，使用C语 一对偶极子的临界形核距离Lnuc由临界形核 言编写的mex子程序计算位错间相互作用 应力确定，从而确保当一对位错偶极子产生，作 小应变假设下的2D-DDD模型，忽略了试样 nput material and calculation parameters Initialize simulation Determine the geometry of the simulation No Yes Current time<Total time? Calculate dislocation stress field Check dislocation nucleation Obtain Peach-Koehler force Post processing Calculate dislocation slip velocities Stress-strain curve Check dislocation over-jump and Plastic slip distribution correct dislocation velocities Statistical dislocation density Update dislocation positions Remove dislocations due to End annihilations and escaping from free surfaces 图22D-DDD模型的模拟流程 Fig.2 Flow chart of the 2D-DDD model
程中必然发生着位错增殖. 其中，弗兰克−瑞德 （Frank−Read）位错源形核是内部位错增殖的一种 主要方式. 2D−DDD 方法将位错源简化和近似成 滑移面上一点，当作用在点源上的分切应力 τ 大于 临界形核强度 τnuc 并保持临界发育时间 tnuc 后，一 对带有异号 Burgers 矢量位错偶极子形核在位错 源点两侧，其分布极性与分切应力方向对应. 为使 位错源开动，作用在位错源的分解切应力需克服 位错线弯曲时的线张力. 根据奥罗万（Orowan）应 力判据[21] ，位错源静态平衡破坏需要的临界切应 力为： τnuc = 2β Gb l0 （9） l ave 0 其中，β 为一个量化参数，对 Frank−Read 源，β≈1，l0 为 位错源初始长度，m；与晶体尺寸有关. l0 满足一个 均值 和标准差 Δl0 的高斯分布，以确保位错源 强度在一定范围内变动. 位错临界形核时间为[22,29] ： tnuc = η1η2 l0 2τnucb （10） 其中，η1 是描述位错从半椭圆到完全位错环的增 强因子，η2 为与黏性阻尼系数 B 有关的常数，Pa·s. 一对偶极子的临界形核距离 Lnuc 由临界形核 应力确定[25] ，从而确保当一对位错偶极子产生，作 用偶极子上外部分解切应力正好与偶极子之的间 互相吸引应力平衡： Lnuc = G 2π(1−υ) b τnuc （11） 当同一滑移面中一对异号位错互相吸引并靠 近会发生湮灭，在 2D−DDD 模型中，设置当正负位 错相互距离小于临界距离 Lanni，位错发生湮灭. Lanni 是材料相关参数，m；在计算中一般取 Lanni=6b [30] . 1.2 离散位错动力学模型的数值实现 本研究中离散位错动力学模型计算流程如 图 2 所示，采用前向欧拉积分算法以时间增量步 的方式进行. 在每个增量步中，需要的计算主要 是：①确定当前位错的构型、应力和应变状态； ②根据位错所处应力状态计算位错运动 Peach− Koehler 力；③根据式（7）～（11）的本构法则处理位 错运动、Frank−Read 源形核、异号湮灭等短程位 错构型的变化. 为了提高计算效率，节约计算成 本，根据应变率和计算总应变确定固定时间步增 量. 同时，为了考虑实际情况位错不会超过前面位 错的特点，计算中需要对相邻位错判断，若当前时 间步内发生位错越过现象则需要对位错速度进行 修正. 本文主程序基于 Matlab 平台编写，使用 C 语 言编写的 mex 子程序计算位错间相互作用. 小应变假设下的 2D−DDD 模型，忽略了试样 Post processing Initialize simulation Determine the geometry of the simulation Calculate dislocation stress field Check dislocation nucleation End Plastic slip distribution No Input material and calculation parameters Current time<Total time? Stress-strain curve Statistical dislocation density Obtain Peach-Koehler force Calculate dislocation slip velocities Check dislocation over−jump and correct dislocation velocities Update dislocation positions Remove dislocations due to annihilations and escaping from free surfaces Yes 图 2 2D−DDD 模型的模拟流程 Fig.2 Flow chart of the 2D−DDD model · 1368 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期
王春晖等：单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 ·1369 有限变形诱导晶格转动和形状改变对滑移动量平 如图3所示，模拟区域晶体尺寸为1um×3um. 衡的影响，因此计算过程中应变一般不超过0.01. 单晶铜是面心立方(Face-centred cubic,.FCC)材料， 总塑性应变率是所有滑移系位错运动的贡献之和： 模拟系统的x轴和y轴分别沿着[110]和[001]方 向B叫，考虑到平面应变状态的3种主动滑移系的 Epli-2 C(n+sen）a (12) 相对夹角近似为{0°，±60；，由于0°取向的滑移系 其中，是位错滑移引起的塑性应变率，s:(s, 的Schmid因子为O,因此忽略0°滑移系，选取的滑 s)和(n,n)分别是滑移系a的滑移方向和滑 移方向分别与x轴成60°，滑移面间距设定为 150b.模拟平面内无初始位错，位错源随机分布在 移面法向，是滑移系a上的剪切应变率，s.根 滑移系上，为保证多滑移系变形均匀，两个滑移系 据Orowan公式， 上的位错源数目设置相当.对于单品微柱试样，模 y(a)=bp(a)(a) (13) 拟区域的左右边界视作不可逾越的障碍.为了避 其中，p@为滑移系a上位错密度，m2;@m为滑移 免数值计算的复杂性，参考通用的模型简化方法 系a上位错平均速度，ms 和实验微柱压缩形态-刘，与左右约束端相交的 1.3单晶铜塑性变形过程2D-DDD模型的建立 滑移面在模型中没有考虑，而上下边界对应为微 为了分析不同加载方式和应变率对位错运动 柱的自由表面，位错运动到上下边界不仅要计算 的影响，并且验证2D-DDD模型的准确性，本文以 位错所受镜像应力还要考虑位错的湮灭， 崔一南建立的3D-DDD模型s-为参照，并与之 初始化完成后，沿着[001]方向进行压缩加 进行对比并建立2D-DDD模型.初始化设置主要 载，以实现多滑移条件.为对比不同加载方式的作 包含材料参数和模型计算参数初始化，以及几何 用效果，分别采用位移加载和力加载方式.位移控 构型初始化两个部分.本研究对象单晶铜具体的 制加载时选择恒定应变率为1000s,根据胡克定 模拟参数如表1所示.几何构型初始化主要是确 律可将其转变为外力增长率ùpP: 定模拟区域的尺寸、滑移面取向与排列、位错源 PP=E(0-p) (14) 的位置分布以及边界条件等方面 其中，E为二维模型在平面应变条件下的杨氏模 表1单品铜2D-DDD模拟参数 量，Pa:考虑到平面应变的情况，E=E(1-v2) Table 1 Model parameters used in the 2D-DDD model for single crystal copper E为一般杨氏模量，Pa;o为加载应变率，s；p是 G/GPa b/nm P/m2 /nm 塑性应变率，s 42 0.34 0.256 50x102 力控制加载时，设定力增加率为一个恒定值， 500 对应式(14)位移控制加载方式，初始塑性应变率 △lo/nm 1 /(Pa-s) Bo/(Pa's) v/(ms) 为0.在离散位错动力学模拟中，Rao等B别提出了 50 1.5 9B 104 2.92×103 Note:G-Shear modulus;-Poisson's ratio;b-Burgers vector; 种利用截断塑性应变率控制力加载的方式，将 Source density,Mean value of initial length of dislocation 其与材料内部位错的运动联系起来.即对位错的 source;Al-Standard deviation of initial length of dislocation source; -Enhancement factor,Correlation coefficient;Bo-Static viscous 运动设置一个塑性应变率阈值，当位错运动引起 drag coefficient;vSpeed of shear wave. 的塑性应变率低于该阈值时，以恒定应力速率加 (a) y0011 (b) o Frank-Read source x[110] Two dislocations with opposite Burgers vector (111) 150b (111) m 0 (111) o-T- ,30° 入、 3 um 因3单品铜品体学取向及计算模型.(a)FCC品体滑移系取向：(b)压缩载荷下2D-DDD计算模型 Fig.3 Crystallographic orientation and calculation model of single crystal copper:(a)slip system orientation for the FCC crystal;(b)the 2D-DDD model under compression
有限变形诱导晶格转动和形状改变对滑移动量平 衡的影响，因此计算过程中应变一般不超过 0.01. 总塑性应变率是所有滑移系位错运动的贡献之和： ε˙ p(i j)= 1 2 ∑ N α=1 ( s (α) i n (α) j +s (α) j n (α) i ) γ˙ (α) （12） ε˙ p(i j) s (α) i s (α) j n (α) i n (α) j γ˙ (α) 其中， 是位错滑移引起的塑性应变率，s −1；（ , ）和（ , ）分别是滑移系 α 的滑移方向和滑 移面法向， 是滑移系 α 上的剪切应变率，s −1 . 根 据 Orowan 公式， γ˙ (α) = bρ (α) v¯ (α) （13） v¯ 其中， (α) ρ (α) 为滑移系 α 上位错密度，m −2 ； 为滑移 系 α 上位错平均速度，m·s−1 . 1.3 单晶铜塑性变形过程 2D−DDD 模型的建立 为了分析不同加载方式和应变率对位错运动 的影响，并且验证 2D−DDD 模型的准确性，本文以 崔一南建立的 3D−DDD 模型[15−16] 为参照，并与之 进行对比并建立 2D−DDD 模型. 初始化设置主要 包含材料参数和模型计算参数初始化，以及几何 构型初始化两个部分. 本研究对象单晶铜具体的 模拟参数如表 1 所示. 几何构型初始化主要是确 定模拟区域的尺寸、滑移面取向与排列、位错源 的位置分布以及边界条件等方面. 表 1 单晶铜 2D−DDD 模拟参数 Table 1 Model parameters used in the 2D−DDD model for single crystal copper G/GPa ν b/nm ρs /m−2 l ave 0 /nm 42 0.34 0.256 50×1012 500 Δl0 /nm η1 η2 /(Pa·s) B0 /(Pa·s) vs /(m·s−1) 50 1.5 9B 10−4 2.92×103 l ave 0 Note: G—Shear modulus; v—Poisson’s ratio; b—Burgers vector； ρs—Source density; —Mean value of initial length of dislocation source; Δl0—Standard deviation of initial length of dislocation source; η1—Enhancement factor; η2—Correlation coefficient; B0—Static viscous drag coefficient; vs—Speed of shear wave. 110 ¯ 如图 3 所示，模拟区域晶体尺寸为 1 μm×3 μm. 单晶铜是面心立方（Face−centred cubic, FCC）材料， 模拟系统的 x 轴和 y 轴分别沿着 [ ] 和 [001] 方 向[31] ，考虑到平面应变状态的 3 种主动滑移系的 相对夹角近似为{0º, ±60º}，由于 0º取向的滑移系 的 Schmid 因子为 0，因此忽略 0º滑移系，选取的滑 移方向分别 与 x 轴 成 ±60º，滑移面间距设定 为 150b. 模拟平面内无初始位错，位错源随机分布在 滑移系上，为保证多滑移系变形均匀，两个滑移系 上的位错源数目设置相当. 对于单晶微柱试样，模 拟区域的左右边界视作不可逾越的障碍. 为了避 免数值计算的复杂性，参考通用的模型简化方法 和实验微柱压缩形态[31−32] ，与左右约束端相交的 滑移面在模型中没有考虑，而上下边界对应为微 柱的自由表面，位错运动到上下边界不仅要计算 位错所受镜像应力还要考虑位错的湮灭. σ˙ app 初始化完成后，沿着 [001] 方向进行压缩加 载，以实现多滑移条件. 为对比不同加载方式的作 用效果，分别采用位移加载和力加载方式. 位移控 制加载时选择恒定应变率为 1000 s −1，根据胡克定 律可将其转变为外力增长率 ： σ˙ app = E * ( ε˙0 −ε˙p ) （14） E ∗ = E / (1−ν 2 ) ε˙0 ε˙p 其中，E *为二维模型在平面应变条件下的杨氏模 量 ， Pa；考虑到平面应变的情况 ， ， E 为一般杨氏模量，Pa； 为加载应变率，s −1 ； 是 塑性应变率，s −1 . 力控制加载时，设定力增加率为一个恒定值， 对应式（14）位移控制加载方式，初始塑性应变率 为 0. 在离散位错动力学模拟中，Rao 等[33] 提出了 一种利用截断塑性应变率控制力加载的方式，将 其与材料内部位错的运动联系起来. 即对位错的 运动设置一个塑性应变率阈值，当位错运动引起 的塑性应变率低于该阈值时，以恒定应力速率加 (111) (a) y (b) x Two dislocations with opposite Burgers vector y [001] Frank−Read source 150b 1 μm 3 μm 30º σ app (111) － (111) － x [110] － 图 3 单晶铜晶体学取向及计算模型. （a）FCC 晶体滑移系取向；（b）压缩载荷下 2D-DDD 计算模型 Fig.3 Crystallographic orientation and calculation model of single crystal copper: (a) slip system orientation for the FCC crystal; (b) the 2D−DDD model under compression 王春晖等： 单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 · 1369 ·
·1370 工程科学学报，第43卷，第10期 载，反之，外加作用应力不再增加，即力增加率为0 150 这种方式需要确定临界塑性应变率和应力增量的 120 大小，可能会影响位错雪崩的大小.本文中利用加 权位错速度的方式来控制应力的加载，与塑 90 性应变率控制类似，存在一个加权位错速度阈值 h,当加权位错速度yw低于该临界值时，力加载正 60 常进行.反之，当位错爆发式运动，加权位错速度 Force loading (2D-DDD model) 30 -Displacement loading (2D-DDD model) w高于该临界值时，应力保持恒定不变.位错速度 Force loading (3D-DDD model Displacement loading (Experiment) 阈值h和加权位错速度vw的计算公式如下： 00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Gb2 Po Strain/% (15) B 图4不同加载方式下2D-DDD和3D-DDD计算s及实验获得 之1 的单品铜应力-应变曲线 Fig.4 Stress-strain curves for the 2D-DDD model of the single crystal (16) copper compared with those for the 3D-DDD modelli6l and experimentsat different loading modes 准静态条件，应变率可以在一个很宽范围并且计 其中，po为初始位错密度，m2;这里采用位错源密 算结果不再受应变率的影响2四.由于单晶铜单轴 度表示，l,表示位错段i的长度，m:y,表示位错段 压缩实验的微柱尺寸(800nm)和3D-DDD模型尺 i的速度，ms.在2D-DDD模型中，每个位错均 寸(3000b)小于本模拟尺寸参数，而且2D-DDD模 是等效的无限长，加权位错速度"w即是平均位错 拟忽略了位错攀移和交滑移等三维机制对塑性变 速度，ms 形的影响，因此可能导致模拟结果相较于实验和 2模型验证 其他模拟流动应力偏小 基于不同加载方式的单晶铜2D-DDD模型计 3结果和讨论 算得出力控制和位移控制加载的力学曲线，如图4 3.1加载方式对单晶铜力学行为的影响 所示.两种加载方式下，单晶铜的最高应力水平均 为了对比两种加载方式下单晶铜应力-应变 在100~120MPa范围内，初始塑性变形应力在90MPa 曲线形状的差异及解释其内在机理.以上述加载 左右，近似与Frank-Read位错源形核应力的均值 条件为例，单独研究发生一次位错雪崩的情况，如 (99MPa)对应，说明此时位错开始以位错源激活 图5所示.在力和位移控制加载下，发生一次位错 的方式增殖并贡献塑性应变.在经历一段纯弹性 雪崩事件时力学响应呈现不同的形式，前者为应 变形行为后，塑性阶段流动响应都呈现很强的不 变的陡增，后者为应力的陡降.具体表现为，一次 连续性，并且这种不连续的应力-应变曲线的形状 位错雪崩时，力加载时的应变陡增，对应的应变增 不同：位移加载时，应力-应变曲线呈现准周期的 量为0.02%，而应力在此时几乎无变化；位移加载 锯齿状；力加载时，应力-应变曲线呈现应力单调 时的应力突降，对应的应力增量为12.89MPa,而 增加的台阶状.这些不连续性的力学特征反映为 应变在此时几乎无变化， 微观的位错剧烈演化，随着位错增殖或运动显著， 力加载时，图6(a)对比加权位错速度和应力 真实的塑性应变呈现爆发式增长 随应变的变化曲线，可以看出，应力-应变曲线发 这种现象已经在很多微拉压实验和模拟中被 生应变突增时，加权位错速度与位错速度阈值相 发现4-3均，通过与Cui等I3D-DDD模型中力加载 等.由于外加力的增长是通过加权位错速度来调 和实验1中位移加载稳定流动应力范围的对比， 节，当加权位错速度超过位错速度阈值时，恒定速 模型预测在误差允许范围内吻合良好，定量化地 率上升的外加应力停止增加，此时相当于保载条 验证本模型的可靠性.本工作将应变率为103s 件下位错弛豫过程，位错依靠自组织演化，根据公 时2D-DDD的预测结果与实验的准静态压缩结果 式(13)，持续贡献塑性应变，速度抖动地下降；当 相对比，远远高于实验中采用的应变率，因为在离 加权位错速度低于位错速度阈值时，外加应力率 散位错动力学中，应变率小于103s时均可认为 大于0，应力继续增加，直至加权位错速度再次达
载，反之，外加作用应力不再增加，即力增加率为 0. 这种方式需要确定临界塑性应变率和应力增量的 大小，可能会影响位错雪崩的大小. 本文中利用加 权位错速度的方式[15−16] 来控制应力的加载，与塑 性应变率控制类似，存在一个加权位错速度阈值 vth，当加权位错速度 vw 低于该临界值时，力加载正 常进行. 反之，当位错爆发式运动，加权位错速度 vw 高于该临界值时，应力保持恒定不变. 位错速度 阈值 vth 和加权位错速度 vw 的计算公式如下： vth = Gb2 √ ρ0 B （15） vw = ∑n i=1 livi ∑n i=1 li （16） 其中，ρ0 为初始位错密度，m −2；这里采用位错源密 度表示，l i 表示位错段 i 的长度，m；vi 表示位错段 i 的速度，m·s−1 . 在 2D−DDD 模型中，每个位错均 是等效的无限长，加权位错速度 vw 即是平均位错 速度，m·s−1 . 2 模型验证 基于不同加载方式的单晶铜 2D−DDD 模型计 算得出力控制和位移控制加载的力学曲线，如图 4 所示. 两种加载方式下，单晶铜的最高应力水平均 在100～120 MPa 范围内，初始塑性变形应力在90 MPa 左右，近似与 Frank−Read 位错源形核应力的均值 （99 MPa）对应，说明此时位错开始以位错源激活 的方式增殖并贡献塑性应变. 在经历一段纯弹性 变形行为后，塑性阶段流动响应都呈现很强的不 连续性，并且这种不连续的应力−应变曲线的形状 不同：位移加载时，应力−应变曲线呈现准周期的 锯齿状；力加载时，应力−应变曲线呈现应力单调 增加的台阶状. 这些不连续性的力学特征反映为 微观的位错剧烈演化，随着位错增殖或运动显著， 真实的塑性应变呈现爆发式增长. 这种现象已经在很多微拉压实验和模拟中被 发现[34−35] ，通过与 Cui 等[16] 3D−DDD 模型中力加载 和实验[36] 中位移加载稳定流动应力范围的对比， 模型预测在误差允许范围内吻合良好，定量化地 验证本模型的可靠性. 本工作将应变率为 103 s −1 时 2D−DDD 的预测结果与实验的准静态压缩结果 相对比，远远高于实验中采用的应变率，因为在离 散位错动力学中，应变率小于 103 s −1 时均可认为 准静态条件，应变率可以在一个很宽范围并且计 算结果不再受应变率的影响[21] . 由于单晶铜单轴 压缩实验的微柱尺寸（800 nm）和 3D−DDD 模型尺 寸（3000b）小于本模拟尺寸参数，而且 2D−DDD 模 拟忽略了位错攀移和交滑移等三维机制对塑性变 形的影响，因此可能导致模拟结果相较于实验和 其他模拟流动应力偏小. 3 结果和讨论 3.1 加载方式对单晶铜力学行为的影响 为了对比两种加载方式下单晶铜应力−应变 曲线形状的差异及解释其内在机理，以上述加载 条件为例，单独研究发生一次位错雪崩的情况，如 图 5 所示. 在力和位移控制加载下，发生一次位错 雪崩事件时力学响应呈现不同的形式，前者为应 变的陡增，后者为应力的陡降. 具体表现为，一次 位错雪崩时，力加载时的应变陡增，对应的应变增 量为 0.02%，而应力在此时几乎无变化；位移加载 时的应力突降，对应的应力增量为 12.89 MPa，而 应变在此时几乎无变化. 力加载时，图 6（a）对比加权位错速度和应力 随应变的变化曲线，可以看出，应力−应变曲线发 生应变突增时，加权位错速度与位错速度阈值相 等. 由于外加力的增长是通过加权位错速度来调 节，当加权位错速度超过位错速度阈值时，恒定速 率上升的外加应力停止增加，此时相当于保载条 件下位错弛豫过程，位错依靠自组织演化，根据公 式（13），持续贡献塑性应变，速度抖动地下降；当 加权位错速度低于位错速度阈值时，外加应力率 大于 0，应力继续增加，直至加权位错速度再次达 150 120 90 Stress/MPa 60 30 0 0.1 0.2 Force loading Displacement loading Displacement loading Force loading (2D−DDD model) (2D−DDD model) (Experiment) (3D−DDD model) 0.3 Strain/% 0.4 0.5 0 图 4 不同加载方式下 2D−DDD 和 3D−DDD 计算[16] 及实验[36] 获得 的单晶铜应力−应变曲线 Fig.4 Stress–strain curves for the 2D−DDD model of the single crystal copper compared with those for the 3D−DDD model[16] and experiments[36] at different loading modes · 1370 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期
王春晖等：单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 1371· 110 --Force loading 就出现了应力增量变化大的现象 o-Displacement loading 对于应力控制的外部载荷，位错运动相对速 度阈值调控外加载荷的增加和停止，因此位错雪 100 崩效应归结于位错速度的随机性：而当外部约束 为位移控制时，由于位错源对形核强度和形核时 90 间的要求，各个位错源的开动表现为间歇性，位错 雪崩由位错源交替的开动和停滞主导 3.2应变率对单晶铜力学行为的影响 0.11 0.12 当位移加载时，应变率的大小会影响材料的 0.13 0.14 Strain/% 屈服应力.本文利用2D-DDD模拟，研究不同应 图5不同加载方式下发生一次位错爆发的应力-应变曲线 变率下位错演化对单品铜翔性变形的影响.图7(a) Fig.5 Stress-strain curves of dislocation avalanches under different 为4种不同应变率(102、103、10和4×10s)的应 loading modes 力一应变曲线，由于模型初始无位错的设置，所以 到位错速度阈值，以上过程重复.因此，在一个完 不同应变率下都经历一个完整重复的弹性阶段 整的位错雪崩阶段，外加应力保持稳定，而塑性应 将0.1%塑性应变处设置为初始屈服点2，提取各 变持续增加，应力应变响应表现为台阶状，就出现 应变率下的屈服应力，如图7(b)所示，屈服应力随 了应变增量大而应力增量几乎为0的现象 应变率的增大而增大，呈现典型的正应变率敏感 位移加载时，通过对比塑性应变率变化曲线 性行为.然而高应变率(10和4×10s)的屈服强度 以及应力-应变曲线，如图6(b).每次应力陡降的 与其他应变率相比具有明显的差别.一些文献2，切 发生都出现在塑性应变率等于外加应变率的时 也反映了相似的力学行为，屈服强度的应变率关 候.根据载荷施加公式(14)，塑性应变率较小且低 联性被分成两个作用域，在应变率低于103s的 于加载应变率时，外加应力速率大于零，应力持续 第一作用域，屈服强度随着应变率保持着相对稳 增加，晶体内位错和位错源受力逐渐增大.在满足 定，而在更高应变率范围的第二作用域，屈服强度 临界形核强度并保持临界发育时间后，位错源激 随应变率显著提高.这两个作用域机制一般被解 活驱动位错增殖，位错密度逐渐增大，塑性应变率 释为：在较低应变率下位错以热激活方式越过障 随之上升；当塑性应变率高于加载应变率，应力增 碍，转变为高应变率下的位错阻尼运动.然而，这 长率小于零，外加应力下降，位错源的受力不足以 些理论一般适用于讨论宏观块体或者介观多晶 继续增殖位错，塑性应变率随之下降.直至塑性应 等晶体内位错密度较高的情况&2，刃为了分析不 变率再次低于应变率加载率，以上过程重复.因 同应变率下微米单晶力学行为转变的位错机理， 此，位错源激活诱发位错雪崩发生时，通过降低外 基于上述的模拟结果并通过解析方法进行定量 加应力的大小以匹配塑性应变率和加载应变率， 分析 150 1000 150 8000 -Stress (a) Stress (b) Weighted velocity Plastic strain rate 120 ---Cutoff velocity 800 120 Loading strain rate 6000 M-Ah 90 600 90 000 60 1400 2000 30 200 01 0.2 03 0.4 0.5 01 0.20.3 0.4 Strain/% Strain/% 图6()力控制加载下应力和加权位错速度随应变演化：(b)位移控制加载下应力和应变率随应变演化 Fig.6 (a)Evolution of stress and weighted dislocation velocity with strain under stress-controlled mode and (b)evolution of stress and strain rate with strain under strain-controlled mode
到位错速度阈值，以上过程重复. 因此，在一个完 整的位错雪崩阶段，外加应力保持稳定，而塑性应 变持续增加，应力应变响应表现为台阶状，就出现 了应变增量大而应力增量几乎为 0 的现象. 位移加载时，通过对比塑性应变率变化曲线 以及应力−应变曲线，如图 6（b），每次应力陡降的 发生都出现在塑性应变率等于外加应变率的时 候. 根据载荷施加公式（14），塑性应变率较小且低 于加载应变率时，外加应力速率大于零，应力持续 增加，晶体内位错和位错源受力逐渐增大. 在满足 临界形核强度并保持临界发育时间后，位错源激 活驱动位错增殖，位错密度逐渐增大，塑性应变率 随之上升；当塑性应变率高于加载应变率，应力增 长率小于零，外加应力下降，位错源的受力不足以 继续增殖位错，塑性应变率随之下降. 直至塑性应 变率再次低于应变率加载率，以上过程重复. 因 此，位错源激活诱发位错雪崩发生时，通过降低外 加应力的大小以匹配塑性应变率和加载应变率， 就出现了应力增量变化大的现象. 对于应力控制的外部载荷，位错运动相对速 度阈值调控外加载荷的增加和停止，因此位错雪 崩效应归结于位错速度的随机性；而当外部约束 为位移控制时，由于位错源对形核强度和形核时 间的要求，各个位错源的开动表现为间歇性，位错 雪崩由位错源交替的开动和停滞主导. 3.2 应变率对单晶铜力学行为的影响 当位移加载时，应变率的大小会影响材料的 屈服应力. 本文利用 2D−DDD 模拟，研究不同应 变率下位错演化对单晶铜塑性变形的影响. 图 7（a） 为 4 种不同应变率（102、103、104 和 4×104 s −1）的应 力−应变曲线，由于模型初始无位错的设置，所以 不同应变率下都经历一个完整重复的弹性阶段. 将 0.1% 塑性应变处设置为初始屈服点[22] ，提取各 应变率下的屈服应力，如图 7（b）所示，屈服应力随 应变率的增大而增大，呈现典型的正应变率敏感 性行为. 然而高应变率（104 和 4×104 s −1）的屈服强度 与其他应变率相比具有明显的差别. 一些文献[22,37] 也反映了相似的力学行为，屈服强度的应变率关 联性被分成两个作用域，在应变率低于 103 s −1 的 第一作用域，屈服强度随着应变率保持着相对稳 定，而在更高应变率范围的第二作用域，屈服强度 随应变率显著提高. 这两个作用域机制一般被解 释为：在较低应变率下位错以热激活方式越过障 碍，转变为高应变率下的位错阻尼运动. 然而，这 些理论一般适用于讨论宏观块体或者介观多晶 等晶体内位错密度较高的情况[8,22,37] . 为了分析不 同应变率下微米单晶力学行为转变的位错机理， 基于上述的模拟结果并通过解析方法进行定量 分析. 110 100 90 Stress/MPa 80 0.10 0.11 0.12 Strain/% Force loading Displacement loading 0.13 0.14 图 5 不同加载方式下发生一次位错爆发的应力–应变曲线 Fig.5 Stress –strain curves of dislocation avalanches under different loading modes 1000 800 600 400 200 0 Weighted dislocation velocity/(m·s−1 ) 150 (a) (b) 120 90 60 30 0 0 0.2 0.3 0.1 Strain/% Stress/MPa 150 120 90 60 30 0 Stress/MPa Strain rate/s−1 0.4 0.5 0.1 0 0.2 0.3 Strain/% 0.4 0.5 8000 6000 4000 2000 0 Stress Weighted velocity Cutoff velocity Stress Plastic strain rate Loading strain rate 图 6 （a）力控制加载下应力和加权位错速度随应变演化；（b）位移控制加载下应力和应变率随应变演化 Fig.6 (a) Evolution of stress and weighted dislocation velocity with strain under stress-controlled mode and (b) evolution of stress and strain rate with strain under strain-controlled mode 王春晖等： 单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 · 1371 ·
1372 工程科学学报.第43卷，第10期 400 400 =102sl (a) (b) =103s1 8=l0s1 300 i=4×10s1 300 100 100 0.2 0.4 0.6 10 10 10 Strain/% Strain rate/s 300 i=10s1 (c) Interaction stress between dislocations (d) IOP s Dislocation multiplication stress 11.31 =10s1 250 Activation stress of dislocation so =4X10g- 200 59.64 150 20.21 WWWW 100 20.40 24.83 69.91 3.99 0.40 1 宽插 50 99.33 99.33 99.33 99.33 0.2 0.4 0.6 102 109 10 4×10 Strain/% Strain rate/s 图7不同应变率下的(a)应力-应变曲线：(b)屈服应力：(c)位错密度-应变曲线：(d)组成应力 Fig.7 Effect of strain rate on the evolution of:(a)stress vs strain;(b)yield stress;(c)dislocation density vs strain;(d)stress composition 图7(c)展示的是不同应变率下位错密度随应 单晶铜更多的滑移面被激活，塑性应变在各个滑 变演化曲线，整个应变率范围单晶铜屈服时的位 移面分布越来越均匀，说明单一滑移面上位错源 错密度都没有超过103m2,由位错密度增加的滞 形核时间的限制促使其他滑移面位错源的开启， 后性可以看出，当滑移系上分解切应力达到位错 应变率的增加对位错增殖具有显著的促进作用 源激活强度并经历一定形核时间后，位错增殖才 在103s应变率以后的滑移面开启量趋于饱和， 会开始发生.在低于103s的应变率范围内，位错 此时位错增殖速率不再明显增加，而高应变率下 密度随着应变率增加而增加：而在更高应变率下， 外加作用力增加，位错滑移速度加快导致滑出自 位错密度随应变率的增加而降低，且其演化的波 由边界更加容易，晶体内位错密度降低，并且间歇 动性增大.考虑应变率对位错增殖和位错运动的 的增殖和快速的滑出湮灭也会导致位错密度演化 作用，位错滑移贡献的塑性滑移被量化为每个滑 的波动性增大.类似于单晶微柱变形出现尺寸效 移系上分解剪切应变的总和，不同应变率下的滑 应的“位错匮乏”机制，即使多数滑移面的位错源 移量分布如图8所示.随着应变率的上升，屈服时 开启，也不能满足施加的应变率 (a) (b) Slip 0.05 0.04 0.03 (c) d 0.02 0.01 0 图8不同应变率下塑性滑移量分布.(a)10s:(b)103s:(c)10s:(d)4×10s1 Fig.8 Plastic slip distribution resulting from the strain rates at:(a)102s;(b)103s;(c)10s;(d)4x10s
图 7（c）展示的是不同应变率下位错密度随应 变演化曲线，整个应变率范围单晶铜屈服时的位 错密度都没有超过 1013 m −2，由位错密度增加的滞 后性可以看出，当滑移系上分解切应力达到位错 源激活强度并经历一定形核时间后，位错增殖才 会开始发生. 在低于 103 s −1 的应变率范围内，位错 密度随着应变率增加而增加；而在更高应变率下， 位错密度随应变率的增加而降低，且其演化的波 动性增大. 考虑应变率对位错增殖和位错运动的 作用，位错滑移贡献的塑性滑移被量化为每个滑 移系上分解剪切应变的总和，不同应变率下的滑 移量分布如图 8 所示. 随着应变率的上升，屈服时 单晶铜更多的滑移面被激活，塑性应变在各个滑 移面分布越来越均匀，说明单一滑移面上位错源 形核时间的限制促使其他滑移面位错源的开启， 应变率的增加对位错增殖具有显著的促进作用. 在 103 s −1 应变率以后的滑移面开启量趋于饱和， 此时位错增殖速率不再明显增加，而高应变率下 外加作用力增加，位错滑移速度加快导致滑出自 由边界更加容易，晶体内位错密度降低，并且间歇 的增殖和快速的滑出湮灭也会导致位错密度演化 的波动性增大. 类似于单晶微柱变形出现尺寸效 应的“位错匮乏”机制，即使多数滑移面的位错源 开启，也不能满足施加的应变率. (a) (c) (b) (d) 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 Slip 图 8 不同应变率下塑性滑移量分布. （a）102 s −1；（b）103 s −1；（c）104 s −1；（d）4×104 s −1 Fig.8 Plastic slip distribution resulting from the strain rates at: (a) 102 s −1; (b) 103 s −1; (c) 104 s −1; (d) 4×104 s −1 400 (a) (c) (d) (b) 300 200 Stress/MPa Stress/MPa 100 0 0.2 0.4 Strain/% Strain/% Strain rate/s−1 0.6 0 0.2 0.4 0.6 102 102 104 105 0 400 300 200 Yield stress/MPa 100 0 ε=102 s · −1 ε=103 s · −1 ε=104 s · −1 ε=4×104 s−1 · ε=102 s · −1 ε=103 s · −1 ε=104 s · −1 ε=4×104 s−1 · 6 5 4 3 Dislocation density/(1012 m−2 ) 2 1 0 Interaction stress between dislocations Dislocation multiplication stress Activation stress of dislocation source 11.31 159.64 99.33 99.33 99.33 99.33 102 103 104 Strain rate/s−1 4×104 0.40 20.40 24.83 3.99 20.21 39.91 300 250 200 150 100 50 0 图 7 不同应变率下的（a）应力−应变曲线；（b）屈服应力；（c）位错密度−应变曲线；（d）组成应力 Fig.7 Effect of strain rate on the evolution of：(a) stress vs strain; (b) yield stress; (c) dislocation density vs strain; (d) stress composition · 1372 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期
王春晖等：单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 ·1373 本文进一步分析了屈服时位错流动应力的组 剪应变率，s.可见，在具有一定位错密度的晶体 成，以确定不同应变率下单晶铜力学行为.单晶铜 内，随着位错运动速度增加，电子和声子对位错运 流动应力π等于位错运动的热应力仙和非热应力 动的阻力也会随之增大.然而，加载应变率越高， ta之和B: 小尺寸试样中的位错越容易在滑移时从自由表面 T Tth +Ta (17) 逃逸，并且位错逃逸的速度会超出位错增殖的速 其中，仙是施加在位错上的热应力项，Pa,控制位 度，晶体尺寸效应开始显著)，由图(c)可知，高应 错的热激活行为，使位错借助自身的能量起伏，越 变率下的位错密度大大降低.此时，阻尼力计算值 过包括派尔斯(Peierls)障碍等能垒的过程；ta是作 趋向于无穷大，与位错运动相关的阻尼力公式无 用在位错上的非热应力项，Pa,它的来源是位错间 法合理表达流动应力贡献 的长程弹性相互作用力和位错源形核相关应力. 应变率从102s到4×10s,位错源激活应力 对于面心立方晶体，在正常温度和应变率条件下， 在屈服应力中占比逐渐减小，位猎增殖应力逐渐 热应力项xh来源主要是Peierls障碍，大约为0.5MPa, 增大，说明屈服应力的应变率敏感性机制从位错 位错很容易克服该障碍.因此，热应力项仙的影 源激活转变为位错增殖.低应变率下位错通过更 响可以被忽略，流动应力π主要由非热应力项提 多的滑移面位错源激活来贡献塑性应变，位错源 供.根据泰勒(Taylor)硬化法则和公式(9)，非热应 激活应力只与位错源初始长度有关，与应变率无 力项ta可以表示为B9o: 关，所以随着应变率增加，屈服强度保持相对稳 T≈ta=kGbV5+2BGh 定.在较高的应变率下，有限的内部源无法产生足 E*gtnucm (18) lo 够的塑性来抵抗外部加载的增加，位错增殖成为 其中，第一项为位错密度相关的相互作用力，k为 屈服应力增加的主要因素，位错增殖应力与应变 量纲一常数，一般取值为0.5；p是位错密度，m2; 率密切相关，因而随着应变率增加，屈服强度显著 第二项为基于Orowan应力判据的位错源激活应 增加.三维模拟也说明相似的现象，反过来，这些 力：第三项是位错增殖应力，与位错形核时间相 内部位错源可能由于应力的增加而被破坏，位错 关.是加载应变率.ms:m为Schmid因子.对于 增殖机制会从内部Frank-Read位错源转变为表面 位错增殖应力项四，一旦外加应力满足第二项的 形核周 位错源形核强度，被激活的位错源需要一段形核 4结论 时间tuc去产生一对偶极子才能完成一个完整的 位错增殖过程.在此时间间隔内，弹性应变增加 (1)本文基于二维离散位错动力学理论建立 tuc,因而贡献了流动应力的上升， 的单晶铜亚微米柱压缩模型，通过引入截断位错 速度准则描述力控制下的位错雪崩，模拟得出应 基于解析表达式(18)和位错密度参数，不同 应变率下单晶铜屈服应力组成如图7(d)所示.解 力一应变曲线在位移加载时呈现准周期的锯齿状， 析表达式计算得到的屈服应力与图7(b)中2D- 力加载时时呈现应力单调增加的台阶状，模拟结 DDD模拟的结果吻合较好.其中，102~10s应 果与微压缩实验结果相吻合，验证了模型在预测 单品铜位错基塑性变形行为方面的可靠性 变率下模拟屈服应力略低于解析计算值，这是因 为解析表达式的位错源激活应力以初始位错源长 (2)力控制和位移控制的加载方式，不连续性 度均值500nm计算的，为保证各滑移面上位错源 行为表现为应变突增的台阶状应力-应变曲线和 应力陡降的锯齿状应力-应变曲线，由于两者分别 不会同时激活，位错源长度满足一个高斯分布，因 通过加权位错速度和塑性应变率调控外加载荷的 而初始激活的位错源强度一定小于均值99.33MPa 值得注意的是，在4×10s应变率时，模拟屈 大小，位错雪崩效应的内在机制归结为位错速度 的随机性和位错源开动的间歇性 服应力反而略高于解析计算值，这里归因于位错 (3)应变率在102~4×10s1的范围内，单晶铜 阻尼运动受力，通过两种方法计算4×10s应变 的屈服应力表现为正应变率敏感性，且应变率敏 率时屈服应力的差值估计，位错运动阻尼力稍大 感性机制发生改变.通过对比位错滑移塑性滑移 于18.27MPa,表明阻尼作用并不是高应变率屈服 量分布、建立流动应力不同机制解析表达，结果表 应力的主导机制.阻尼力来自位错与晶格热振动 明在高应变率时，位错演化特征为多滑移面激活 之间的相互作用，可表示为：Tae=是其中， 均匀变形，应变率相关的位错增殖机制代替位错
本文进一步分析了屈服时位错流动应力的组 成，以确定不同应变率下单晶铜力学行为. 单晶铜 流动应力 τ 等于位错运动的热应力 τth 和非热应力 τa 之和[38] ： τ = τth +τa （17） 其中，τth 是施加在位错上的热应力项，Pa，控制位 错的热激活行为，使位错借助自身的能量起伏，越 过包括派尔斯（Peierls）障碍等能垒的过程；τa 是作 用在位错上的非热应力项，Pa，它的来源是位错间 的长程弹性相互作用力和位错源形核相关应力. 对于面心立方晶体，在正常温度和应变率条件下， 热应力项 τth 来源主要是 Peierls 障碍，大约为 0.5 MPa， 位错很容易克服该障碍. 因此，热应力项 τth 的影 响可以被忽略，流动应力 τ 主要由非热应力项 τa 提 供. 根据泰勒（Taylor）硬化法则和公式（9），非热应 力项 τa 可以表示为[39–40] ： τ ≈ τa = kGb √ ρ+2β Gb l0 + E ∗ ε˙tnucm （18） ε˙ ε˙tnuc 其中，第一项为位错密度相关的相互作用力，k 为 量纲一常数，一般取值为 0.5；ρ 是位错密度，m −2 ； 第二项为基于 Orowan 应力判据的位错源激活应 力；第三项是位错增殖应力，与位错形核时间相 关， 是加载应变率，m·s−1 ；m 为 Schmid 因子. 对于 位错增殖应力项[22] ，一旦外加应力满足第二项的 位错源形核强度，被激活的位错源需要一段形核 时间 tnuc 去产生一对偶极子才能完成一个完整的 位错增殖过程. 在此时间间隔内，弹性应变增加 ，因而贡献了流动应力的上升. 基于解析表达式（18）和位错密度参数，不同 应变率下单晶铜屈服应力组成如图 7（d）所示. 解 析表达式计算得到的屈服应力与图 7（b）中 2D− DDD 模拟的结果吻合较好. 其中，102～104 s −1 应 变率下模拟屈服应力略低于解析计算值，这是因 为解析表达式的位错源激活应力以初始位错源长 度均值 500 nm 计算的，为保证各滑移面上位错源 不会同时激活，位错源长度满足一个高斯分布，因 而初始激活的位错源强度一定小于均值 99.33 MPa. τdrag = Bγ˙ ρb 2 γ˙ 值得注意的是，在 4×104 s −1 应变率时，模拟屈 服应力反而略高于解析计算值，这里归因于位错 阻尼运动受力，通过两种方法计算 4×104 s −1 应变 率时屈服应力的差值估计，位错运动阻尼力稍大 于 18.27 MPa，表明阻尼作用并不是高应变率屈服 应力的主导机制. 阻尼力来自位错与晶格热振动 之间的相互作用，可表示为： . 其中， 为 剪应变率，s −1 . 可见，在具有一定位错密度的晶体 内，随着位错运动速度增加，电子和声子对位错运 动的阻力也会随之增大. 然而，加载应变率越高， 小尺寸试样中的位错越容易在滑移时从自由表面 逃逸，并且位错逃逸的速度会超出位错增殖的速 度，晶体尺寸效应开始显著[7] ，由图 7（c）可知，高应 变率下的位错密度大大降低. 此时，阻尼力计算值 趋向于无穷大，与位错运动相关的阻尼力公式无 法合理表达流动应力贡献. 应变率从 102 s −1 到 4×104 s −1，位错源激活应力 在屈服应力中占比逐渐减小，位错增殖应力逐渐 增大，说明屈服应力的应变率敏感性机制从位错 源激活转变为位错增殖. 低应变率下位错通过更 多的滑移面位错源激活来贡献塑性应变，位错源 激活应力只与位错源初始长度有关，与应变率无 关，所以随着应变率增加，屈服强度保持相对稳 定. 在较高的应变率下，有限的内部源无法产生足 够的塑性来抵抗外部加载的增加，位错增殖成为 屈服应力增加的主要因素，位错增殖应力与应变 率密切相关，因而随着应变率增加，屈服强度显著 增加. 三维模拟也说明相似的现象，反过来，这些 内部位错源可能由于应力的增加而被破坏，位错 增殖机制会从内部 Frank−Read 位错源转变为表面 形核[18] . 4 结论 （1）本文基于二维离散位错动力学理论建立 的单晶铜亚微米柱压缩模型，通过引入截断位错 速度准则描述力控制下的位错雪崩，模拟得出应 力−应变曲线在位移加载时呈现准周期的锯齿状， 力加载时时呈现应力单调增加的台阶状，模拟结 果与微压缩实验结果相吻合，验证了模型在预测 单晶铜位错基塑性变形行为方面的可靠性. （2）力控制和位移控制的加载方式，不连续性 行为表现为应变突增的台阶状应力−应变曲线和 应力陡降的锯齿状应力−应变曲线，由于两者分别 通过加权位错速度和塑性应变率调控外加载荷的 大小，位错雪崩效应的内在机制归结为位错速度 的随机性和位错源开动的间歇性. （3）应变率在 102～4×104 s −1 的范围内，单晶铜 的屈服应力表现为正应变率敏感性，且应变率敏 感性机制发生改变. 通过对比位错滑移塑性滑移 量分布、建立流动应力不同机制解析表达，结果表 明在高应变率时，位错演化特征为多滑移面激活 均匀变形，应变率相关的位错增殖机制代替位错 王春晖等： 单晶铜塑性变形的二维离散位错动力学模拟研究 · 1373 ·