成都信息工程大学：《量子力学》课程电子讲义_第五章 微扰理论

1/91 量子力学 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0) 85533790(H) 邮址:Langan@126.com gdjsxzrs cuit. edu.cn 单位:光电技术系 今天人们听到量子力学,很少有不皱眉头的,但是,英国宇宙学家 斯蒂芬盒出语惊人,他说:“如果基础科学像我所希望的那样成为 一般知识的一部分的话。那么,目前作为量子理论悖论而出现的东 西,对于我们孩子们的孩子们来说,就将不过是常识而已。” ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/91 þ f å Æ : •S² …¡:  Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) eŒ: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX 8U<‚fþfåƧékغwÞ§´§=I‰»Æ[ d0¥·¿7ъ¯<§¦`µ“XJÄ:‰Æ·¤F"@¤ „£Ü©{§@o§8cŠþfnØØ ÑyÀ ܧéu·‚¯f‚¯f‚5`§ÒòØL´~£ ®" ”

2/91 第五章微扰理论 无论是经典力学还是量子力学,可以严格求解的物理系统总是少 数.如在经典力学中,两个物体在万有引力作用下运动,即二体问题 是可以严格解的,解出来就是位置随时间变化的关系一轨道;如果再 加上一个物体,即三个物体之间存在着引力,它们的运动规律就是经 典力学中著名的三体问题.19世纪末,法国数学家庞加莱证明了三体 问题是不可解的,或说是不可积的,即无法表示为一个轨道的方程甚 至无法表示为一个不定积分.庞加莱证明:对可积问题,初始条件作 微量调整,最终轨道也只要作微量修正就行了;如果是不可积问题, 初始条件的微小变动就会导致轨道完全不一样,即轨道对初始条件十 分敏感 实际的物理系统大多属于无法严格求解的问题.为了研究这些数 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/91 1ÊÙ ‡6nØ Ã. Ø. ´. ². ;. å. Æ. „. ´. þ. f. å. Æ. §Œ. ±. î. ‚. ¦. ). . Ô. n. X. Ú. o. ´. . ê. ©X3²;åÆ¥§ü‡ÔN3kÚåŠ^e$ħ=N¯K ´Œ±î‚)§)Ñ5Ò´ ‘žmCz'X—;¶XJ2 \þ‡ÔN§=n‡ÔNƒm3XÚ姧‚$Ä5ÆÒ´² ;åƥͶnN¯K©19­. V. ". §{. I. ê. Æ. [. . \. 4. y. ². . n. N. ¯. K. ´. Ø. Œ. ). . §½. `. ´. Ø. Œ. È. . §=. Ã. {. L. «. . . ‡. ;. . . . §. $. . Ã. {. L. «. . . ‡. Ø. ½. È. ©. © . \. 4. y. ². µé. Œ. È. ¯. K. §Ð. ©. ^. ‡. Š. ‡. þ. N. . §. ª. ;. . . . ‡. Š. ‡. þ. ?. . Ò. 1. . ¶X. J. ´. Ø. Œ. È. ¯. K. § Ð. ©. ^. ‡. . ‡. . C. Ä. Ò. ¬. . . ;. . . . Ø. . . §=. ;. . é. Ð. ©. ^. ‡. ›. ©. ¯. a. © ¢. S. . Ô. n. X. Ú. Œ. õ. á. u. Ã. {. î. ‚. ¦. ). . ¯. K. © ïÄù ê

3/91 学上无法严格求解的问题,我们可以使用各种近似方法、计算机模拟 或数值计算等进行处理.在什么情况下使用什么样的近似方法,考虑 哪些因素,忽略哪些因素,取舍之间蕴涵着丰富的物理内容 如:经典力学中的三体问题,通常使用微扰论来解决,即把第三 个物体的影响当作微扰来处理.譬如,地球与太阳是两体问题,加上 月亮就构成了三体问题.月亮对地球轨道也有影响,但这个影响很校 这就可以用微扰的方法来处理.微扰论在经典力学中取得的主要成就 有:海王星的发现、星际航行 量子力学最早处理的实际物理系统是原子,原子中一般都存在多 个电子,除每个电子与原子核间有库仑引力外,各电子之间还存在库 仑斥力;又由于电子还存在自旋,相应有自旋磁矩,因此与电子轨道 运动产生的轨道磁矩有相互作用,轨道磁矩之间还可有相互作用;原 子核可以有核磁矩,因此核磁矩与轨道磁矩电子自旋磁矩也可能有相 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3/91 ÆþÃ{)¯K§·‚Œ±¦^ˆ«Cq{!OŽÅ[ ½êŠOŽ?1?n©3Ÿoœ¹e¦^ŸoCq{§Ä = σ§Ñ= σ§ƒm%ºX´LÔnSN© Xµ²;åÆ¥nN¯K§Ï~¦^‡6Ø5)û§=r1n ‡ÔNKŠ‡65?n©žX§/¥†´üN¯K§\þ ￾￾￾Ò¤ nN¯K©￾￾￾é/¥;kK§ù‡Ké ùҌ±^‡6{5?n©‡6Ø3²;åÆ¥̇¤Ò kµ°(uy!(SÊ1© þfåƁ@?n¢SÔnXÚ´f§f¥„Ñ3õ ‡>f§Øz‡>f†fØmk¥ÕÚå §ˆ>fƒm„3¥ Õ½å¶qdu>f„3g^§ƒAkg^^ݧÏd†>f; $Ä);^ÝkƒpŠ^§;^݃m„ŒkƒpŠ^¶ f،±kØ^ݧÏdØ^݆;^Ý>fg^^ݏŒUkƒ

4/91 互作用… HI= HE +HM R +>f(R)S·s +∑∫(r,n)s:s+∑∫(n,r)s:l+ 量子力学处理的是微观粒子,而实际问题大多包含多个微观粒子,因 此量子力学处理实际问题的复杂性还来自于一多体性.量子多体问题 的处理需要统计物理和量子场论的知识 如何把量子力学应用于各种实际的物理系统,发展新的计算方 法,提出新的物理概念和物理图象,是自20世纪30年代量子力学建立 后物理学家的主要工作.这些工作使物理学的研究领域不断扩展,人 类知识不断积累,科学研究的规模也越来越大,对社会的影响也日益 增强.量子力学有关的近似方法有:微扰论、变分法、平均场方法、 重整化群方法、格林函数方法等 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 4/91 pŠ^...... HI = HE + HM = X i − e 2 Ri + X i j e 2  ri − rj   + X i f (Ri) S · si + X i j f ￾ ri , rj
si · sj + X i j f ￾ ri , rj
si · lj + ... þfåÆ?n´‡*âf§ ¢S¯KŒõ¹õ‡‡*âf§Ï dþfåÆ?n¢S¯KE,5„5gu—õN5©þfõN¯K ?nI‡ÚOÔnÚþf|Ø£© X. Û. r. þ. f. å. Æ. A. ^. u. ˆ. «. ¢. S. . Ô. n. X. Ú. §u. Ð. #. . O. Ž. . {. §J. Ñ. #. . Ô. n. V. g. Ú. Ô. n. ã. . §´. g. 20­. V. 30c. . þ. f. å. Æ. ï. á. ￾￾￾. Ô. n. Æ. [. . Ì. ‡. ó. Š. ©ù. . ó. Š. ¦. Ô. n. Æ. . ï. Ä. +. . Ø. ä. *. Ð. §<. a. . £. Ø. ä. È. \. §‰. Æ. ï. Ä. . 5. . . . 5. . Œ. §é. . ¬. . K. . . F. Ã. O. r. ©þ. f. å. Æ. k. '. . C. q. . {. k. µ‡. 6. Ø. !C. ©. {. !². þ. |. . {. ! ­. . z. +. . {. !‚. . ¼. ê. . {. . ©

5/1 立微扰理论一般可分为两类:一类是体系的哈密顿算符不显含 时间一定态微扰理论;另一类是体系的哈密顿算符是时间的函数一含 时微扰理论 §51-5讨论的是定态微扰问题 §5.6-7讨论的是含时微扰问题 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 5/91 ~ ‡. 6. n. Ø. . „. Œ. ©. . ü. a. µ. a. ´. N. X. . M. . î. Ž. Î. Ø. w. ¹. ž. m. —½. . ‡. 6. n. Ø. ¶,. . a. ´. N. X. . M. . î. Ž. Î. ´. ž. m. . ¼. ê. —¹. ž. ‡. 6. n. Ø. © § 5.1-5 ?Ø´½‡6¯K¶ § 5.6-7 ?Ø´¹ž‡6¯K©

51.非简并定态微扰理论 6/91 85.1非简并定态微扰理论 微扰理论一处理的是理想系统严格解基础上的微小修正.假设体 系的哈密顿算符H不显含时间,而且可分为两部分:H0和m;已 知H0的本征值和本征函数分别为:E0),y0;H很校可看作是加在 H0上的微扰.即 H=H(O+H (5.1-1) H0)y0 n= ( OL 0 (5.1-2) H n=Enyn 5.1-3 其中,En,vn分别是H的本征值和本征函数 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. š{¿½‡6nØ 6/91 §5.1 š{¿½‡6nØ ‡6nØ—?n´nŽXÚî‚)Ä:þ‡?©bN XMîŽÎ Hb Øw¹žm§ …Œ©üÜ©µHb(0) Ú Hb0 ¶® Hb(0) ŠÚ¼ê©OµE (0) n , ψ(0) n ¶Hb0 éŒwŠ´\3 Hb(0) þ‡6©= ~ Hb = Hb(0) + Hb0 , (5.1-1) ~ Hb(0)ψ (0) n = E (0) n ψ (0) n , (5.1-2) ~ Hbψn = Enψn. (5.1-3) Ù¥§En, ψn ©O´ Hb ŠÚ¼ê©

§5.1.非简并定态微扰理论 7/1圆 E2 EI 图23受微扰后能级的移动 如果没有微扰,则H就是F0;En,ψ就是E0,v0.微扰的引 入使得体系的能级由E0变为En,即能级发生移动(如图示),波函数 也由ψ0变为n本节和下两节讨论定态微扰理论,使我们可以近似 地由H0的分立能级E0求出与H相应的能级En,由波函数ψ0求 出n 微扰项H的确切含义将在后面[见51-22].为了明显地表示出微 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. š{¿½‡6nØ 7/91 XJvk‡6§KHb Ò´ Hb(0)¶En, ψn Ò´ E (0) n , ψ(0) n ©‡6Ú \¦NXU?d E (0) n C En§=U?u)£Ä(Xã«)§Å¼ê d ψ (0) n C ψn©!Úeü!?ؽ‡6nا¦·‚Œ±Cq /d Hb(0) ©áU? E (0) n ¦Ñ† Hb ƒAU? En§dżê ψ (0) n ¦ Ñ ψn© ‡6‘ Hb0 (ƒ¹Âò3￾￾￾¡[„5.1-22]© ²w/L«Ñ‡

§5.1.非简并定态微扰理论 8/91 小的程度,将H写为 H=AHO (5.1-4) 其中A是很小的实参数.由于En,n都与微扰有关,可以它们看作是 表征微扰程度的参数A的函数.波函数与能量本征值都可按A的幂级 数进行展开,称为微扰参数 En=E0+AE(1)+2E(2)+ 5.1-5) yn=v0++2 (5.1-6) 式中,E0,y0分别是体系未受微扰时的能量和波函数,称为零级近 似能量和零级近似波函数.AE(,是能量和波函数的一级修正, 等等 将式(5.1-1)、(5.1-4)(5,1-6代入式51-3)中,得到 (H0+A()(y0+m+2yn ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. š{¿½‡6nØ 8/91 §Ý§ò Hb0  ~ Hb0 = λHb(1) , (5.1-4) Ù¥ λ ´é¢ëê©du En, ψn ц‡6k'§Œ±§‚wŠ´ L‡6§Ýëê λ ¼ê©Å¼ê†UþŠÑŒU λ ? ê?1Ðm§¡‡6ëê. ~ En = E (0) n + λE (1) n + λ 2E (2) n + · · · , (5.1-5) ~ ψn = ψ (0) n + λψ(1) n + λ 2ψ (2) n + · · · . (5.1-6) ª¥§E (0) n , ψ(0) n ©O´NX™É‡6žUþÚżꧡ"?C qUþÚ"?Cqżê©λE (1) n , λψ(1) n ´UþÚżê??§ © òª(5.1-1)!(5.1-4)—(5.1-6)\ª(5.1-3)¥§ (Hb(0) + λHb(1))(ψ (0) n + λψ(1) n + λ 2ψ (2) n + · · · )

51.非简并定态微扰理论 9/91 (E0+Em+2E2)+…)(y0+n)+x2y23+…).(5.1-7) 这个等式两边A同次幂的系数应相等,由此得到下面一组方程 H0-E0)y0=0, 5.1-8) HO-EOYO=-(HW-En ) un, 5.1-9) (H0-E0)y2)=-(H1)-E0)ym)+E2y2) 1-10 方程式(518)就是方程式(51-2)式(519是如所满足的微分方程 由它可以得出E和ψ.注意,如果v)是方程式(519)的解,则由 式(51-8),四)+ay0也是方程的解,a是任意常数 引进λ的目的是为了更清楚地从方程式(517)按数量级分出 式(5.1-8),(5,1-9),……达到目的后,可将省去,把H()理解为 H,把E,ψn)理解为能量和波函数的一级修正 下面讨论E0非简并的情况对应于一个本征值,0的本征函 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. š{¿½‡6nØ 9/91 = (E (0) n + λE (1) n + λ 2E (2) n + · · · )(ψ (0) n + λψ(1) n + λ 2ψ (2) n + · · · ). (5.1-7) ù‡ªü> λ ÓgXêAƒ§dde¡|§ (Hb(0) − E (0) n )ψ (0) n = 0, (5.1-8) (Hb(0) − E (0) n )ψ (1) n = −(Hb(1) − E (1) n )ψ (0) n , (5.1-9) (Hb(0) − E (0) n )ψ (2) n = −(Hb(1) − E (1) n )ψ (1) n + E (2) n ψ (2) n , (5.1-10) . . . §ª(5.1-8)Ò´§ª(5.1-2)©ª(5.1-9)´ ψ (1) n ¤÷v‡©§§ d§Œ±Ñ E (1) n Ú ψ (1) n ©5¿§XJ ψ (1) n ´§ª(5.1-9))§Kd ª(5.1-8)§ψ (1) n + αψ(0) n ´§)§α ´?¿~ê© Ú? λ 8´ Ù/l§ª(5.1-7)Uêþ?©Ñ ª(5.1-8)§(5.1-9)§......©ˆ8￾￾￾§Œòλ Ž§r Hb(1) n) Hb0§r E (1) n , ψ(1) n n)UþÚżê??© e¡?Ø E (0) n š{¿œ¹©éAu‡Š§Hb(0) ¼

§5.1.非简并定态微扰理论 101圆 数只有一个ψ,它就是ψn的零级近似.设0是归一化的,为了求 出En),以ψ0左乘式(5-9两边,并对整个空间积分,得 VO*(H(O-EOWOdr Ei/v0"wodr-/voH'vodr (5.1-11) 注意到H是厄密算符,E0是实数,有 V(O*(H(O)-EO)Odr /(9="wk= 5.1-12) 于是由式(51-11),并注意到ψ的正交归一性,得 EA=/voH'WodT =H (5.1-13) ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. š{¿½‡6nØ 10/91 êk‡ ψ (0) n §§Ò´ ψn "?Cq© ψ (0) n ´8z§ ¦ Ñ E (1) n §± ψ (0) n †¦ª(5.1-9)ü>§¿é‡mÈ©§ Z ψ (0)∗ n (Hb(0) − E (0) n )ψ (1) n dτ = E (1) n Z ψ (0)∗ n ψ (0) n dτ − Z ψ (0)∗ n Hb0ψ (0) n dτ. (5.1-11) 5¿ Hb(0) ´ŽÎ§E (0) n ´¢ê§k Z ψ (0)∗ n (Hb(0) − E (0) n )ψ (1) n dτ = Z h (Hb(0) − E (0) n )ψ (0) n | {z } i∗ ψ (1) n dτ = 0. (5.1-12) u´dª(5.1-11)§¿5¿ ψ (0) n 85§ E (1) n = Z ψ (0)∗ n Hb0ψ (0) n dτ = H 0 nn, (5.1-13)