成都信息工程大学：《量子力学》课程电子讲义_第二章 波函数和Schrodinger方程

1/86 量子力学 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0) 85533790(H) 邮址:Langan@126.com gdjsxzrs cuit. edu.cn 单位:光电技术系 今天人们听到量子力学,很少有不皱眉头的,但是,英国宇宙学家 斯蒂芬盒出语惊人,他说:“如果基础科学像我所希望的那样成为 一般知识的一部分的话。那么,目前作为量子理论悖论而出现的东 西,对于我们孩子们的孩子们来说,就将不过是常识而已。” ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/86 þ f å Æ : •S² …¡:  Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) eŒ: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX 8U<‚fþfåƧékغwÞ§´§=I‰»Æ[ d0¥·¿7ъ¯<§¦`µ“XJÄ:‰Æ·¤F"@¤ „£Ü©{§@o§8cŠþfnØØ ÑyÀ ܧéu·‚¯f‚¯f‚5`§ÒòØL´~£ ®" ”

2/86 第二章波函数和 Schrodinger方程 由 de broglie物质波假说,微观粒子的运动状态可用波函数表示 如对自由粒子,具有确定的能量E和动量p,所以对应波函数为 个平面波 y=Acos[k·r-on], k==n, 这里n是波动传播方向(粒子运动方向)的单位矢量。波函数一般写 为复数形式: y= Ae(k-r-oD= AeH(p-p-ED 波函数的本质: de broglie和薛定谔认为波函数(或波包)对应的是物 理实在,具有真实的物理涵义(如把波包看作是粒子本身,或把波函 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/86 1٠żêÚSchrodinger ¨ § dde BroglieԟÅb`§‡*âf$ÄGŒ^żêL«§ Xégdâf§äk(½Uþ EÚÄþ p§¤±éAÅ¼ê ‡²¡Åµ ψ = A cos[k · r − ωt] , k = 2π λ nˆ, ω = 2πν, ùp nˆ´ÅÄD•£âf$Е¤ü ¥þ"żê„ Eê/ªµ ψ = Aei(k·r−ωt) = Ae i ~ (p·r−Et) żêŸµde BroglieÚŽ™@Å¼ê£½Å¤éA´Ô n¢3§äký¢ÔnºÂ£XrŝwŠ´âf§½rż

3/86 数看作是原子中电荷的分布)。玻尔等人则更倾向于把波函数看作是 一种“计算方法”,看作是人们对微观粒子所具有的知识,波函数本身 不对应任何物理实在(如在经典电动力学中,E和B都对应真实的电 场和磁场),无法直接测量。 微观粒子的“波粒二象性”反映出人类认识微观规律时,宏观物理 学中的概念不能完全适用,但为了描述微观规律又不得不借用宏观物 理学的语言,波、粒子、动量、能量、波长、频率,但这些语言在微 观物理学中的真实涵义已经改变,而要精确反映这些涵义的改变,唯 的办法是使用数学语言,因为只有数学语言才是绝对精确的。 如按照经典物理学的语言,粒子是指其具有一定的质量、电荷等 属性,在空间中是集中分布的,具有确定的位置,运动时有确定的轨 道。但在微观物理学中粒子的轨道概念被彻底抛弃了,位置也不确定 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3/86 êwŠ´f¥>Ö©Ù¤"ÀÄåÆ¥§EÚBÑéAý¢> |Ú^|¤§Ã{†ÿþ" ‡. *. â. f. . “Å. â. . . 5. ”‡. N. Ñ. Ö á5§3m¥´8¥©Ù§äk(½ §$Ğk(½; "3‡*ÔnÆ¥âf;Vg.ï § Ø(½ "

4/86 按经典物理学的语言,波是某种实际物理量在空间中做周期性的 传播,有干涉和衍射现象,即具有波的相干叠加性。但在微观物理学 中,物质粒子具有波动性,并不一定要求某种实际的物理量在空间中 有个分布,但需要保留波的相干叠加性。 ★ de broglie和薛定谔的观点由于过分地夸大了“波”的概念,波 包的不稳定性以及我们每次观察到的都是整个电子,而非电荷的分 布。这些困难使 de broglie和薛定谔的观点没有得到大家的普遍接受 (思考:在欧洲,很长时间以来,拉丁语被认为是科学的语言, 直到现在我们还常说法语是法律的语言。语言是否会影响人们对客观 世界的认识?不同的语言是否会导致不同的对世界的认识?如:汉 语,完全不同于西方式的语言,是“非拼音”,“单音节”的。汉语语言 的特点决定其对世界的认识是“诗化”的,而无法在其内部产生欧洲式 的“数理”世界。这两种对世界的认识是否是“互补”的?) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 4/86 U²;ÔnÆŠó§Å´,«¢SÔnþ3m¥‰±Ï5 D§kZÚûy§=äkŃZU\5"3‡*ÔnÆ ¥§ÔŸâfäkÅÄ5§¿Ø½‡¦,«¢SÔnþ3m¥ k‡©Ù§I‡3ŃZU\5" ? de BroglieÚŽ™*:duL©/§Œ “Å”Vg§Å Ø­½5±9·‚zg* Ñ´‡>f§ š>Ö© Ù"ù (J¦de BroglieÚŽ™*:vkŒ[ÊHÉ" £gµ3éžm±5§.¶Š@´‰ÆŠó§ †y3·‚„~`{Š´{ÆŠó"Šó´Ä¬K<‚é* ­.@£ºØÓŠó´Ä¬ØÓé­.@£ºXµÇ Š§ØÓuܐªŠó§´“š©Ñ”§“üÑ!”"NJŠó A:û½Ùé­.@£´“z”§ Ã{3ÙSÜ) “ên”­."ùü«é­.@£´Ä´“pÖ”º¤

82.1.波函数的统计解释 5/86 82.1波函数的统计解释 21.1波函数的统计解释 玻恩( Max born)提出2=y*正比于在该点单位体积内发现 粒子的几率 w(x,y,z,D)∝ψ(x,y,z,t)dr, 这样物质波对应的就是几率波 按照几率波的解释,与Cψ描述的是同样的几率分布,反映出 样多的关于微观粒子运动的信息,即描述了相同的微观粒子运动状 态。(因为有实在意义的是相对几率或强度) 波函数的归一化:如微观粒子不产生,不湮没(非相对论量子力 学),空间各点几率之和应为1,即: l l dr =1 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 5/86 §2.1 żêÚO)º 2.1.1 żêÚO)º À£Max Born¤JÑ |ψ| 2 = ψψ∗'u3T:ü NÈSuy âfAÇ" w(x, y, z, t) ∝ |ψ(x, y, z, t)| 2 dτ, ùԟÅéAÒ´AÇÅ" UìAÇÅ)º§ ψ† Cψ£ã´ÓAÇ©Ù§‡NÑ õ'u‡*âf$Ä&E§=£ã ƒÓ‡*âf$ÄG "£Ïk¢3¿Â´ƒéAǽrݤ żê8zµX‡*âfØ)§Øv£šƒéØþfå Ƥ§ Z mˆ:AǃÚA1§=µ ∞ |ψ| 2 dτ = 1

82.1.波函数的统计解释 6/86 x表示对(微观离子所能到达的)全空间积分,满足此条件的波函数 y称为归一化波函数 波函数的归一化条件相当于波函数的平方可积条件 lul dT=C<A C是确定正实常数 则 dT=1 即是归一化波函数,是归一化因子 注1:相位不确定性,由于lm=1(m为任意实常数,相位) eoψ与ψ描述的是相同的微观粒子运动状态(简称为状态)。(这是 因为小不对应物理实在,仅师对应几率波) 注2:一般而言,微观粒子运动状态可分为两类,束缚态(运动 状态被限定在一定范围内,E<0),自由态(运动状态不受限制, ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 6/86 ∞L«é£‡*lf¤Uˆ¤mÈ©§÷vd^‡żê ψ¡8zżê" żê8z^‡ƒużê²ŒÈ^‡µ Z ∞ |ψ| 2 dτ = C < A, A, , C´(½¢~ê Kµ Z ∞     ψ √ C     2 dτ = 1 = ψ √ C ´8zÅ¼ê§ 1 √ C ´8zÏf" 51µƒ Ø(½5§du  e iα   = 1£α?¿¢~꧃ ¤§ e iαψ† ψ£ã´ƒÓ‡*âf$ÄG£{¡G¤"£ù´ Ϗ ψØéAÔn¢3§= |ψ| 2éAAÇŤ 52µ„ ó§‡*âf$ÄGŒ©üa§åP£$Ä G½3½‰ŒS§ E < 0¤§gd£$ÄGØɁ›§

82.1.波函数的统计解释 7/86 E>0)。对束缚态,平方可积条件显然满足,但对自由态,则不成 对自由粒子波函数ψ=Aek,|2称为相对几率密度 例1:箱归一化,即:我们定义波函数在边长L的立方体内是归 化的 sJ4eWkr-0,r∈L3 rE 如果L很大(L>10mm,L很大成立的条件,1*计算表面态原子数目 与总原子数的比例,p≈"=“My=6%;2*比较电子(一般而言 则是准粒子)运动自由程l与系统尺度L的大小,Ll表示L足够大。) 边界条件对体积V=L3内粒子运动影响很小,所以我们可以构 造周期性边条件:ψ(x,y,z)=ψ(x+L,y,z)=叭(x,y+L,z) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 7/86 E > 0¤"éåP§²ŒÈ^‡w,÷v§égd§Kؤ á" égdâfżê ψ = Aei(k·r−ωt)§|ψ| 2¡ƒéAÇÝ" ~1µ‡8z§=µ·‚½Âżê3>LáNS´8 z" ψ = ( Aei(k·r−ωt) , r ∈ L 3 0, r f£„ ó K´Oâf¤$Ägd§ l†XÚºÝLŒ§L lL«Lv Œ"¤ >.^‡éNÈV = L 3Sâf$ÄKé§¤±·‚Œ± E±Ï5>^‡µψ(x, y, z) = ψ(x + L, y, z) = ψ(x, y + L, z) =

2.1.波函数的统计解释 8/86 (x,y,z+L)来代替实际的边界条件。 ll dr Adt=a2l3=1 VEL 所以:A= VV VL3 归一化波函数为:k(,D)=e1k=0 边界条件则限制了波失k的取值 krL=2nr,kyL= 2nyI,k,L=2nzT 即 2 2丌 k k h2 E=ho(k)= k m (n2+n2+n2),自由粒子能谱 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 8/86 ψ(x, y, z + L)5O¢S>.^‡" Z ∞ |ψ| 2 dτ = Z V=L3 A 2 dτ = A 2L 3 = 1 ¤±µA = 1 √ V = 1 √ L3 8zżꏵψk(r, t) = 1 √ V e i(k·r−ωt) >.^‡K› ÅkŠµ kxL = 2nxπ, kyL = 2nyπ, kzL = 2nzπ =µ kx = nx 2π L , ky = ny 2π L , kz = nz 2π L E = ~ω(k) = p 2 2m = ~ 2 2m ￾ k 2 x + k 2 y + k 2 z
=  2π L 2 ~ 2 2m ￾ n 2 x + n 2 y + n 2 z
, gdâfUÌ

82.1.波函数的统计解释 9/86 所以波函数可以写为: ok(r, t) vp(2) nr-w(k)t=pr(r) -io(k) pk(r)= (当L→∞时,相临k值及能量值趋于零,即自由粒子对应 于连续谱。) 正交归一:现在证明归一化波函数小k()构成一个正交归一函数系 (类比笛卡儿坐标系) Pi(r)yk(r)dr =(kk)=ok,k 2 L/2 L/2 42=/些a e-k少dy (k2-k2)zdz L/2 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 9/86 ¤±Å¼êŒ±µ ψk(r, t) = 1 √ V exp  i 2π L  n · r − ω(k)t  = ψk(r)e −iω(k)t ψk(r) = 1 √ V e ik·r = 1 √ V exp  i  2π L  n · r  £L → ∞ž§ƒ k Š9UþŠªu"§=gdâféA uëYÌ"¤ 8µy3y²8zżêψk(r)¤‡8¼êX £a'(k‹IX¤µ Z V ψ ∗ k (r)ψk 0(r)dτ = k   k 0  = δk,k 0 k   k 0  = 1 L3 Z L/2 −L/2 e i(k 0 x−kx)x dx Z L/2 −L/2 e i(k 0 y−ky)y dy Z L/2 −L/2 e i(k 0 z−kz)z dz

82.1.波函数的统计解释 1086回6 /p(-m)a/p(2-) /2 L/2 L/2 exp L/2 1 sin(I(n'-nx)) sin((ny-ny)) sin(I(n2-n2) n-n ny (Z( sin((nf-nx) sIn(丌 (ny-ny )) sin(r(n'2-n2) n 丌(m-n 丌(n 当mx≠n时,sin[(m2-nx)=0, 当n=n时,(一m)可 1 nx)丌 所以:(k|k)=6n1m①16m=k,这样k()就构成正交归一函数 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §2.1. żêÚO)º 10/86 = 1 L3 Z L/2 −L/2 exp  i  2π L ￾ n 0 x − nx
 x  dx Z L/2 −L/2 exp  i  2π L ￾ n 0 y − ny
 y  dy Z L/2 −L/2 exp  i  2π L ￾ n 0 z − nz
 z  dz = 1 L3 · sin ￾ π ￾ n 0 x − nx

￾ π L ￾ n 0 x − nx

· sin ￾ π ￾ n 0 y − ny

￾ π L ￾ n 0 y − ny

· sin ￾ π ￾ n 0 z − nz

￾ π L ￾ n 0 z − nz

= sin ￾ π ￾ n 0 x − nx

π ￾ n 0 x − nx
· sin ￾ π ￾ n 0 y − ny

π ￾ n 0 y − ny
· sin ￾ π ￾ n 0 z − nz

π ￾ n 0 z − nz
n 0 x , nxž§ sin ￾n 0 x − nx
π = 0§ n 0 x = nxž§ sin ￾n 0 x − nx
π ￾ n 0 x − nx
π = 1 ¤±µhk | k 0 i = δnxn 0 x δnyn 0 y δnzn 0 z = δkk0§ùψk(r)Ò¤8¼ê