成都信息工程大学：《量子力学》课程电子讲义_第四章 态和力学量的表象

量子力学 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0) 85533790(H) 邮址:Langan@126.com gdjsxzrs cuit. edu.cn 单位:光电技术系 今天人们听到量子力学,很少有不皱眉头的,但是,英国宇宙学家 斯蒂芬盒出语惊人,他说:“如果基础科学像我所希望的那样成为 一般知识的一部分的话。那么,目前作为量子理论悖论而出现的东 西,对于我们孩子们的孩子们来说,就将不过是常识而已。” ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/61 þ f å Æ : •S² …¡:  Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) eŒ: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX 8U<‚fþfåƧékغwÞ§´§=I‰»Æ[ d0¥·¿7ъ¯<§¦`µ“XJÄ:‰Æ·¤F"@¤ „£Ü©{§@o§8cŠþfnØØ ÑyÀ ܧéu·‚¯f‚¯f‚5`§ÒòØL´~£ ®" ”

2/61 第四章态和力学量的表象 到现在为止,体系的状态我们都是用坐标(x,y,z)的函数来表 的,也就是说描写状态的波函数是坐标的函数,而力学量则用作用于 这种左边函数的算符来表示.在量子力学中这种表示方式是唯一的 吗?答案是否定的.正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样,在量 子力学中波函数也可选用其它变量的函数,力学量则相应地表示为作 用于这种波函数的算符 至量子力学中态和力学量的具体表示方式表象.前面我门以坐标 作为变数的表象称为坐标表象.本章讨论其它表象、表象变换和狄啦 克 Dirac's notation)算符 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/61 1oÙ ÚåÆþL y3Ž§NXG·‚Ñ´^‹I(x, y, z)¼ê5L« §Ò´`£Gż괋I¼ê§ åÆþK^Š^u ù«†>¼êŽÎ5L«©3þfåÆ¥ù«L«ª´ íº‰Y´Ä½©XAÛÆ¥À^‹IXØ´§3þ fåƥżꏌÀ^Ù§Cþ¼ê§åÆþKƒA/L«Š ^uù«Å¼êŽÎ© ~ þ. f. å. Æ. ¥. . Ú. å. Æ. þ. . ä. N. L. «. . ª. —L. . ©c¡·€±‹I ŠCêL¡‹IL©Ù?ØÙ§L!LC†Ú)3 Ž(Dirac’s notation)ŽÎ©

84.1.态的表象 3/61 841态的表象 假设体系的状态在坐标表象中用波函数(x,t)描写,下面讨论该 状态如何用动量表象描写 在坐标表象中,一维情况下动量算符的本征函数 y(x)= (2rh)/epx (4.1-1) 构成完全系.因此,波函数(x,)可以按ψx)展开为 p(r, t c(p, t)yp(r)dp, (4.1-2) 式中系数c(p,t)由下式确定 c(p, t)=/Y(r, t)p(x)dx. (4.1-3) 如果(x,t)是归一化的波函数,则由归一化条件容易证明 Y(x, t)dx=/Ic(p, t)r2 dI (4.1-4) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 3/61 §4.1 L bNXG3‹IL¥^żê Ψ(x, t) £§e¡?ØT GXÛ^ÄþL£© 3‹IL¥§‘œ¹eÄþŽÎ¼ê ψ(x) = 1 (2π~) 1/2 e i ~ px (4.1-1) ¤X©Ïd§Å¼ê Ψ(x, t) Œ±U ψp(x) Ðm Ψ(x, t) = Z c(p, t)ψp(x)dp, (4.1-2) ª¥Xê c(p, t) deª(½ c(p, t) = Z Ψ(x, t)ψ ∗ p (x)dx. (4.1-3) XJ Ψ(x, t) ´8zżê§Kd8z^‡N´y² Z |Ψ(x, t)| 2 dx = Z |c(p, t)| 2 dp = 1. (4.1-4)

84.1.态的表象 4/61 Y(x,t)2dx是Y(x,t所描写的态中测量粒子位置所得结果在 x→x+dx范围内的几率.由式36-9)下面的讨论[见P85,我们知道 c(p,t)2dp是在W(x,1)所描写的态中测量粒子动量所的结果在 p→p+dp范围内的几率 可见c(p,1)和(x,1)描写同一个状态,(x,1)是这个状态在坐标 表象中的波函数,c(p,t)是同一状态在动量表象中的波函数 如果平(x,1)所描写的状态是具有动量p的自由粒子的状态,即 (x,D)=ψp(x)e 则由式(4.1-3),有 c(p,t)=/Vp(rJe HEp'wp(x)dx=8(p-p)e hept (4.1-5) 所以在动量表象中,粒子具有确定动量p的波函数是以动量p为变 量的δ函数 同样,x在坐标表象中对应于确定值x'的本征函数是6(x-x) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 4/61 |Ψ(x, t)| 2 dx ´. Ψ(x, t) ¤. £. . . . ¥. ÿ. þ. â. f.  . . ¤. . (. J. 3. x → x + dx ‰. Œ. S. . A. Ç. ©d. ª. (3.6-9)e. ¡. . ?. Ø. [„. P.85]§·. ‚. . . |c(p, t)| 2 dp ´. 3. Ψ(x, t) ¤. £. . . . ¥. ÿ. þ. â. f. Ä. þ. ¤. . (. J. 3. p → p + dp ‰. Œ. S. . A. Ç. © ~ Œ. „. c(p, t) Ú. Ψ(x, t) £. . Ó. . ‡. G. . §Ψ(x, t) ´. ù. ‡. G. . 3. ‹. I. L. . ¥. . Å. ¼. ê. §c(p, t) ´. Ó. . G. . 3. Ä. þ. L. . ¥. . Å. ¼. ê. © XJ Ψ(x, t) ¤£G´äkÄþ p 0 gdâfG§= Ψ(x, t) = ψp 0(x)e− i ~ Ep 0 t . Kdª(4.1-3)§k c(p, t) = Z ψp 0(x)e− i ~ Ep 0 tψ ∗ p (x)dx = δ(p − p 0 )e− i ~ Ep 0 t . (4.1-5) ¤±3ÄþL¥§âfäk(½Äþ p 0 ż괱Äþ p C þ δ ¼ê© Ó§x 3‹IL¥éAu(½Š x 0 ¼ê´ δ(x − x 0 )§

41.态的表象 5/61 这可由下列本征值方程验证 6(x-x)=x'o(x-x) (4.1-6) 上面的结论可以加以推广.现在讨论在任一力学量Q的表象 中,平(x,t)所描写的状态如何表示 分立本征值情形.设Q具有本征值Q1,Q2…,Qn,……,对应的本 征函数是u1(x),u2(x),……,un(x),….将W(x,)按Q的本征函数展 开,代替式(4.1-2)有 平(x,1)=)an(D)un(x) (4.1-7) 其中 an(t)=/Y(r, t)un(r)dx. (4.1-8) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 5/61 ùŒdeŠ§y xδ(x − x 0 ) = x 0 δ(x − x 0 ). (4.1-6) þ¡(،±\±í2©y3?Ø3?åÆþ Q L ¥§Ψ(x, t) ¤£GXÛL«© ✿ ©. á. . . Š. œ. /. © Q äkŠ Q1, Q2, · · · , Qn, · · · §éA ¼ê´ u1(x), u2(x), · · · , un(x), · · · ©ò Ψ(x, t) U Q ¼êÐ m§Oª(4.1-2)k ~ Ψ(x, t) = X n an(t)un(x), (4.1-7) Ù¥ ~ an(t) = Z Ψ(x, t)u ∗ n (x)dx. (4.1-8)

41.态的表象 6/61 如果平(x,t)和un(x)都是归一化的,则 l(r, t)Idx= ∑ am(t)an(t)/um(r)un(r)dx ∑an()an()nm mn ∑ am(t)an(t) (4.1-9) 由此可知,|an2是在W(x,t)所描写的态中测量力学量Q所测得 的结果为本Qn的几率.数列 a1(t1),a2(1),…an(t), (4.1-10) 就是(x,1)所描写的态在Q表向中的表示.我们可以把(41-10)写成 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 6/61 XJ Ψ(x, t) Ú un(x) Ñ´8z§K Z |Ψ(x, t)| 2 dx = X nm a ∗ m(t)an(t) Z u ∗ m(x)un(x)dx = X mn a ∗ m(t)an(t)δnm = X n a ∗ n (t)an(t) = 1. (4.1-9) ddŒ§|an| 2 ´3 Ψ(x, t) ¤£¥ÿþåÆþ Q ¤ÿ (J Qn AÇ©ê a1(t), a2(t), · · · an(t), · · · . (4.1-10) Ò´ Ψ(x, t) ¤£3 Q L•¥L«©·‚Œ±r(4.1-10)¤

841.态的表象 7/61 列矩阵的形式,并用平标记(关于矩阵的知识见附录三) a1(t) (.1-11) Y的共厄矩阵是行矩阵,用平+标记 ) 1-12 采用这些记号后,式(41-9)可写为 yty=1 .1-13) 有连续本征值的情形.如果力学量Q除了具有分立的本征值 Q1,Q2,…,Qn…外还具有连续的本征值q(q在一定范围内连续变 化),对应的归一化本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),u(x)(例如,氢 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 7/61 Ý /ª§¿^ Ψ IP('uÝ £„N¹n) ~ Ψ =   a1(t) a2(t) . . . an(t) . . .   (4.1-11) Ψ 
Ý ´1Ý §^ Ψ+ IP ~ Ψ + = ￾ a ∗ 1 (t), a ∗ 2 (t), · · · , a ∗ n (t), · · ·
. (4.1-12) æ^ù PÒ￾￾￾§ª(4.1-9)Œ ~ Ψ +Ψ = 1. (4.1-13) ✿ k. ë. Y. . . Š. . œ. /. ©XJåÆþ Q Ø äk©áŠ Q1, Q2, · · · , Qn, · · · „äkëYŠ q (q 3½‰ŒSëYC z)§éA8z¼ê u1(x), u2(x), · · · , un(x), uq(x) (~X§•

41.态的表象 8/61 原子的能量就是如此),那么式(41-7)应改写为 平(x,D)=∑aMnx)+/ax)dg (4.1-14) 式中 an(t)=/Y(, tun(r)dx, q(1)=/(x,a2(x)dx 式(419)则改写为 ∑qOn0)+/ aq(t)ag(t)dg=1 (4.1-15) an(t)2是在Wx,t)所描述的态中测量力学量Q所得结果的几率, aa()dq是在q→q+dq之间的几率 此时,在Q表象中(x,t)仍然可用一个列矩阵表示,这个矩阵 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 8/61 fUþÒ´Xd)§@oª(4.1-7)AU ~ Ψ(x, t) = X n an(t)un(x) + Z aq(t)uq(x)dq, (4.1-14) ª¥ ~ an(t) = Z Ψ(x, t)u ∗ n (x)dx, aq(t) = Z Ψ(x, t)u ∗ q (x)dx. ª(4.1-9)KU ~ X n a ∗ n (t)an(t) + Z a ∗ q (t)aq(t)dq = 1. (4.1-15) |an(t)| 2 ´3 Ψ(x, t) ¤£ã¥ÿþåÆþ Q ¤(JAǧ  aq(t)   2 dq ´3 q → q + dq ƒmAÇ. dž§3 Q L¥ Ψ(x, t) E,Œ^‡Ý L«§ù‡Ý

41.态的表象 9/61 除了有可数的元a1(t),a2(),…,an(D),…外还有连续元a4(1): a1(t) a2() (a(),a2(t,…,a"(,…,a() 式(41-15)仍然有效,即 y+Y=1 (4.1-16) 总之,同一个态可以在不同的表象中用波函数来描写,所取的表 象不同,波函数的形式也不同,但它们描写同一个态.例如(41-1)和 (41-5)式都描写动量为萨的自由粒子的状态,(41-1)式是在坐标表象 中描写,而(4.1-5式则是在动量表象中描写,这和几何中一个矢量可 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 9/61 Ø kŒê a1(t), a2(t), · · · , an(t), · · · „këY aq(t)µ ~ Ψ =   a1(t) a2(t) . . . an(t) . . . aq(t)   , Ψ + = ￾ a ∗ 1 (t), a ∗ 2 (t), · · · , a ∗ n (t), · · · , a ∗ q (t)
. ª(4.1-15)E,k§= ~ Ψ +Ψ = 1. (4.1-16) oƒ§Ó‡Œ±3ØÓL¥^żê5£§¤L Øӧżê/ªØÓ§§‚£Ӈ©~X(4.1-1)Ú (4.1-5)ªÑ£Äþ ~p gdâfG§(4.1-1)ª´3‹IL ¥£§ (4.1-5)ªK´3ÄþL¥£§ùÚAÛ¥‡¥þŒ

41.态的表象 10/61 以在不同的坐标系中描写类似.矢量A可以在直角坐标系中用三个分 量(Ax,Ay,A2)来描写,也可以在球极坐标中用三个分量(Ar,A,A 来描写等等.在量子力学中,我们可以把状态Y看成是一个矢量一态 矢量.选取一个特定的Q表象,就相当于选取一个特定的坐标系,Q 的本征函数u1(x),u2 ln(x),…是这个表象的基矢,这相当于坐 标系中的单位矢量,,.波函数(a1(),a2(),…,an(1,…)是态矢量 平在Q表象中沿各基矢方向的分量”,正如A沿,,三个方向的分 量是(A2Ay,A)一样,是三个相互独立的方向,说明所在的 空间是普通的三维空间,量子力学中Q的本征函数 u1(x),l2(x),…,un(x),…有无限多,所以态矢量所在空间是无限维的 函数空间,这种空间在数学上成为希耳伯特( Hilbert空间 常用的表象除坐标表象、动量表象外,还有能量表象和角动量表 象 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 10/61 ±3ØÓ‹IX¥£aq©¥þ A~ Œ±3†‹IX¥^n‡© þ (Ax, Ay, Az) 5£§Œ±3¥4‹I¥^n‡©þ (Ar , Aθ, Aϕ) 5£©3þfåÆ¥§·‚Œ±rG Ψ w¤´‡¥þ— ¥þ©À‡A½ Q L§ÒƒuÀ‡A½‹IX§Q ¼ê u1(x), u2(x), · · · , un(x), · · · ´ù‡LÄ¥§ùƒu‹ IX¥ü ¥þ~i, ~j, ~k©Å¼ê (a1(t), a2(t), · · · , an(t), · · · ) ´¥þ Ψ 3 Q L¥÷ˆÄ¥•“©þ”§X A~ ÷~i, ~j, ~k n‡•© þ´ (Ax, Ay, Az) ©~i, ~j, ~k ´n‡ƒpÕᐕ§`² A~ ¤3 m´ÊÏn‘m§þfåÆ¥ Q ¼ê u1(x), u2(x), · · · , un(x), · · · kÁõ§¤±¥þ¤3m´Ã‘ ¼êm§ù«m3êÆþ¤F. . Ë. A. (Hilbert). m. © ~^L؋IL!ÄþL §„kUþLÚÄþL ©