成都信息工程大学：《量子力学》课程电子讲义_第七章 自旋与全同粒子

/71 量子力学 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0) 85533790(H) 邮址:Langan@126.com gdjsxzrs cuit. edu.cn 单位:光电技术系 今天人们听到量子力学,很少有不皱眉头的,但是,英国宇宙学家 斯蒂芬盒出语惊人,他说:“如果基础科学像我所希望的那样成为 一般知识的一部分的话。那么,目前作为量子理论悖论而出现的东 西,对于我们孩子们的孩子们来说,就将不过是常识而已。” ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/71 þ f å Æ : •S² …¡:  Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) eŒ: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX 8U<‚fþfåƧékغwÞ§´§=I‰»Æ[ d0¥·¿7ъ¯<§¦`µ“XJÄ:‰Æ·¤F"@¤ „£Ü©{§@o§8cŠþfnØØ ÑyÀ ܧéu·‚¯f‚¯f‚5`§ÒòØL´~£ ®" ”

2/71 第七章自旋与全同粒子 由前面几章我们已经看到,从 Schrodinger方程出发可以解释许 多微观现象,例如计算谐振子和氢原子的能级、跃迁几率从而得出它 们的谱线频率和强度.计算结果在相当精度范围内与实验符合.但是 这个理论还有很大的局限性.首先,我们知道微观粒子都有自旋 Schrodinger方程方程没有把自旋包含进去,因而用前面建立的理论 还不能解释涉及到自旋的微观现象,如 Zeeman效应等.此外,前面 讨论的是一个粒子在力场中运动的问题,而实际存在的体系(原子、 分子、原子核、固体等)一般都是两个或两个以上的粒子组成的体 系一多粒子体系,对于这种体系,前面的理论同样不能处理 本章将把自旋引进量子力学中.首先了解电子具有自旋的实验事 实,讨论具有自旋的粒子态函数和自旋角动量的性质,然后了解多粒 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/71 1ÔÙ g^†Óâf dc¡AÙ·‚®²w§l Schrodinger ¨ §ÑuŒ±)ºN õ‡*y§~XOŽfڕfU?![AÇl ѧ ‚̂ªÇÚrÝ©OŽ(J3ƒ°Ý‰ŒS†¢ÎÜ©´ ù‡n؄kéŒہ5©Äk§·‚‡*âfÑkg^© Schrodinger ¨ §§vkrg^¹?§Ï ^c¡ïánØ „ØU)º9g^‡*y§X Zeeman A©d §c¡ ?Ø´‡âf3å|¥$įK§ ¢S3NX(f! ©f!fØ!N)„Ñ´ü‡½ü‡±þâf|¤N X—õâfNX§éuù«NX§c¡nØÓØU?n© Ùòrg^Ú?þfåÆ¥©Äk )>fäkg^¢¯ ¢§?Øäkg^âf¼êÚg^Äþ5Ÿ§,￾￾￾ )õâ

3/71 子体系的特性,应用这一特性来讨论氦原子和氢分子的能级 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3/71 fNXA5§A^ùA55?رfڕ©fU?©

71.电子自旋 4/71 87电子自旋 711 Stern-Gerlach实验 许多实验事实证明电子具有自旋,Ster- Gerlach实验是其中的一 个 图29中,由K射出的处于s态的氢原子束通过 狭缝BB和不均匀磁场,最后照射到照相底片 PP上,实验结果是照相片上出现两条分立的 线.着说明氢原子具有磁矩,所以原子束通过 非均匀磁场时受到力的作用而发生偏转;而且 由分立线只有两条这一事实可知,原子的磁矩 在磁场中只有两种去向,即它们是空间量子化图20联怜思某拉卖 的.这可由下面的讨论看出 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. >fg^ 4/71 §7.1 >fg^ 7.1.1 Stern-Gerlach ¢ Nõ¢¯¢y²>fäkg^§Stern-Gerlach ¢´Ù¥ ‡© ã29¥§d K Ñ?u s •fåÏL d¿ BB ÚØþ!^|§￾ììƒ.¡ PP þ§¢(J´ìƒ¡þÑyü^©á ‚©X`²•fäk^ݧ¤±fåÏL šþ!^|žÉåŠ^ u) =¶ … d©á‚kü^ù¯¢Œ§f^Ý 3^|¥kü«•§=§‚´mþfz ©ùŒde¡?ØwÑ©

871.电子自旋 5/71 假设原子的磁矩为M.它在沿z方向的外磁场中的势能为 U=-.=-M,cos日 式中日是原子磁矩M和外磁场之间的夹角.原子在z方向所受里 是 aU 0, F M 少06 如果原子磁矩在空间可以取任何方向的话,cos应当可以从+1连续 变化到-1,这样在照片上应该的得到一个连续的带,但实验结果是 只有两条分立的线,对应于c0sθ=+1和cos=-1 由于实验中用的射线是处于s态的氢原子,角量子数l=0,原子 没有轨道角动量,因而也没有轨道磁矩(见第三章习题4),所以原子 所具有的磁矩是电子的固有磁矩,即自旋磁矩 由谱线的精细结构也得出电子具有自旋的结论.应用分辨率较高 的分光镜或摄谱仪可以观察到钠原子光谱中3p→3s谱线是由两条靠 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. >fg^ 5/71 bf^ݏ M~ ©§3÷ z • ^| B ¥³U U = −M~ · B~ = −MBz cos θ, ª¥ θ ´f^Ý M~ Ú ^| B ƒmY©f3 z •¤Ép ´ Fz = − ∂U ∂z = M ∂Bz ∂z cos θ. XJf^Ý3mŒ±?ې•{§cos θ AŒ±l +1 ëY Cz −1§ù3ì¡þAT‡ëY‘§¢(J´ kü^©á‚§éAu cos θ = +1 Ú cos θ = −1© du¢¥^‚´?u s •f§þfê l = 0§f vk;Äþ§Ï vk;^Ý(„1nÙSK 4)§¤±f ¤äk^Ý´>fk^ݧ=g^^Ý© d̂°[(Ñ>fäkg^(Ø©A^©EÇp ©1º½̤Œ±* ?f1Ì¥ 3p → 3s ̂´dü^‚

871.电子自旋 6/71 得很进的谱线所组成的.其它原子光谱中也可发现这种谱线由一些更 细的线所组成的现象,这种结构称为光谱线的精细结构.只有考虑了 电子的自旋,光谱线的精细结构才能得到解释 Uhlenbeck和 Goudsmit为了解释这些现象,于1925年提出了下面 的假设: 每个电子具有自旋角动量S,它在空间任何方向上的投影只能取 两个值; (7.1-1) 每个电子具有自旋磁矩Ms,它和自旋角动量§的关系是 M (SD; (CGS) 7.1-2) 式中-e是电子电荷,H是电子质量.Ms在空间任意方向上的投 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. >fg^ 6/71 é?̂¤|¤©Ù§f1Ì¥Œuyù«Ì‚d  [‚¤|¤y§ù«(¡1̂°[(©kÄ >fg^§1̂°[(âU)º© Uhlenbeck Ú Goudsmit  )ºù y§u1925cJÑ e¡ b: ~ z‡>fäkg^Äþ S~§§3m?ې•þÝKU ü‡Š; sz = ± ~ 2 ; (7.1-1) ~ z‡>fäkg^^Ý M~ S§§Úg^Äþ S~ 'X´ M~ S = − e µ S~ , (SI); M~ S = − e µc S~ , (CGS) (7.1-2) ª¥ −e ´>f>Ö§µ ´>fŸþ©M~ S 3m?¿•þÝ

71.电子自旋 7/71 影只能去两个数值 Msz=±=±MB (SD. (7.1-3) M 2c=±l B (CGS) MB是Bohr磁子 由式(71-2),电子自旋磁矩和自旋角动量之比为 M e M e (SD (CGS) (7.1-4) C 这个比值称为电子自旋的回转磁比率.我们知道轨道角动量和轨道磁 矩的关系是 L M (CGS) (7.1-5 2 即轨道运动的回转磁比率是-(SD;-2(CGS),因而自旋回转磁比 率等于轨道运动回转磁比率的两倍 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. >fg^ 7/71 KUü‡êŠ: MSz = ± e~ 2µ = ±MB, (SI), MSz = ± e~ 2µc = ±MB, (CGS) (7.1-3) MB ´. Bohr ^. f. © dª(7.1-2)§>fg^^ÝÚg^Äþƒ' MSz sz = − e µ , (SI); MSz sz = − e µc , (CGS). (7.1-4) ù‡'Š¡>fg^£=^'Ç©·‚;ÄþÚ;^ Ý'X´ M~ L = − e 2µ ~L, (SI), M~ L = − e 2µc ~L, (CGS) (7.1-5) =;$Ä£=^'Ç´ − e 2µ (SI); − e 2µc (CGS)§Ï g^£=^' Çu;$Ä£=^'Çü©

71.电子自旋 8/71 712自旋的物理图像 电子自旋是电子内禀自由度,是量子力学中全新的物理量,并没 有经典的对应物.(如轨道角动量在经典物理学中对应为产×j Uhlenbeck和 Goudsmit最初把电子自旋理解为电子的自转,但这 样做会面临很多困难: 假设电子是有限大小的球体(设为re),电荷在球体内按某种规 律分布:由于旋转导致的自旋角动量Samr2o~ 根据爱因斯坦质能关系:uc2~e,可以估计出电子的经典半 径 电子自转角速度 电子表面运动切线速度:p~orn~mn~~2an~70c>>c 远大于光速,与相对论不符 大按照量子力学,如果假设自旋是来自于电子的转动,哈密顿算符 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. >fg^ 8/71 7.1.2 g^Ônã >fg^´>fSgdݧ´þfåÆ¥#Ônþ§¿v k²;éAÔ©£X;Äþ3²;ÔnÆ¥éA ~r × ~p¤ UhlenbeckÚGoudsmitÐr>fg^n)>fg=§ù ‰¬¡éõ(Jµ ✿ b>f´kŒ¥N£re¤§>Ö3¥NSU,«5 Æ©Ùµdu^=g^Äþ S ∝ me r 2 eω ∼ ~ 2 ŠâOÏd"ŸU'Xµµc 2 ∼ e 2 re§Œ±OÑ>f²;Œ »µre ∼ e 2 µc 2 >fg=„ݵω ∼ ~ 2µr 2 e >fL¡$やݵv ∼ ωre ∼ ~ 2µre ∼ ~c 2 2e 2 ∼ c 2α ∼ 70c >> c§ Œu1„§†ƒéØØΩ ✿ UìþfåƧXJbg^´5gu>f=ħMîŽÎ

71.电子自旋 91圆 为:H 2le 其本征函数为Ym(定点转动),emq(定轴转动),l,m 都是整数,这样将无法解释电子自旋为半奇数的实验事实 (考虑波函数:①m(q)=-cm,m=±,将导致波函数的不 连续:Φ1(0)≠Φ1(2π);如波函数是以4π为周期,则有边界条 件:Φ1(0)=①1(4x) 质子、中子的自旋也是1/2,目前自然界中发现的基本粒子自 旋都是整数或半奇数倍扬福家423页,而不存在自旋为3,3, 这样的粒子.但近年,量子多体物理研究发现:对二维系统 可能存在任意子( Anyon),对应自旋为简单分数33,,…,即 波函数可能是以6r,8丌,10x…为周期的.由于真实世界是三维 的,所以任意子并不存在于真实的基本粒子中.利用任意子概 念, Laughlin解释了分数量子霍尔效应,并获1998年诺贝尔物 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. >fg^ 9/71 µH = L 2 2Ie Ù¼ê Ylm£½:=Ĥ§ 1 √ 2π e imϕ£½¶=Ĥ§l, m Ñ´ê§ùòÃ{)º>fg^ŒÛꢯ¢© £ÄżêµΦm(ϕ) = 1 √ 2π e imϕ§m = ± 1 2§òżêØ ëYµΦ1 2 (0) , Φ1 2 (2π)¶Xż괱4π±Ï§Kk>.^ ‡µΦ1 2 (0) = Φ1 2 (4π)¤ ✿ Ÿf!¥fg^´ 1/2§8cg,.¥uyÄâfg ^Ñ´꽌Ûê[4[423]§ Ø3g^ 1 3 , 2 3 , 1 4 , ... ùâf©Cc§þfõNÔnïÄuyµé‘XÚ ŒU3?¿f£Anyon¤§éAg^{ü©ê 1 3 , 2 3 , 1 4 , ...§= żêŒU´± 6π, 8π, 10π... ±Ï©duý¢­.´n‘ §¤±?¿f¿Ø3uý¢Äâf¥©|^?¿fV g§Laughlin)º ©êþf¿A§¿¼ 1998 cìÔ

71.电子自旋 1071圆 理奖.[参考:htte:/ almaz. com/ nobel/physics/1998ahtm ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

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