南京邮电大学：《机械振动》第十四章（14-5）简谐运动的合成

14-6简谐运动的合成 第十四章机械振动 两个同方向同频率简谐运动的合成 x,=A, cos(ot+1) A x2=A, cos(at+2) r=r tx 2 x= Acos(at+o) 0 X 2 rx A=√42+2+2A42cos(q2-q1) 4sn+42in2两个间方向同频 tan=A1cos91+A,cos2后仍为简谐运动 运

14 – 6 简谐运动的合成 第十四章 机械振动 1 A1  1 x x 0 一 两个同方向同频率简谐运动的合成 1 2 x = x + x 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin tan      A A A A + + = 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A  − x = Acos(t +) cos( ) 1 = 1  +1 x A t cos( ) 2 = 2  +2 x A t   A  x2 x A2   2 两个同方向同频 率简谐运动合成 后仍为简谐运动

14-6简谐运动的合成 第十四章机械振动 讨论A=√42+A2+2A42coS(2-) 1)相位差△q=q2-q1=2kπ(k=0,±1,±2,…) X O O A=A+A

14 – 6 简谐运动的合成 第十四章 机械振动 x x t o o A A = A1 + A2 A1 A2 T 1）相位差  =2 −1 = 2kπ (k = 0，1， 2, ) 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 讨论 A = A1 + A + A A  −

14-6简谐运动的合成 第十四章机械振动 +42+2A1A2CoS(2-q1) 2)相位差△=2-q1=(2k+1)兀(k=0,±1,…) cos at 2=A2cos(ox+兀) X =- A=4-A O

14 – 6 简谐运动的合成 第十四章 机械振动 x x t o o A = A1 − A2  2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A  − T A2 A1 A 2）相位差  =2 −1 = (2k +1)π (k = 0，1, ) x A cost 1 = 1 cos( π ) x2 = A2 t +

14-6简谐运动的合成 第十四章机械振动 +42+2A1A2coS(2-) 1)相位差q2-q1=2π(k=0,±1,…) A=A+A2相互加强 2)相位差2-q1=(2k+1)兀(=0,±1,…) A-A2|[相互削弱 3)一般情况 A+A2>A>4-A2

14 – 6 简谐运动的合成 第十四章 机械振动 3）一般情况 A1 + A2  A  A1 − A2 A = A1 − A2 2）相位差 1）相位差 A = A1 + A2 2 −1 = 2kπ (k = 0，1，) 相互加强 相互削弱 2 −1 = (2k +1)π (k = 0，1，) 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A  −

14-6简谐运动的合成 第十四章机械振动 二多个同方向同频率简诸运动的合成 x=A cos(at+u) x2=A, cos(at +2) ●●●●●● n=An cos(at+n) q x=X1+x2+……+xn 9 x=AcoS(@*D) 06plA X 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动

14 – 6 简谐运动的合成 第十四章 机械振动 1 A1  x o 二 多个同方向同频率简谐运动的合成 A2   2 A3  3  x = Acos(t +) n x = x + x ++ x 1 2  cos( ) 1 = 1  +1 x A t cos( ) 2 = 2  +2 x A t cos( ) n n n x = A t + A   多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动

14-6简谐运动的合成 第十四章机械振动 A cost A x2=AcOs(+△q) x3=AcoS(at+2△q) A,A, A, A A, X A=∑A=NA x=AcoS[at+(N-1)△q /1)△O=2k兀 △ 论(=01+2,)4 2)N△q=2kπ (k'≠kN,=±1,+2,)A △ 6、△ X N个矢量依次相接构 成一个闭合的多边形 A=0

14 – 6 简谐运动的合成 第十四章 机械振动 A1  A2  A3  A4  o x A5        A A NA0 i =  i = A   x A cost 1 = 0 cos( ) x2 = A0 t +  cos[ ( 1) ] xN = A0 t + N −  cos( 2 ) x3 = A0 t +  A1  A2  A3  A4  x O A5  A6  A = 0 (k' kN,k' = 1,2, ) 2） N = 2k'π 1）  = 2kπ (k = 0,1,2, ) 个矢量依次相接构 成一个闭合的多边形 . N 讨 论

14-6简谐运动的合成 第十四章机械振动 两个同方向不同频率简谐运动的合成 x=x,+x 频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成,其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍

14 – 6 简谐运动的合成 第十四章 机械振动 三 两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍

14-6简谐运动的合成 第十四章机械振动 ∫x1= A,cos@,t=Acos2t x=x,+x x ,=A, cos a,t=A, cos 2T v,t 讨论A1=A2,V2-<<v+v2的情况 x=x1+x2=A1cOs2πvt+A2Cos2兀v2t x=(2 4, cos 2 V2-Vit) cos 2+vut 2 振幅部分 合振动频率

14 – 6 简谐运动的合成 第十四章 机械振动 振幅部分 合振动频率 x x x A t A t 1 2 1 1 2 2π 2 = + = cos2π + cos  讨论 A1 = A2  2 − 1  1 + 2 , 的情况 x A t t 2 ) cos 2π 2 (2 cos 2π 2 1 2 1 1  −  + = x A t A t 1 1 1 1 2π 1 = cos = cos  x A t A t 2 2 2 2 2π 2 = cos = cos  1 2 x = x + x

14-6简谐运动的合成 第十四章机械振动 v,+1 x=(2A1cos2兀 )cos2兀 2 2 振幅部分 合振动频率 振动频率v=(v1+v2) max 2A 振幅4=2A1cos2π A=0 min 22 T=兀 V=V2-V 拍频(振幅变化的频率)

14 – 6 简谐运动的合成 第十四章 机械振动 π 2 2π 2 1 = − T   2 1 1  − T = A A t 2 2 cos 2π 2 1 1  − =  = 2 − 1  = ( 1 + 2 ) 2 A max = 2A1 Amin = 0 振幅部分 合振动频率 x A t t 2 ) cos 2π 2 (2 cos 2π 2 1 2 1 1  −  + = 振幅 振动频率 拍频（振幅变化的频率）

14-6简谐运动的合成 第十四章机械振动 四两个相互垂直的同频率简诸运动的合成 x=A coS(at+u) y=A, coS(at+2) 质点运动轨迹(椭圆方程) 2x C0S(q2-q1)=si2(q2-91) 讨论1)2-91=0 An

14 – 6 简谐运动的合成 第十四章 机械振动 四 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 cos( ) sin ( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 + −  − =  − A A x y A y A x 质点运动轨迹 1） 2 −1 = 0 x A A y 1 2 = cos( ) = 1  +1 x A t cos( ) = 2  + 2 y A t y x A1 A2 o （椭圆方程） 讨论