4.1写出下列信号对应于s平面的复频率。 (1)esin(-51) (2)3e(1) (3) coS 21 (4)2e-cos(21+60°) 42求下列函数的拉氏变换。 1)1 (2)sint+2 cost (3)te (4)esin(21) (5)(1+2r)e (6)[1-cos(at)e -pr (7)t2+2t (8)26(1)-3e7 (9)e sinh(Bt) (10)cos2(_) (11) (12)e-(*a)cos(ot) (13)le-(-2)(-1) (14)e“f(-),设已知[f()]=F(s) (15)e“f(),设已知5f()]=F(s) (16)t cOS(3t) (17)t2cos(2r) (18)(1-ea)
4.1 写出下列信号对应于 s 平面的复频率。 （1）e sin( 5t) t − − （2）3e (t) t ε − （3）cos 2t （4） 2 cos(2 60 ) D + − e t t 4.2 求下列函数的拉氏变换。 （1） at e− 1− （2）sin t + 2cost （3） t te−2 （4）e sin(2t) −t （5） t t e− (1+ 2 ) （6） t t e β α − [1− cos( )] （7）t 2t 2 + （8） t t e 7 2 ( ) 3 − δ − （9）e sinh( t) at β − （10）cos ( ) 2 Ωt （11） ( ) 1 t t e e α β β α − − − − （12） cos( ) ( ) e t t a ω − + （13） ( 1) ( 2) − − − te t t ε （14） ( ) a t e f a t − ，设已知ξ[ f (t)] = F(s) （15） ( ) a t e f −at ，设已知ξ[ f (t)] = F(s) （16） cos (3 ) 3 t t （17） cos(2 ) 2 t t （18） (1 ) 1 at e t − −
(19) (20)sIn(ar) 43确定下列函数的拉氏变换收敛域及零极点图 (1)el(1) (2)e,b>0 (3)eu()+e-lu(1) (4)l(-3); (5)eu(-1)+e"(-1); (6)6(t-10); (7)(1)+l(1); (8)(t-1)-l(t-2)。 44求图P41所示各波形的拉氏变换。 f() f2(1) S(04 f(1)4 cos(t /2) 图P41 4.5利用拉普拉斯变换的性质求下列函数的变换 (1)cosh(2)
（19） t e e −3t −5t − （20） t sin(at) 4.3 确定下列函数的拉氏变换收敛域及零极点图。 （1）e u(t), α > 0 at ； （2） , 0 | | > − e b b t ； （3） ( ) ( ) 2 e u t e u t −t − t + ； （4）u(t − 3) ； （5） ( ) ( ) 3 5 e u t e u t t t − + − ； （6） ( ) 0 δ t − t ； （7）δ (t) + u(t) ； （8）u(t −1) − u(t − 2) 。 4.4 求图 P4.1 所示各波形的拉氏变换。 0 0 1 2 3 t 1 2 3 t 0 1 2 3 4 t 0 1 3 5 t ( ) 1f t 1 1 1 1 ( ) 2f t ( ) 3f t ( ) 4f t cos(πt / 2) 图 P4.1 4.5 利用拉普拉斯变换的性质求下列函数的变换。 （1）cosh(2t)
(3)to sin(t) (5)E()-E(t-3) (6)E(-1)E(t-2) 46应用拉普拉斯变换性质,证明下列变换成立。 (1)tsin(o1)E(1) (2)t2es()-2 S-+ (S+a) ∫()4>bF(bs+1) f( arctan(- (6)Si(08(t)<>-arctan( 47求下列单边拉氏变换的逆变换 5s+6 s2+3s+2 2 2 (s+2)(s2+2s+1 (5) s2+2s+5) +2 (8) 2(s+1)
（2） ) 4 3 cos(2 π t − （3） t te−α （4） t sin(t) （5）t[ε (t) − ε (t − 3)] （6）ε (t −1)ε (t − 2) 4.6 应用拉普拉斯变换性质，证明下列变换成立。 （1） 2 2 2 ( ) 2 sin( ) ( ) ω ω ω ε + ↔ s s t t t （2） 3 2 ( ) 2 ( ) s a t e t at + − ε ↔ （3） ( ) ↔ ( +1) − bF bs b t e f b t （4） ( ) ( ) 2 bF bs b b t e f bt ↔ + − （5） ) 1 ( ) ( ) arctan( s Sa t ε t ↔ （6） ) 1 arctan( 1 ( ) ( ) s s Si t ε t ↔ 4.7 求下列单边拉氏变换的逆变换。 （1） 5 6 1 2 2 + + + s s s ； （2） 3 2 1 2 + + − s s s （3） ( 4) 2 2 s s + （4） ( 2)( 2 1) 2 2 s + s + s + s （5） ( 2 5) 5 2 + + + s s s s （6） ( 2)( 3) 1 2 + − + s s s s （7） ( 2)( 4) 2 s + s − s （8） ( 1) 2 2 s s +
(9) (10) ( 48已知下列拉普拉斯变换式F(s)及收敛域,求原函数∫(t) s+1 (2) e(S)-1 (S+1)(s+2) (7) 10 49用初值和终值定理求下列信号逆变换式的初值和终值: (3)X(s)=
（9） ( 1) 1 2 s + （10） 3 ( 3) 1 s + （11） (1 ) 1 s s e− + （12） ( )(1 ) (1 ) 2 2 2 s s s e e − − + − + π π 4.8 已知下列拉普拉斯变换式 F(s)及收敛域，求原函数 f (t)： （1） Re{ } 1 ( 1) 1 2 2 > − + − + s s s s （2） Re( ) 3 5 6 1 2 − + + + + s s s s s （5） Re{ } 1 ( 1)( 2) 1 2 > − + + + + − − s s s e e s s （6） Re{ } 1 ( 1) 4 2 2 ( 1) > − + + − − s s e s （7） 1 Re{ } 2 2 2 1 2 − + − s s e s 4.9 用初值和终值定理求下列信号逆变换式的初值和终值： （1） s X s 1 ( ) = ； （2） s e X s −s − = 1 ( ) ； （3） 1 1 ( ) 2 + = s X s ；
(4)(J)ss2(1 410用拉普拉斯变换分析法,求下列系统的响应。 (1)d2r()+3()+2()=0.r(0)=1,r(0)=2 (2) dr(o) +2r()+e(1)=0,r(0)=2,e()=eE(m) dt dr() +2r1(1)-2(1)=e(),r1(0)=2,n2(0)=1,e(D)=E(D) (3) (n)+d2( dt +2F2(D)=0 4.11求下列各微分方程所描述系统的冲击响应和阶跃响应。 d2y(),。d(t) +4y()=2x() (2)d2y(0)+521+4x(0=2d+6x0) dyo dyo 2y() dx(o) dt dt 4.12已知连续系统的微分方程为 y(1)+3y(1)+2y()=2f(1)+2f(t) 求在下列输入时的零状态响应: (1)f(1)=E(t-2); (2)f(1)=e-E() (3)f(1)=tE(1)。 4.13求图P42所示电路的单位冲击响应u2(D),l2(1)和(1),并画出波形。 i(1) c() (1) R l2(1) 图P42
（4） 1 (1 ) ( ) 2 2 + − = − s s s X s s 。 4.10 用拉普拉斯变换分析法，求下列系统的响应。 （1） 2 ( ) 0, (0) 1, (0) 2 ( ) 3 ( ) ' 2 2 + + r t = r = r = dt dr t dt d r t （2） 2 ( ) ( ) 0, (0) 2, ( ) ( ) ( ) r t e t r e t e t dt dr t t ε − + + = = = （3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + + = + − = = = = 2 ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ), (0) 2, (0) 1, ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 2 1 r t dt dr t r t r t r t e t r r e t t dt dr t ε 4．11 求下列各微分方程所描述系统的冲击响应和阶跃响应。 （1） 4 ( ) 2 ( ) ( ) 5 ( ) 2 2 y t x t dt dy t dt d y t + + = （2） 6 ( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 2 2 x t dt dx t y t dt dy t dt d y t + + = + （3） 6 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 3 3 x t dt dx t y t dt d y t dt d y t − + = − 4．12 已知连续系统的微分方程为 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) '' ' ' y t + y t + y t = f t + f t 求在下列输入时的零状态响应： （1） f (t) = ε (t − 2) ； （2） f (t) e (t) t ε − = ； （3） f (t) = tε (t) 。 4．13 求图 P4.2 所示电路的单位冲击响应u (t) c ，u (t) L 和i(t)，并画出波形。 δ (t) R L u (t) L C u (t) C i(t) 图 P4.2
414图P43所示RLC系统,l,(D)=12V,L=1H,C=1F,R1=392,R2=292,R3=19 <0时电路已经达到稳态,1<0时开关S闭合。求1≥0时电压l()的零输入响应、零 状态响应和完全响应 L R2 C R3 图P43 415图P44所示电路中开关打开很长时间,t=0时闭合,求电流(t)。 2H i(n) 10 2 图P44 4.16求图P45所示周期矩形脉冲和正弦全波整流脉冲的拉氏变换。 f() // (b)
4.14 图 P4.3 所示 RLC 系统，us (t) = 12V ，L = 1H ,C = 1F , R1 = 3Ω , R2 = 2Ω , R3 = 1Ω 。 t < 0 时电路已经达到稳态，t < 0 时开关 S 闭合。求t ≥ 0 时电压u(t) 的零输入响应、零 状态响应和完全响应。 R1 L C R3 R2 S u (t) s 图 P4.3 4.15 图 P4.4 所示电路中开关打开很长时间，t = 0 时闭合，求电流i(t)。 10V t = 0 3Ω 1Ω 1H 2H 2Ω 2Ω i(t) 图 P4.4 4.16 求图 P4.5 所示周期矩形脉冲和正弦全波整流脉冲的拉氏变换。 " " f (t) a f (t) b 0 0 t t 2 T 2 T T 2T 3T 4T T 2T (a) (b)
图P45 417已知系统阶跃响应为g()=1-e-,为使其响应为r()=1-e21-te,求激励信号 418下列函数是否有双边拉普拉斯变换,如有求其F(s)并标注收敛区 t0 (2)f(1)= (3)f()={° t0 419求下列F(S)的原时间信号。 (1) (s-1)(s-3) (2) (S+1)(S+2 (3) +1 (4) -4<σ<0 (s2+25)(s+4) 4.20已知线性连续系统的系统函数如下。用直接形式信号流图模拟系统,画出系统的方框 (1)H(s)= (S+1)(S+3) (2)H(s)= (S+2)(s2+5s+6 421求图P46中电路的系统函数,并绘出其零极点分布图
图 P4.5 4.17 已知系统阶跃响应为 t g t e 2 ( ) 1 − = − ，为使其响应为 t t r t e te 2 2 ( ) 1 − = − − ，求激励信号 e(t) 。 4.18 下列函数是否有双边拉普拉斯变换，如有求其 F (s) d 并标注收敛区。 （1） ⎩ ⎨ ⎧ = − t t e e f t 3 2 ( ) 0 0 > < t t 4.19 求下列 F (s) d 的原时间信号。 （1） ( 1)( 3) 1 s − s − 1 < σ < 3 （2） (s +1)(s + 2) s − 2 < σ < −1 （3） 1 1 2 2 + + + s s s σ < 0 （4） ( 25)( 4) 2 4 25 2 2 + + − − − s s s s − 4 < σ < 0 4．20 已知线性连续系统的系统函数如下。用直接形式信号流图模拟系统，画出系统的方框 图。 （1） ( 1)( 3) 2 ( ) + + + = s s s H s ； （2） ( 2)( 5 6) 2 1 ( ) 2 2 + + + + + = s s s s s H s ； 4.21 求图 P4.6 中电路的系统函数，并绘出其零极点分布图
R,[ R24 109 e,() s(1) C=2F R L30.5HL,31 C IT,‖2I is(n) s(1) R2() 500g2 20i。20k2 20k 图P46 422已知图P47所示电路 (1)求H=2(s) 1(s) (2)画出H(s)的零、极点分布图; (3)求冲击响应h(1); (4)求阶跃响应g(1)。 0.27F is(O) 1.73F 0.27F l 图P47 423分别画出下列系统函数的零极点分布和冲击响应波形,注意冲击响应波形之间的不同。 s+2 (1)H(S)=- (2)H(S) s2+4s+5 (3)H(5)≈、(s+2) s2+4s+5
R0 R1 30Ω R2 10Ω L1 5H L2 0. 1H e (t) s (a) u (t) O L C 2F R 1Ω H 2 1 i (t) S (b) i (t) S S 20i 500Ω 20kΩ 40 pF i (t) O 20kΩ (c) e (t) S C IT 2 IT C C RO u (t) O (d) 图 P4.6 4.22 已知图 P4.7 所示电路。 （1）求 ( ) ( ) ( ) 1 2 I s U s H s = ； （2）画出 H(s) 的零、极点分布图； （3）求冲击响应h(t) ； （4）求阶跃响应 g(t)。 ( ) 2 i (t) 1Ω u t S 1H 0.27F 1.73F 0.27F 图 P4.7 4.23 分别画出下列系统函数的零极点分布和冲击响应波形，注意冲击响应波形之间的不同。 （1） 4 5 2 ( ) 2 + + + = s s s H s ； （2） 4 5 ( ) 2 + + = s s s H s （3） 4 5 ( 2) ( ) 2 2 + + + = s s s H s
424分别画出下列系统函数的零极点分布和冲击响应波形,注意零极点分布的特点。 (1)H(s)= (2)H(s)= 425根据相应的零极点图,确定下列每个拉氏变换相应系统的频率响应。 (1)H1(s)= s卜 (S+1)(s+3) (2)H2(s)= Re|s>-1; s2+2s+1 426已知二阶线性连续系统的系统函数H(s)如下。求系统的频率响应,粗略地画出幅频响 应和相频响应曲线 (1)H(S)= s2+2s+2 427写出图P48所示各梯形网络的电压转移函数H(S)=V()s平面表示出其零、极 点分布。 v1(1)1g v(O IH v2() (a) 2H 2H v1(1)2F 2F+v2() v(O IH 图P48 428系统函数的极零图如图P49所示,且其幅频特性的最大为1。画出系统函数的波特图
4.24 分别画出下列系统函数的零极点分布和冲击响应波形，注意零极点分布的特点。 （1） s e H s −sτ − = 1 ( ) ； （2） sτ e H s − − = 1 1 ( ) 。 4.25 根据相应的零极点图，确定下列每个拉氏变换相应系统的频率响应。 （1） , Re | | 1 ( 1)( 3) 1 ( ) 1 > − + + = s s s H s ； （2） , Re | | 1 2 1 ( ) 2 2 2 > − + + = s s s s H s ； 4.26 已知二阶线性连续系统的系统函数 H(s) 如下。求系统的频率响应，粗略地画出幅频响 应和相频响应曲线。 （1） 2 2 ( ) 2 + + = s s s H s ； （2） 2 ( ) + = s s H s 。 4.27 写出图 P4.8 所示各梯形网络的电压转移函数 ( ) ( ) ( ) 1 2 V s V s H s = ，在 s 平面表示出其零、极 点分布。 1F 1F ( ) 1 v t 1Ω 1Ω ( ) 2 v t (a) 1F 1F ( ) 1 v t ( ) 2 v t (d) ( ) 1 v t ( ) 2 v t (b) 1Ω 1Ω ( ) 1 v t ( ) 2 v t (c) 1H 1H 1H 1H 2H 2H 2F 2F 图 P4.8 4.28 系统函数的极零图如图 P4.9 所示，且其幅频特性的最大为 1。画出系统函数的波特图
j2 不一一 11(2) 2 图P49 429已知线性连续系统地系统函数如下。检验各系统是否稳定。 (1)H(s)=-2 s+3s+2 (2)H(s)= +3s3+2s2+s+1 (3)H(s)= +2s3+3s2+2s+1) s+1 (4)H(s)=4+2s2+3s+2 s2+2s+2 430已知系统的H(s)=-6 试判断系统是否稳定 +1ls4+25s3+36s2+30s+36 4.31已知电路如图P4.10所示,求 (1)H(S)= Y(S) (2)使系统稳定的K得取值范围 (3)K=0.5,f(1)=25sin()时的零状态响应; (4)K=2.5,f(1)=sinc(1)时的零状态响应 IQ 2H IF 1Q 62a0) K(1) 图P4.10 4.32图P4I1所示系统为单位反馈系统,为使系统稳定,试求K的取值范围
× × −1 j2 − j2 0 σ jω × × −1 j2 − j2 0 σ jω × × −1 j2 − j2 0 σ jω (2) (a) (b) (c) 图 P4.9 4.29 已知线性连续系统地系统函数如下。检验各系统是否稳定。 （1） 3 2 1 ( ) 2 + + − = s s s H s ； （2） 3 2 1 1 ( ) 4 3 2 2 + + + + + = s s s s s H s ； （3） 2 3 2 1) ( 1) ( ) 4 3 2 2 + + + + − = s s s s s s H s ； （4） 2 3 2 1 ( ) 4 2 + + + + = s s s s H s 。 4.30 已知系统的 5 11 25 36 30 36 2 2 ( ) 6 5 4 3 2 2 + + + + + + + + = s s s s s s s s H s 试判断系统是否稳定。 4.31 已知电路如图 P4.10 所示，求： （1） ( ) ( ) ( ) F s Y s H s = ； （2）使系统稳定的 K 得取值范围； （3） K = 0.5, f (t) = 25sinε (t) 时的零状态响应； （4） K = 2.5, f (t) = sinε (t) 时的零状态响应； f (t) 1Ω 1Ω 2Ω 2H 1F ( ) 1 u t ( ) 1 Ku t y(t) 图 P4.10 4．32 图 P4.11 所示系统为单位反馈系统，为使系统稳定，试求 K 的取值范围
