第九章拉普拉斯变换分析 傅氏变换分析法在信号分析和处理方面十分有效 傅氏变换的不足:①许多信号不满足绝对可积条件 如(t)、snat(1)虽借助于广义函数求得傅氏变换,但频谱 中出现冲激函数,计算较麻烦 再如信号eE(t)(a>0)则不存在傅氏变换 傅氏变换的不足:②傅氏变换分析法只能求取零状态响应
傅氏变换的不足：①许多信号不满足绝对可积条件 ( ) sin ( ) 0 如 t 、 t t 虽借助于广义函数求得傅氏变换，但频谱 中出现冲激函数，计算较麻烦。 再如信号 ( )( 0) e t t 则不存在傅氏变换 傅氏变换分析法在信号分析和处理方面十分有效 傅氏变换的不足：②傅氏变换分析法只能求取零状态响应 第九章 拉普拉斯变换分析
拉普拉斯变换(简称拉氏变换)可看作一种广义的傅氏变换, 将频域扩展为复频域,简化了信号的变换式,扩大了信号的变 换范围,为分析系统响应提供了统一和规范化的方法。 9-1拉普拉斯变换 9-1-1从傅氏变换到拉氏变换 信号不满足绝对可积条件的原因 当t→>∞或t->-∞时,f(t)不趋于零。 用实指数函数e去乘f(t),只要o的数值选取适当, 可使相乘后的信号满足绝对可积条件,e称为收敛因子
拉普拉斯变换（简称拉氏变换）可看作一种广义的傅氏变换， 将频域扩展为复频域，简化了信号的变换式，扩大了信号的变 换范围，为分析系统响应提供了统一和规范化的方法。 9-1 拉普拉斯变换 9-1-1 从傅氏变换到拉氏变换 信号不满足绝对可积条件的原因 当t → 或t → −时，f (t)不趋于零。 可使相乘后的信号满足绝对可积条件 称为收敛因子。 用实指数函数 去乘 只要 的数值选取适当， t t e e f t − − , ( )
FIf(e]= f(t) m) e e dt= f(o)e (o+j)t 它是σ+j的函数,记a+jO=s为复频率 F(S)=」(e 对F(s)求傅氏反变换 f(t)e se 2丌 c"不是o的函数,故o)=nJnF(smmd S=0+J0, f(t) F(S)e(o+ods反变换 F(s)=f(test 正变换 上两式称一对拉普拉斯变换式
− − − − f t e = f t e e dt t t jt F[ ( ) ] ( ) − − + = f t e dt ( j )t ( ) 它是 + j的函数，记 + j = s为复频率 − − F s = f t e dt st ( ) ( ) 对F(s)求傅氏反变换 − − = f t e F s e d t j t ( ) 2 1 ( ) − + = e f t F s e d t ( j )t ( ) 2 1 不是 的函数，故 ( ) s = + j, + − + = j j j t F s e ds j f t ( ) ( ) 2 1 ( ) − − F s = f t e dt st ( ) ( ) 上两式称一对拉普拉斯变换式 正变换 反变换
iF(s=Lff(O,f(t=L F(sI f(t)<>F(s) 拉氏变换扩大了信号的变换范围 变换域的内在联系 时域函数f(O)傅氏变换F(O)频域函数 时域函数f(1)拉氏变换F()复频域函数
F(s) [ f (t)], f (t) [F(s)] - 1 记 = L = L f (t) F(s) 拉氏变换扩大了信号的变换范围 变换域的内在联系 时域函数 f (t) 傅氏变换 F() 频域函数 时域函数 f (t) 拉氏变换 F(s) 复频域函数
由于实际信号都是有始信号,即t<O时,f(t)=0 或者只需考虑仓0的部分,此时 F(s)=f(Oedt单边拉普拉斯变换 积分下限用0目的是把t0时可能出现的冲激包含进去,这 样,利用拉氏变换求解微分方程时,可以直接引用已知的初 始状态∫(0),但反变换的积分限并不改变。 以后只讨论单边拉氏变换,并把单边拉氏变换简称拉氏变换
由于实际信号都是有始信号，即 t 0时，f (t) = 0 或者只需考虑t≥0 的部分，此时 − − = 0 F(s) f (t)e dt st 积分下限用0 - 目的是把 t=0 时可能出现的冲激包含进去，这 样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初 始状态 f (0- ) ，但反变换的积分限并不改变。 以后只讨论单边拉氏变换，并把单边拉氏变换简称拉氏变换。 单边拉普拉斯变换
拉氏变换的收敛域 信号f(1)乘以收敛因子后,有可能满足绝对可积的条件 是否一定满足,还要看f()的性质与a的相对关系 通常把使f()e满足绝对可积条件的a值的范围称为拉氏变 换的收敛域 若f(1)乘以收敛因子e后,存在下列关系 imf()em=0(0>0) 则收敛条件为>00
拉氏变换的收敛域 信号 f (t) 乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的条件 是否一定满足，还要看 f (t) 的性质与σ的相对关系 通常把使 f (t)e-σt 满足绝对可积条件的σ值的范围称为拉氏变 换的收敛域 若f (t)乘以收敛因子e −t 后,存在下列关系 lim ( ) 0 ( ) 0 = − → t t f t e 则收敛条件为 0
σ为最低限度的σ值,称为收敛横坐标,它与f()的性质有关 如:有始有终的能量信号 按指数规律增长的信号,如e0o=α 比指数信号增长的更快的信号,如e2 找不到o,不存在拉氏变换 单边拉氏变换的收敛域是 复平面(s)内,Re(s)=0>00区域 单边拉氏变换由于收敛域比较容易确定,一般情况下不再标注 收敛域
0 为最低限度的值，称为收敛横坐标，它与f (t)的性质有关 如：有始有终的能量信号 0 = − 按指数规律增长的信号，如e αt 0 = 比指数信号增长的更快的信号，如 2 t e 找不到σ0 ，不存在拉氏变换 单边拉氏变换的收敛域是 复平面(s)内，Re(s) =σ＞σ0 区域 单边拉氏变换由于收敛域比较容易确定，一般情况下不再标注 收敛域
9-1-2一些典型信号的拉氏变换 1指数信号ee(t) LleE(tI tal-st dt e (S±a) S±c e 8(t)<> 由此,可导出一些常用函数的拉氏变换: (a)令a=0,()=,即01
9-1-2 一些典型信号的拉氏变换 1. 指数信号 e (t) t = = = − − − − s L e t e e dt e dt t t s t s t 1 [ ( )] 0 ( ) 0 s e t t 1 ( ) 即 由此，可导出一些常用函数的拉氏变换： s t s a L t 1 , ( ) 1 ( ) 令 = 0, [ ( )] = 即
(b)单边正弦信号 sin oto() LIsin aotc(t)]= Ll(e/o-e e(t) ]= 21S-Joo S+JOo 2 0 s-+ 即 sin ont() O
( b ) 单边正弦信号 sin ( ) 0 t t ( ) ( )] 2 1 [sin ( )] [ 0 0 0 e e t j L t t L j t j t − = − 2 0 2 0 + = s ] 1 1 [ 2 1 0 0 j s j s + j − − = 2 0 2 0 0 sin ( ) + s 即 t t
(c)单边余弦信号 cOS.(t) LIcos Oota(t)=ll(eo te o)e(t) ]= 2 S-jOo S+jOo 5+@ 即 cos Ota()< S-+
( c ) 单边余弦信号 cos ( ) 0 t t ( ) ( )] 2 1 [cos ( )] [ 0 0 0 L t t L e e t j t j t − = + 2 0 2 0 0 ] 1 1 [ 2 1 + = + + − = s s s j s j 2 0 2 0 cos ( ) + s s 即 t t