9-3拉普拉斯反变换 1.简单的直接用表9-1-1及性质得到 d(t),a(t), sin Ot, cos Oot, e sin Oot e cos oot, t4, sinh t, cosh Bt 例: as S+1s+1s+1 e'e()-2ea(- C
9-3 拉普拉斯反变换 1. 简单的直接用表9-1-1及性质得到 t t t t e t t 0 0 0 ( ), ( ),sin ,cos , sin − e t t t t t cos , ,sinh ,cosh 2 0 − 例: 1 1 2 + − − s e s ( ) 2 ( ) ( ) − − − − − e t e t t t s e s s − + − + = 1 2 1 1
例:求F(s) S (≠的原函数 解: fsin√3t s2+3 d,√3 2√3s <>-tsin v3t dss2+3(s2+3 F(S) =tsin√3e() (s2+3)22y3
例 : 求 2 2 的原函数 ( 3 ) ( ) + = s s F s 解 ： t s sin 3 3 3 2 + t t s s ds s d sin 3 ( 3 ) 2 3 ) 3 3 ( 2 2 2 − + = − + sin 3 ( ) 2 31 ( 3) ( ) 2 2 t t t s s F s + =
例:求F(s)= (S2+3 解 (2+3)2 tsin√3te() 2 s(2+3)/ S 2√3 =[cos√3t+-siny3l(t) 6√3
+ = 2 2 ( 3 ) 1 ( ) s 例 ： 求 F s 解 ： sin 3 ( ) 2 3 1 ( 3 ) 2 2 t t t s s + d s s s t − + 0 2 2 sin 3 2 3 1 ( 3 ) 1 sin 3 ] ( ) 6 3 1 cos 3 6 [ t t t t + − =
求取复杂拉氏变换式的反变换可采用:围线积分或部分分 式展开法。 化简的第一步是化成真分式 s2+3s+1 例: =S+2 s+1 S+1 >(t)+26(t)-e'(t)
化简的第一步是化成真分式 1 3 1 2 + + + s s s 例: 1 1 2 + = + − s s (t) 2 (t) e (t) t − + − 求取复杂拉氏变换式的反变换可采用：围线积分或部分分 式展开法
2.部分分式展开 F(S) N(S) 含真分式 D(S) (1).D()=0的根是实根且无重根 D(s)是s的多项式,可以进行因式分解 D(S=a,(s-S(s-S,).(S-S,) N(S) N(S D(S) a(S-S(s-S,).(S-S,) k
2. 部分分式展开 含真分式 ( ) ( ) ( ) D s N s F s = (1). D(s) = 0 的根是实根且无重根 D(s)是s的多项式，可以进行因式分解 ( ) ( )( ) ( ) n 1 2 n D s = a s − s s − s s − s ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 2 n a s s s s s s N s D s N s − − − = n n s s k s s k s s k − + + − + − = 2 2 1 1
左右两边同乘以因子(ss;),再令s=(i1,2,…;n) N(S k =(s-S (i=1,2,…m) D(S) [F(S)=L[]+L[-2-]+…+L[ S-S ke”+k2e+…+k,e”"]2(
左右两边同乘以因子( s-si )，再令s =si ( i=1,2,…,n ) ( 1,2, ) ( ) ( ) ( ) i n D s N s k s s i s s i = − i = = [ ( )] [ ] [ ] [ ] 1 2 1 2 1 1 1 1 n n s s k L s s k L s s k L F s L − + + − + − = − − − − [ ] ( ) 1 2 1 2 k e k e k e t s t n s t s t n = + ++
4s2+11s+10 例:求F(s) 的拉氏反变换 2s2+5s+3 解:F(s)=2+ s+4 (S+1)s+ 2+=[ 2S+1 s+ s+4 s+ S+1)(s+
例 : 求 的拉氏反变换 2 5 3 4 11 10 ( ) 2 2 + + + + = s s s s F s 解 ： ) 23 2 ( 1)( 4 ( ) 2 + + + = + s s s F s ] 2 1 3 [ 21 2 1 2 + + + = + s k s k 2 1 3 ) 23 ( 1)( 4 1 2 + + + = + + + s k s k s s s
s+4 s+4 k 3|1 6,k2 S+ S+ 1.6 F(s)=2+[,+-2] S+1 S+ F(s)>26()+(3e-e2)E(t)
) ( ) 2 5 ( ) 2 ( ) (3 2 3 F s t e e t t t − − + − ] 2 3 5 1 6 [ 2 1 ( ) 2 + − + + = + s s F s 5 2 1 2 5 1 4 6, 2 1 3 2 3 4 2 3 2 1 1 = − − = + + = = = + + = =− =− s s s s k s s k
(2).D()=0的根有复根且无重根 D()=an(S-S1)(s-S2)…(S-Sn2)(S2+bs+c) D(S(S+bs+c) 二次多项式中,若b2<4c,则构成一对共轭复根 F(S) N(s) K,s+h2 N,(S) D(S) bs +C D,(s) 先求N1(s)的系数,再利用对应项系数相等的方法求k,k2 k1+k2 的反变换可用配方法 s<+bstc
(2). D(s) = 0 的根有复根且无重根 ( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 2 2 D s a s s s s s s s bs c = n − − − n− + + ( )( ) 2 1 = D s s + bs + c 二次多项式中，若b 2 4c,则构成一对共轭复根。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 D s N s s bs c k s k D s N s F s + + + + = = 1 1 2 先求N (s)的系数，再利用对应项系数相等的方法求k ,k 的反变换可用配方法。 s bs c k s k + + + 2 1 2
例:求F(S) s+3 的原函数 s3+3s2+6s+4 解:试探得s3+3s2+6s+4=(s+1X32+2s+4) A Bs +c 故F(S)= s+1s2+2s+4 由掩盖法得:A s+3 Bs +c s3+3s2+6s+4s+1s2+2s+4
例：求 的原函数 3 6 4 3 ( ) 3 2 + + + + = s s s s F s 3 6 4 ( 1)( 2 4) 3 2 2 解：试探得 s + s + s + = s + s + s + 1 2 4 ( ) 2 + + + + + = s s Bs C s A 故F s 由掩盖法得： 3 2 A = 1 2 4 3 2 3 6 4 3 3 2 2 + + + + + = + + + + s s Bs C s s s s s