4-9电路的冲激响应 49-1单位冲激信号 单位冲激信号记为(t),定义为 0t≠0 6(t) t=0 和 6()dt=1 延迟单位冲激信号记为8(tt),定义为 d(t 0t≠t 6(t-t0) 和」O6(t-6)bt
4-9 电路的冲激响应 4-9-1 单位冲激信号 和 − (t)dt =1 = = 0 0 0 ( ) t t t 单位冲激信号记为δ( t )，定义为 和 − (t −t 0 )dt =1 = − = 0 0 0 0 ( ) t t t t t t 延迟单位冲激信号记为 δ( t-t0 )，定义为 0 t (1) (t) 0 t (1) ( )0 t −t t0
单位冲激函数(t)不是普通函数,而是一个广义函数 g(t) 6(t)可看成许多普通函数的极限, 如可看成右图所示窄矩形脉冲函 数(或门函数)g(t)当A→0时的 极限。 0△t 6(1)=lmg() ↑δ(t) △→>0 (1) 工程定义:出现时间极短和面积为1 0
工程定义：出现时间极短和面积为1 单位冲激函数δ( t )不是普通函数，而是一个广义函数 ( ) lim ( ) 0 t g t → = 0 t g(t) δ( t )可看成许多普通函数的极限， 1 如可看成右图所示窄矩形脉冲函 数（或门函数）g( t )当Δ→0时的 极限。 0 t (1) (t)
单位冲激信号与单位阶跃信号之间的关系 δ(t) 0t0=(1) 因而也有下式成立 0 dE(t)=8(t) dt 类似还有如下关系成立 ∫ 0t< s(t-todr E(t-to) 和 ds(t-to2=8(t-to
− = t t t d 1 0 0 0 ( ) 类似还有如下关系成立 单位冲激信号与单位阶跃信号之间的关系 0 t (1) (t) 因而也有下式成立 = (t) ( ) d d ( ) t t t = ( ) d d ( ) ( ) 1 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 t t t t t t t t t t t t d t = − − = − − = − 和
4-9-2单位冲激函数的筛选特性 由于t≠t时(tt)=0,因此 f(to(t-to)=f(to)8(t-to) 若t=0,则有 f(1)δ()=f(O)o(t) 将以上两式从-∞到+∞对t积分,可得 fO(-)=厂f(0)(-)d=/() ∫= f()δ(t)d ∫ f(0)6()dt=f(0
4-9-2 单位冲激函数的筛选特性 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f t t −t = f t t −t 由于 t ≠t0 时 δ( t-t0 )＝0，因此 若 t0 ＝0，则有 f (t) (t) = f (0) (t) 将以上两式从-∞到 +∞对 t 积分，可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 f t t t dt f t t t dt f t + − + − − = − = f (t) (t)dt f (0) (t)dt f (0) + − + − = =
可见,单位冲激函数可通过与普通函数相乘、积分的运算, 将函数在冲激出现的时刻的函数值筛选出来。这就是冲激 函数的筛选性质或抽样性质。 例如 S(tsin dt=sin to=0 8(t-)sin rtdt- sin rt sin rtS(t=sin T_&(t)=0 sin nS(t-x=sin r-18(t S(t 2
可见，单位冲激函数可通过与普通函数相乘、积分的运算， 将函数在冲激出现的时刻的函数值筛选出来。这就是冲激 函数的筛选性质或抽样性质。 例如 − (t)sin tdt − t − )sin tdt 4 1 ( sin ( ) sin ( ) 0 0 = = = t t t t t ) 4 1 ( 2 2 ) 4 1 ) sin ( 4 1 sin ( 4 − = 1 − = − = t t t t t t sin 0 0 = = t= t 2 2 sin 4 = 1 = t= t
例:已知f()={()-(t-2),求f() f(t) f(t) 0 02 (2) 解:f"(1)=[e(1)-E(t-2)+6(t)-06(t-2) E()-E(t-2)+06(1)-28(t-2) =[(t)-E(t-2)-2(t-2)
f ( t ) = t[ ( t ) − ( t − 2)] , 求f '( t ) [ ( ) ( 2)] 2 ( 2) [ ( ) ( 2)] 0 ( ) 2 ( 2) '( ) [ ( ) ( 2)] [ ( ) ( 2)] = − − − − = − − + − − = − − + − − t t t t t t t f t t t t t t f (t) 0 2 t 2 0 t (2) 1 f ' ( t ) 2 例：已知 解：
49-3单位冲激响应 系统的初始状态为零,激励为单位冲激信号6()作用下的零 状态响应,用h()表示。 由于冲激函数仅在t=0处作用,而在t>0的区间恒为零。 也就是说,激励信号δ()的作用是在t=0的瞬间给系统输 入了若干能量,贮存在系统的各储能元件中,而在t>0后 系统的激励为零,只有冲激引入的那些储能在起作用, 因而,系统的冲激响应由上述储能唯一地确定
4-9-3 单位冲激响应 系统的初始状态为零，激励为单位冲激信号δ(t) 作用下的零 状态响应，用h(t) 表示。 由于冲激函数仅在t =0 处作用，而在t > 0 的区间恒为零。 也就是说，激励信号δ(t) 的作用是在 t = 0 的瞬间给系统输 入了若干能量，贮存在系统的各储能元件中，而在 t > 0 后 系统的激励为零，只有冲激引入的那些储能在起作用， 因而，系统的冲激响应由上述储能唯一地确定
例4-9-1图示电路若电流源is(=6(0),求电容电压lc的 冲激响应h()。 解:列微分方程: duc ,uc=8(t) 6(1)〖RC R >0时8(=0,则 d 0,t>0 dt 即t>0后电路是一个零输入响应问题 uc(0)=0,电容在t=0瞬间相当于 短路,如右图所示 6()Rtu2(0 c(0)=6(1)
解：列微分方程： (t) R u dt du C C C + = 例4-9-1 图示电路若电流源iS (t) =δ(t)，求电容电压uC 的 冲激响应 h(t) 。 t >0 时δ(t) = 0，则 + = 0 t 0 R u dt du C C C ， 即t >0 后电路是一个零输入响应问题 uC (0_) = 0，电容在t = 0 瞬间相当于 短路，如右图所示 i (0) (t) C = (t) R C + _ C u C i (t) R + _ (0) uC
lc(04)=lc(0)+c()dh 6(0)RI2(O) n(0)+2aMh= 由三要素公式得 h(t)=uc(t=uc(o,e a(t)=e ca(t) 电容电压在冲激信号作用下,从零跃变到
C t dt C u i t dt C u u C C C C 1 ( ) 1 (0 ) ( ) 1 (0 ) (0 ) 0 0 0 0 = + = = + + − + − − + − 电容电压在冲激信号作用下，从零跃变到 C 1 由三要素公式得 ( ) 1 ( ) ( ) (0 ) ( ) e t C h t u t u e t RC t t C C − − = = + = C i (t) R + _ (0) C u
例4-92求图示电路在电压源as()=6(1)作用下的电感电流 i的冲激响应h()。 R1(1)+1()=5()24 解:列微分方程: dt >0时δ()=0,则 Ri(t)+l i1()=0,t>0 即t>0后电路是一个零输入响应问题 R i1(0)=0,电感在t=0瞬间相当于 开路,如右图所示 ()2(0) ll(O)=(1)
解：列微分方程： ( ) ( ) ( ) t dt di t Ri t L L L + = 例4-9-2 求图示电路在电压源uS (t) =δ(t)作用下的电感电流 iL 的冲激响应h(t) 。 + - (t) R (0) uL + - + - R L i (t) L u (t) S t >0 时δ(t) = 0，则 0 0 ( ) ( ) + = t dt di t Ri t L L L ， 即t >0 后电路是一个零输入响应问题 iL (0_) = 0，电感在 t = 0 瞬间相当于 开路，如右图所示 u (0) (t) L =