南京邮电学院：《电路与信号分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 傅里叶分析（8.4-8.5）

8-2傅里叶变换的求取 8-2-1周期信号的傅里叶变换 指数信号em(-02n(-00) 2正弦信号和余弦信号snan, coS O1(-02xo(O-00,em(>2mo(+O0) COSO01>x6(+O0)+o(-00)

8-2 傅里叶变换的求取 1. ( ) e 0 −  t   指数信号 j t ( ) ( ), ( ) ( ) 0  0    f t  F f t e  F − 若 则 j t ( ) 1, 2 ( ) 0 0      =  − j t 令f t e 2. sin ,cos ( ) 正弦信号和余弦信号 0 t 0 t −  t   2 ( ), 2 ( ) 0 0 0     0        −  + j t − j t e e cos [ ( ) ( )]  0    +0 +  −0 t 8-2-1 周期信号的傅里叶变换

Snm0t>jn[(+o0)-6(0-00) cOS Oota(1)分[x(+00)+o(-00)*[o(O)+ 2丌 [6(O+O0)+(-00)+ 2j(+00)2j( j(0-00 [6(0+00)+8(0-00-/o 类似地 sino0t6(1)4>[(a+o0)-o(o-00)+ 0-a

sin [ ( ) ( )] 0     +0 −  −0 t j 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ( ) ( )] 2 2 ( ) 1 2 ( ) 1 [ ( ) ( )] 2 ] 1 [ ( ) ( )] [ ( ) 2 1 cos ( )                                     − = + + − + − + + = + + − +  + + −  + j j j j t t 类似地 2 2 0 0 0 0 0 [ ( ) ( )] 2 sin ( )             −  + − − + j t t

3.一般周期信号 f()=∑F 两边取傅里叶变换 f()F()=2z∑Fn0(O-m n=-0 周期信号的傅氏变换或频谱密度,是由无穷多个冲激所组成, 这些冲激位于谐频no处, 冲激强度为指数形式傅里叶级数的复系数F乘以2

3. 一般周期信号 T f t F e n j n t n    2 ( ) 0 0 =  =  =− 两边取傅里叶变换   =−  = − n n f (t) F( ) 2 F ( n )     0 周期信号的傅氏变换或频谱密度，是由无穷多个冲激所组成， 这些冲激位于谐频nω0 处， 冲激强度为指数形式傅里叶级数的复系数Fn 乘以2

例:求cosO的频谱密度函数 解: coS (nt ot JOoL F(o F= F 频谱密度为位于0和-o处的冲激,冲激强度为2=丌 CoSO4>m[8(+00)+(-00)

例：求cos0 t的频谱密度函数 ( ) 2 1 cos 0 0 0 j t j t t e e    − 解： = + 2 1 F1 = F−1 =  − 2 =  2 1 频谱密度为位于 0 和 0 处的冲激，冲激强度为 cos [ ( ) ( )] 0    +0 +  −0 t −0 0 ( )  F()

4单位冲激序列δ(t) 6n()是以T为周期的单位冲激信号,6()=∑O6(-n7) n=-00 展开为指数形式傅氏级数 6n()=∑Fne n=-0 式中,F 8(te no dt TT 6(1)在(,)之间为δ(1 22 1&(t)e noo'dt

  =− = − n T T  (t)是以T为周期的单位冲激信号， (t)  (t nT) 展开为指数形式傅氏级数   =− = n j n t T n t F e 0 ( )   t e dt T F T T j n t n  T − − = 2 2 0 ( ) 1  式中，  T t e dt T F t T T t T T j n t n T 1 ( ) 1 ) ), 2 , 2 ( ) ( 2 2 0 = = − − −    在 之间为（ 4. (t) 单位冲激序列 T

6(t)(> ∑ 6(-n00)=006(O) n=-00 f(t) F(0) ott t 0002000

   =−  =− = = n j n t j n t n T e T e T t 0 0 1 1 ( )    ( ) ( ) 2 ( ) 0 0 0           − =   n=− T n T t     0 T 2T t f (t) F() 0 0 20  (1) ( ) 0

3-7-2傅里叶系数与傅里叶变换 非周期信号的频谱密度F(o)与相应的周期信号的 傅里叶复系数F之间的关系 F(O=lim TF, T→>0 n00=0 F() T 0=no 上述关系提供了一种求周期信号傅里叶系数的 方法

3-7-2 傅里叶系数与傅里叶变换 傅里叶复系数 之间的关系 非周期信号的频谱密度 与相应的周期信号的 Fn F() 0 0 ( ) ( ) lim       n n n n T T F F F TF = → = = = 上述关系提供了一种求周期信号傅里叶系数的 方法

例:将图示周期信号展开为指数型傅里叶级数 f(t) 0 T 2T t 解:周期信号()的一个周期波形G(t)如图所示 f0(t) f() T t T/20T/2t

例：将图示周期信号展开为指数型傅里叶级数 解：周期信号f T (t)的一个周期波形f 0 (t)如图所示 T 2T t 1 f (t) T 0 0 T t ( ) 0 f t 1 -T/2 0 T/2 t ( ) 1 f t 1

A( <>Aa(Ot 2 T 令A=1,=则f(t)F(O) C T f6()f()在时间上延迟,即 f0(t)=f1(t 根据时移性质 OT F0(0)=F(j)e2 4

) 4 ( 2 ( ) ( ) 2 1, 2 1 1 T Sa T f t F T A  令 =  = 则   = ) 2 ) ( 2 ( 2    A Sa t   比 在时间上延迟 ，即 2 ( ) ( ) 0 1 T f t f t ) 2 ( ) ( 0 1 T f t = f t − 根据时移性质 2 2 2 0 1 ) 4 ( 2 ( ) ( ) T j T j e T Sa T F j F j e      − − = =

Sa27nooT 1丌 F=Fo(a e e 4 =n0 周期信号的指数型傅里叶展开式为 fn()=∑Sa2(n) e nte noo n=-00

       j n T j n n n e n e Sa n T F j Sa T F − − = = = = ) 2 ( 2 1 ) 4 ( 2 1 ( ) 1 2 0 2 2 0 0 0 j n j n t n T e e n f t Sa 0 ) 2 ( 2 1 ( ) 2  −    =− =  周期信号的指数型傅里叶展开式为：