南京邮电学院：《电路与信号分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 傅里叶分析（8.1-8.3）

第八章傅里叶分析 信号分析就是研究信号如何表示为各分量的叠加,并从 信号分量的组成情况去考察信号的特性。 时域分析法频谱分析 8-1周期信号的频谱分析 8-1-1周期信号傅里叶级数的三角形式 狄里赫勒条件 在一个周期内只有有限个极大值和极小值 2。在一个周期内只有有限个间断点; 3。在一个周期内绝对可积

第八章 傅里叶分析 信号分析就是研究信号如何表示为各分量的叠加，并从 信号分量的组成情况去考察信号的特性。 时域分析法 频谱分析 8-1 周期信号的频谱分析 狄里赫勒条件： 1。在一个周期内只有有限个极大值和极小值； 2。在一个周期内只有有限个间断点； 3。在一个周期内绝对可积。 8-1-1 周期信号傅里叶级数的三角形式

个无穷无尽的周期信号f(t),周期为T,若满足狄里 赫勒条件,则可展开为下列三角形式的傅里叶级数: f(t=ao+2(a, cosnOot+b, sin noot) n=1 其中 0 f(tdt 7f(t)cosnOotdt (n=1.2.3 b f(tsin natt (n=1, 2,3 2z为基波频率,n为谐波频率,a和b称傅里叶系数, 表示从任意起始点开始,取一个周期T为积分区间

( ) ( cos sin ) 1 0  0 0  = = + + n n n f t a a n t b n t 其中 ( )sin ( 1,2,3, ) 2 =  f t n 0 tdt n =  T b T n  表示从任意起始点开始，取一个周期 为积分区间 为基波频率， 为谐波频率， 和 称傅里叶系数， dt T n a b T T n n   = [ ] 2 0 0    = T f t dt T a ( ) 1 0 ( ) cos ( 1,2,3, ) 2 =  f t n 0 tdt n =  T a T n  一个无穷无尽的周期信号f(t)，周期为T，若满足狄里 赫勒条件，则可展开为下列三角形式的傅里叶级数：

a)对称性 信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系为 (1)若f(-)=f(0偶函数,则b2=0,只有常数项和余弦项 b f(tsin n@tdt f(osin nootdt+2 f(tsin nootdt r f(sin nootdt+12 f(t)sin( -)d(o) r f(sin nootdt-rf(tsin naotdt]=0

a) 对称性 信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系为： (1) 若f (−t) = f (t),偶函数,则bn = 0,只有常数项和余弦项。 [ ( )sin ( )sin ] 0 2 0 2 0 0 2 = 0 − = − − T T f t n tdt f t n tdt T   f t n tdt T b T n  = 0 ( )sin 2  −  = + 2 0 0 0 2 0 [ ( )sin ( )sin ] 2 T T f t n tdt f t n tdt T   [ ( )sin ( )sin( ) ( )] 2 2 0 0 0 2  0  − − = + − − − T T f t n tdt f t n t d t T  

f(tcos notat f(t), tdt+2 f(t)cosnoo tdt f(t)cos(nOot)d(t)+ f(t)cosnoo tdt T f(t)cos noo tdt+2f(t)cosnootdt] 712(oo 类似地 f(t)cos tdt

 = 2 0 0 ( ) cos 4 T f t n tdt T  f t n tdt T a T n  = 0 ( ) cos 2  −  = + 2 0 0 0 2 0 [ ( )cos ( ) cos ] 2 T T f t n tdt f t n tdt T   [ ( )cos( ) ( ) ( )cos ] 2 2 0 0 0 2  0  = − − − + T T f t n t d t f t n tdt T   [ ( )cos ( ) cos ] 2 2 0 0 2 0  0  = + T T f t n tdt f t n tdt T    = 2 0 0 0 ( ) cos 4 T f t n tdt T 类似地 a 

2)若为奇函数,f(t)=-f(-1),a0=an=0,只有正弦项。 b f(tsin no tdt (3)若为偶半波对称,∫(t±)=f(t),只有偶次谐波项

(2)若为奇函数，f (t) = − f (−t), a0 = an = 0,只有正弦项。 若为偶半波对称， ) ( ),只有偶次谐波项。 2 (3) ( f t T f t  =  = 2 0 0 ( )sin 4 T n f t n tdt T b  0 4 T 2 T T t ( ) 3 f t

(4)若为奇半波对称,f(t±)=-f()只有奇次谐波项

若为奇半波对称， ) ( ),只有奇次谐波项。 2 (4) ( f t T f t  = − 2 T T 2 T − ( ) 4 f t t

b)傅里叶谱 因为 a cos not+ b sin not= A, cos(not+n 所以,傅氏级数又可写成 f()=4+∑A,cos(no+a,) 直流分量n次谐波分量 其中A An=van +b b narcos g(-)(n≠0)

b) 傅里叶谱 cos sin cos( ) n 0 n 0 n 0 n 因为a n t +b n t = A n t + 所以，傅氏级数又可写成   = = + + 1 0 0 ( ) cos( ) n n n f t A A n t  ( ) ( 0) 2 2 0 0 = −  = + = n a b arctg A a b A a n n n n n n  其中 直流分量 n 次谐波分量

结论: 任何满足狄里赫勒条件的周期信号可以分解为直流分量(频率 为零)和一系列的正弦分量之和。 f()=4+∑A,cos(no+an) =Ao+A1cos(t+1)+A2co(2t+2)+A3coS(30t+63)+ 上式中: 第一项是常数项,它是周期信号中所包含的直流分量; 第二项为信号的基波或一次谐波; 第三项为信号的二次谐波; 以下依次类推

任何满足狄里赫勒条件的周期信号可以分解为直流分量（频率 为零）和一系列的正弦分量之和。   = = + + 1 0 0 ( ) cos( ) n n n f t A A n t  = A0 + A1 cos(0 t +1 ) + A2 cos(20 t +2 ) + A3 cos(30 t +3 ) + 上式中： 第一项是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量； 第二项为信号的基波或一次谐波； 第三项为信号的二次谐波； 以下依次类推…… 结论：

f(t=A0+>, cos(n@ot+0,) 理论上:无限多项 实际计算:取有限项 所取项数越多,合成波形越接近原信号。 例:424页图8-1-1:用n次谐波合成逼近周期方波 低频分量:决定波形轮廓 高频分量:体现波形细节

理论上：无限多项   = = + + 1 0 0 ( ) cos( ) n n n f t A A n t  实际计算：取有限项 所取项数越多，合成波形越接近原信号。 例：424页图8-1-1：用n次谐波合成逼近周期方波 低频分量：决定波形轮廓 高频分量：体现波形细节

例:试求如图所示的周期矩形脉冲信号的三角形傅里叶级数, 绘出其频谱图。若A=1,T=2x,x=丌 f(t) 解:f()是偶函数,故只含常数项和余弦项 (h=7:/( aT 7: (1 )dt+k2 f(t)dt Adt

解：f (t)是偶函数，故只含常数项和余弦项。  − = = 2 2 0 ( ) 1 ( ) 1   f t dt T f t dt T a T T A Adt T   = =  2 0 2 A 2  2  − T f (t) t = 0 n b   = + − 2 0 0 2 ( ) 1 ( ) 1   f t dt T f t dt T 例：试求如图所示的周期矩形脉冲信号的三角形傅里叶级数， 绘出其频谱图。 若A =1,T = 2, = 