第八章傅里叶分析 信号分析就是研究信号如何表示为各分量的叠加,并从 信号分量的组成情况去考察信号的特性。 时域分析法频谱分析 8-1周期信号的频谱分析 8-1-1周期信号傅里叶级数的三角形式 狄里赫勒条件 在一个周期内只有有限个极大值和极小值 2。在一个周期内只有有限个间断点; 3。在一个周期内绝对可积
第八章 傅里叶分析 信号分析就是研究信号如何表示为各分量的叠加,并从 信号分量的组成情况去考察信号的特性。 时域分析法 频谱分析 8-1 周期信号的频谱分析 狄里赫勒条件: 1。在一个周期内只有有限个极大值和极小值; 2。在一个周期内只有有限个间断点; 3。在一个周期内绝对可积。 8-1-1 周期信号傅里叶级数的三角形式
个无穷无尽的周期信号f(t),周期为T,若满足狄里 赫勒条件,则可展开为下列三角形式的傅里叶级数: f(t=ao+2(a, cosnOot+b, sin noot) n=1 其中 0 f(tdt 7f(t)cosnOotdt (n=1.2.3 b f(tsin natt (n=1, 2,3 2z为基波频率,n为谐波频率,a和b称傅里叶系数, 表示从任意起始点开始,取一个周期T为积分区间
( ) ( cos sin ) 1 0 0 0 = = + + n n n f t a a n t b n t 其中 ( )sin ( 1,2,3, ) 2 = f t n 0 tdt n = T b T n 表示从任意起始点开始,取一个周期 为积分区间 为基波频率, 为谐波频率, 和 称傅里叶系数, dt T n a b T T n n = [ ] 2 0 0 = T f t dt T a ( ) 1 0 ( ) cos ( 1,2,3, ) 2 = f t n 0 tdt n = T a T n 一个无穷无尽的周期信号f(t),周期为T,若满足狄里 赫勒条件,则可展开为下列三角形式的傅里叶级数:
a)对称性 信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系为 (1)若f(-)=f(0偶函数,则b2=0,只有常数项和余弦项 b f(tsin n@tdt f(osin nootdt+2 f(tsin nootdt r f(sin nootdt+12 f(t)sin( -)d(o) r f(sin nootdt-rf(tsin naotdt]=0
a) 对称性 信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系为: (1) 若f (−t) = f (t),偶函数,则bn = 0,只有常数项和余弦项。 [ ( )sin ( )sin ] 0 2 0 2 0 0 2 = 0 − = − − T T f t n tdt f t n tdt T f t n tdt T b T n = 0 ( )sin 2 − = + 2 0 0 0 2 0 [ ( )sin ( )sin ] 2 T T f t n tdt f t n tdt T [ ( )sin ( )sin( ) ( )] 2 2 0 0 0 2 0 − − = + − − − T T f t n tdt f t n t d t T
f(tcos notat f(t), tdt+2 f(t)cosnoo tdt f(t)cos(nOot)d(t)+ f(t)cosnoo tdt T f(t)cos noo tdt+2f(t)cosnootdt] 712(oo 类似地 f(t)cos tdt
= 2 0 0 ( ) cos 4 T f t n tdt T f t n tdt T a T n = 0 ( ) cos 2 − = + 2 0 0 0 2 0 [ ( )cos ( ) cos ] 2 T T f t n tdt f t n tdt T [ ( )cos( ) ( ) ( )cos ] 2 2 0 0 0 2 0 = − − − + T T f t n t d t f t n tdt T [ ( )cos ( ) cos ] 2 2 0 0 2 0 0 = + T T f t n tdt f t n tdt T = 2 0 0 0 ( ) cos 4 T f t n tdt T 类似地 a
2)若为奇函数,f(t)=-f(-1),a0=an=0,只有正弦项。 b f(tsin no tdt (3)若为偶半波对称,∫(t±)=f(t),只有偶次谐波项
(2)若为奇函数,f (t) = − f (−t), a0 = an = 0,只有正弦项。 若为偶半波对称, ) ( ),只有偶次谐波项。 2 (3) ( f t T f t = = 2 0 0 ( )sin 4 T n f t n tdt T b 0 4 T 2 T T t ( ) 3 f t
(4)若为奇半波对称,f(t±)=-f()只有奇次谐波项
若为奇半波对称, ) ( ),只有奇次谐波项。 2 (4) ( f t T f t = − 2 T T 2 T − ( ) 4 f t t
b)傅里叶谱 因为 a cos not+ b sin not= A, cos(not+n 所以,傅氏级数又可写成 f()=4+∑A,cos(no+a,) 直流分量n次谐波分量 其中A An=van +b b narcos g(-)(n≠0)
b) 傅里叶谱 cos sin cos( ) n 0 n 0 n 0 n 因为a n t +b n t = A n t + 所以,傅氏级数又可写成 = = + + 1 0 0 ( ) cos( ) n n n f t A A n t ( ) ( 0) 2 2 0 0 = − = + = n a b arctg A a b A a n n n n n n 其中 直流分量 n 次谐波分量
结论: 任何满足狄里赫勒条件的周期信号可以分解为直流分量(频率 为零)和一系列的正弦分量之和。 f()=4+∑A,cos(no+an) =Ao+A1cos(t+1)+A2co(2t+2)+A3coS(30t+63)+ 上式中: 第一项是常数项,它是周期信号中所包含的直流分量; 第二项为信号的基波或一次谐波; 第三项为信号的二次谐波; 以下依次类推
任何满足狄里赫勒条件的周期信号可以分解为直流分量(频率 为零)和一系列的正弦分量之和。 = = + + 1 0 0 ( ) cos( ) n n n f t A A n t = A0 + A1 cos(0 t +1 ) + A2 cos(20 t +2 ) + A3 cos(30 t +3 ) + 上式中: 第一项是常数项,它是周期信号中所包含的直流分量; 第二项为信号的基波或一次谐波; 第三项为信号的二次谐波; 以下依次类推…… 结论:
f(t=A0+>, cos(n@ot+0,) 理论上:无限多项 实际计算:取有限项 所取项数越多,合成波形越接近原信号。 例:424页图8-1-1:用n次谐波合成逼近周期方波 低频分量:决定波形轮廓 高频分量:体现波形细节
理论上:无限多项 = = + + 1 0 0 ( ) cos( ) n n n f t A A n t 实际计算:取有限项 所取项数越多,合成波形越接近原信号。 例:424页图8-1-1:用n次谐波合成逼近周期方波 低频分量:决定波形轮廓 高频分量:体现波形细节
例:试求如图所示的周期矩形脉冲信号的三角形傅里叶级数, 绘出其频谱图。若A=1,T=2x,x=丌 f(t) 解:f()是偶函数,故只含常数项和余弦项 (h=7:/( aT 7: (1 )dt+k2 f(t)dt Adt
解:f (t)是偶函数,故只含常数项和余弦项。 − = = 2 2 0 ( ) 1 ( ) 1 f t dt T f t dt T a T T A Adt T = = 2 0 2 A 2 2 − T f (t) t = 0 n b = + − 2 0 0 2 ( ) 1 ( ) 1 f t dt T f t dt T 例:试求如图所示的周期矩形脉冲信号的三角形傅里叶级数, 绘出其频谱图。 若A =1,T = 2, =