31明题图P3所示矩形函数f()与{ cos n为整数}在区间(02x)上正交。 f(D)4 0 2 图P3 32证明两相互正交的信号f1(1)与f2(m)同时作用于单位电阻上产生的功率,等会每一信号 单独作用时产生的功率之和。以f1(m)与f2(1)分别为下列两组函数来验证此结论。 (1)f(1)=cos(1),f2()=sin(vt); (2)f(1)=cos(w)J2()=sin(wt+30)。 33试求题图P32所示信号的三角型傅里叶级数展开式,并画出频谱图。 f(n)▲ 图P3.2 34求下列周期信号的傅里叶级数表示式。 (1)如图P33所示。 sinm0≤t≤2 (2)f(1)的周期为4,且∫()= 2<t<4
3.1 证明题图 P3.1 所示矩形函数 f (t)与{cos nt | n为整数}在区间(0,2π ) 上正交。 f (t) 0 π 2π t 1 −1 图 P3.1 3.2 证明两相互正交的信号 ( ) 1f t 与 ( ) 2 f t 同时作用于单位电阻上产生的功率，等会每一信号 单独作用时产生的功率之和。以 ( ) 1f t 与 ( ) 2 f t 分别为下列两组函数来验证此结论。 （1） ( ) cos( ) f1 t = wt ， ( ) sin( ) f 2 t = wt ； （2） ( ) cos( ) f1 t = wt ( ) sin( 30 ) 2 ° f t = wt + 。 3.3 试求题图 P3.2 所示信号的三角型傅里叶级数展开式，并画出频谱图。 f (t) A 0 −T 2 T − T 2 T t 图 P3.2 3.4 求下列周期信号的傅里叶级数表示式。 （1）如图 P3.3 所示。 （2） f (t)的周期为 4，且 ⎩ ⎨ ⎧ = 0 sin ( ) t f t π 2 4 0 2 ≤ ≤ ≤ ≤ t t
∫( 图P3.3 3.5(1)证明:以T为周期的信号∫(m),如果是偶信号,即∫()=f(-1),则其三角函数 形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量;如果∫(1)是奇信号,即∫(m)=-f(1),则其 三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。 (2)如果以T为周期的信号∫(1)同时满足∫(1)=∫(-),则称∫(1)为偶谐信号;如果 同时满足f()=-f(-),则称f()为奇谐信号。证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含 偶次谐波;奇谐信号的傅里叶级数中只包含奇次谐波。 (3)如果∫()是周期为2的奇谐信号,且f(1)=1,0<1<1,请画出f()的波形,并求 出它的傅里叶系数 36已知周期信号∫(1)前四分之一周期的波形如图P34所示,试分别绘出在下列条件下信 号在一个周期内的波形 (1)是t的偶函数,其傅里叶级数只有偶次谐波。 (2)是t的偶函数,其傅里叶级数只有奇次谐波 (3)是t的偶函数,其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波 (4)是t的奇函数,其傅里叶级数只有偶次谐波。 (5)是t的奇函数,其傅里叶级数只有奇次谐波。 (6)是t的奇函数,其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波 A 72 0 T 图P34
"" "" f (t) e 1 −1 0 − 3 1 3 t 图 P3.3 3.5（1）证明：以T 为周期的信号 f (t) ，如果是偶信号，即 f (t) = f (−t) ，则其三角函数 形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量；如果 f (t)是奇信号，即 f (t) = − f (t) ，则其 三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。 （2）如果以T 为周期的信号 f (t)同时满足 ) 2 ( ) ( T f t = f t − ，则称 f (t)为偶谐信号；如果 同时满足 ) 2 ( ) ( T f t = − f t − ，则称 f (t) 为奇谐信号。证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含 偶次谐波；奇谐信号的傅里叶级数中只包含奇次谐波。 （3）如果 f (t)是周期为 2 的奇谐信号，且 f (t) = t ，0 < t < 1，请画出 f (t)的波形，并求 出它的傅里叶系数。 3.6 已知周期信号 f (t)前四分之一周期的波形如图 P3.4 所示，试分别绘出在下列条件下信 号在一个周期内的波形。 （1）是t 的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波。 （2）是t 的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波。 （3）是t 的偶函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波。 （4）是t 的奇函数，其傅里叶级数只有偶次谐波。 （5）是t 的奇函数，其傅里叶级数只有奇次谐波。 （6）是t 的奇函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波。 0 A1 f (t) − A2 T1 T2 t 图 P3.4
3.7试画出图P3.5所示信号的奇分量和偶分量。 f(n)4 f2( T 0 f( f4(1)▲ T 图P3.5 3.8利用信号的奇偶性,判断图P36所示各信号的傅里叶级数所包含的分量。 f() 2(1)4 T / 图P3.6 3.9f1(1)和f2(1)的波形如图P37所示,已知f()的傅里叶变换为F(),试根据已知的 F(o)求f2(1)的傅里叶变换F2(jo)
3.7 试画出图 P3.5 所示信号的奇分量和偶分量。 A 0 2 T − 2 T " " t ( ) 1f t (a) A 0 " " t ( ) 2f t (b) −T T A 0 2 T − 2 T " " t ( ) 3f t (c) −T T 2A 0 " " t ( ) 4f t (d) − A 3 T 3 −T 2T T − A 图 P3.5 3.8 利用信号的奇偶性，判断图 P3.6 所示各信号的傅里叶级数所包含的分量。 0 T 2 T 2 T − −T 1 t ( ) 1f t 0 T 2 T 2 T − −T 1 t ( ) 2f t 0 T 2 T 2 T −T − 1 t ( ) 3f t 图 P3.6 3.9 ( ) 1f t 和 ( ) 2 f t 的波形如图 P3.7 所示，已知 ( ) 1f t 的傅里叶变换为 ( ) F1 jω ，试根据已知的 ( ) F1 jω 求 ( ) 2 f t 的傅里叶变换 ( ) F2 jω
f(o f2(1)4 f() f2() 01 图P3.7 3.10求如图P38所示信号的傅里叶变换 f2(1) y f3() f4(r) E E 2
0 1 3 4 1 2 t ( ) 1f t 0 1 3 4 1 2 t ( ) 2f t (a) 0 1 1 t ( ) 1f t 0 1 3 4 1 t ( ) 2f t (b) 图 P3.7 3.10 求如图 P3.8 所示信号的傅里叶变换。 E − E t ( ) 1f t 2 γ − 2 γ E t ( ) 2f t 0 γ t 2 γ 0 ( ) 3f t 2 E 2 E − γ t 2 γ 0 2 E 2 E − 2 γ − ( ) 4f t
图P3.8 311已知图P39所示信号f1()的频谱函数为F1(o)=R(o)+j(o),式中R(o)、X(O) 均为O的实函数,试求f2(1)的频谱函数F2(o)。(缺少图(b)) 3.12利用傅里叶变换的对称性,求下列信号的傅里叶变换。 (1)f(1)= 2B (2)f(0= Sin 2z( (t-1) (3)f(t)=[Sa(2m)]2(4)f(t) 313若已知∫(1)的傅里叶变换为F(),利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变 (1)(21) (2)(t-2)f(1); (3)(t-2)f(-2) (4)t df(o) dt (5)f(1-1) (6)(1-1)f(1-1); 314利用时域和频域的对称性,求下列傅里叶变换的时间函数: (1)X(o)=o(a-00) (2)X(jo)=l(+00)-l(-00) (3)X(o)=2()-1 315已知梯形信号∫(1)如图P3.10所 (1)利用三角形脉冲信号的傅里叶变换及时移性质,求∫(m)的傅里叶变换 (2)利用微分性质求f(t)的傅里叶变换 f() 2 图P3.10
图 P3.8 3.11 已知图 P3.9 所示信号 ( ) 1f t 的频谱函数为 ( ) ( ) ( ) F1 jω = R ω + jX ω ，式中 R(ω)、X (ω) 均为ω 的实函数，试求 ( ) 2 f t 的频谱函数 ( ) F2 jω 。（缺少图（b）） 3.12 利用傅里叶变换的对称性，求下列信号的傅里叶变换。 （1） 2 2 2 ( ) β β + = t f t （2） ( 1) sin 2 ( 1) ( ) − − = t t f t π π （3） 2 f (t) = [Sa(2πt)] （4） t f t π 1 ( ) = 3.13 若已知 f (t)的傅里叶变换为 F(ω)，利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变 换： （1）tf (2t)； （2）(t − 2) f (t) ； （3）(t − 2) f (−2t) （4） dt df t t ( ) ； （5） f (1− t)； （6）(1− t) f (1− t) ； （7） f (2t − 5) 3.14 利用时域和频域的对称性，求下列傅里叶变换的时间函数： （1） ( ) ( ) ω = δ ω −ω0 X j ； （2） ( ) ( ) ( ) ω = u ω +ω0 − u ω −ω0 X j ； （3） X ( jω) = 2u(ω) −1 3.15 已知梯形信号 f (t)如图 P3.10 所示， （1）利用三角形脉冲信号的傅里叶变换及时移性质，求 f (t)的傅里叶变换； （2）利用微分性质求 f (t)的傅里叶变换。 1 2 3 1 f (t) 0 t 图 P3.10
3.16试用时域微分、积分特性求下列波形信号的傅里叶变换。 f(1)4 f(1) 图P3.11 317已知图P312中两矩形脉冲f(1)及f2(1),且Ff()=E1r1Sa(-), FL/2()=E2x2Sa(-) (1)画出f1()*f2(1)的图形 (2)求f(1)*∫2(D)的频谱。 f( f2(1) E 图P3.12 3.18由冲激的傅里叶变换求图P3.13所示波形信号的傅里叶变换
3.16 试用时域微分、积分特性求下列波形信号的傅里叶变换。 1 t 1 f (t) 0 f (t) − 2 −1 0 1 2 1 t (a) (b) f (t) 0 1 −1 1 −1 t (c) 图 P3.11 3.17 已知图 P3.12 中两矩形脉冲 ( ) 1f t 及 ( ) 2 f t ， 且 ) 2 [ ( )] ( 1 1 1 1 ωτ F f t = E τ Sa ， ) 2 [ ( )] ( 2 2 2 2 ωτ F f t = E τ Sa （1）画出 ( ) ( ) 1 2 f t ∗ f t 的图形； （2）求 ( ) ( ) 1 2 f t ∗ f t 的频谱。 0 E1 E2 2 1 τ − 2 1 τ t ( ) 1f t ( ) 2f t 0 2 2 τ − t 2 2 τ 图 P3.12 3.18 由冲激的傅里叶变换求图 P3.13 所示波形信号的傅里叶变换
f() f(1) f4(1) 0 图P3.13 3.19已知三角形、升余弦脉冲的频谱,大致画出图P3.14中各脉冲被冲激抽样后信号的频谱 (抽样间隔为T,令T=) f()4 f()4 0 0 2 (a) (b) 图P3.14 320已知f(D)的傅里叶变换为F(jo),将f(1)按图P3.15所示的波形关系构成周期信号 ∫2(1),求此周期信号的傅里叶变换
( ) 1f t 1 −1 −τ τ 0 0 1 2 ( ) 2f t − 2 −1 1 2 t t 0 0 τ t t −τ τ 1 1 ( ) 3f t ( ) 4f t 图 P3.13 3.19 已知三角形、升余弦脉冲的频谱，大致画出图 P3.14 中各脉冲被冲激抽样后信号的频谱 （抽样间隔为Ts ，令 8 τ Ts = ）。 0 1 1 f (t) f (t) t −τ 0 τ t 2 τ − 2 τ (a) (b) 图 P3.14 3.20 已知 ( ) 1f t 的傅里叶变换为 ( ) F1 jω ，将 ( ) 1f t 按图 P3.15 所示的波形关系构成周期信号 ( ) 2 f t ，求此周期信号的傅里叶变换
f2( 2 图P3.15 321如图P316所示周期信号v;(D)加到RC低通滤波器电路,已知v;(1)的基波频率 f0=-=1kH,E=1,R=1k2,C=0.1 (1)设电容器两端电压为v2(),求系统转移函数H()=) (2)求ν(1)的直流分量、基波和五次谐波的幅度 v(O) v() 图P3.16 322图P3.17所示的周期性矩形脉冲信号,其频率∫=10kH,加到一谐振频率为 f0= VLC 30k/的并联谐振电路,以取得三倍频信号输出。并联谐振电路的转移函
0 ( ) 1f t 1 t 0 −1 1 2 3 4 t ( ) 2f t 图 P3.15 3.21 如图 P3.16 所示周期信号 v (t) i 加到 RC 低通滤波器电路，已知 v (t) i 的基波频率 kHz t f 1 2 0 = = π ， E = 1V ， R = 1kΩ ，C = 0.1μF ： （1）设电容器两端电压为v (t) c ，求系统转移函数 ( ) ( ) ( ) ω ω ω V j V j H j i c = ； （2）求v (t) c 的直流分量、基波和五次谐波的幅度。 v (t) c v (t) i R C (a) "" 0 t v (t) i 2 T −T T 2 T − (b) 图 P3.16 3.22 图 P3.17 所示的周期性矩形脉冲信号，其频率 f = 10kHz ，加到一谐振频率为 kHz LC f 30 2 1 0 = = π 的并联谐振电路，以取得三倍频信号输出。并联谐振电路的转移函
数为H(j)=—,如要求输出中其他分量的幅度小于三次谐波分量幅度的 1+ %,求并联谐振电路的品质因素Q i() i(0 Lr(1) (b) 图P3.17 323已知系统函数为H(0)=-,10,系统的初始状态为y(0)=2,y(O)=1 -a2+j3o+2 激励e(t)=eE(1)。求全响应r(t) 324假设某系统的转移函数为H(/0)=-1+3,输入信号为c(=e-5(),求 零状态响应r(1)。 325为了通信保密,可将语音信号在传输前进行倒频,接收端收到倒频信号后,再设法恢复 原频谱。如输入带限信号e(D)的频谱如图P3.18(a)所示,其最高角频率为ωn。图P3.l8(b) 是一倒频系统。已知ωb>m,图中HP是理想高通滤波器,其截至频率为ωb,即 H1(o)=(k1l>O,图中LP为理想低通滤波器,截至角频率为on 01o b2(o)={K 试画出x()与r()的频谱图 <o Ego e(t) HG@ H2() r(t HP 0 cos(@, t) cos(on+Om)t]
数为 1 ( ) 1 ( ) 0 0 ω ω ω ω ω + − = jQ H j ，如要求输出中其他分量的幅度小于三次谐波分量幅度的 1％，求并联谐振电路的品质因素 Q。 i(t) C L τ (t) (a) 0 f 1 f 1 − A t i(t) (b) 图 P3.17 3.23 已知系统函数为 3 2 ( ) 2 − + + = ω ω ω ω j j H j ，系统的初始状态为 y(0) = 2 ， (0) 1 ' y = ， 激励e(t) e (t) t ε − = 。求全响应 r(t)。 3.24 假设某系统的转移函数为 3 2 3 ( ) 2 − + + + = ω ω ω ω j j H j ，输入信号为 ( ) ( ) 4 e t e t t ε − = ，求 零状态响应 r(t)。 3.25 为了通信保密，可将语音信号在传输前进行倒频，接收端收到倒频信号后，再设法恢复 原频谱。如输入带限信号e(t) 的频谱如图 P3.18(a)所示，其最高角频率为ω m 。图 P3.18(b) 是一倒频系统。已知ωb > ω m ，图中 HP 是理想高通滤波器，其截至频率为ωb ，即 ⎩ ⎨ ⎧ = 0 ( ) 1 1 K H jω b b ω ω ω ω ，图中 LP 为理想低通滤波器，截至角频率为ω m ，即 ⎩ ⎨ ⎧ = 0 ( ) 1 2 K H jω m m ω ω ω ω ，试画出 x(t) 与 r(t)的频谱图。 −ω m 0 ω m ω E( jω) 1 (a) HP LP e(t) r(t) ( ) H1 jω ( ) H2 jω x(t) cos( t) ωb cos[( )t] ωb +ω m (b)
图P3.18 326某系统幅频特性|H(o)和相频特性o(a)如图P319所示。试求其冲激响应h() q() 0 图P3.19 327一个理想带通滤波器的幅频特性和相频特性如图P3.20所示。试求它的冲激响应 -(o+O)t (a-a)0 -(cb+2)-(b-02)0c-00c+e 图P3 328有一调幅信号为a(1)=A[1+0.3cos(01)+0.lcos(o2l)]sin(2D)其中 O1=2n×5×10rad/s,02=2x×3×10°rad/s,2=2x×45×10°rad/s A=100。试求 (1)部分调幅系数 (2)调幅信号包含的频率分量,绘出调制信号与调幅信号的频谱图,并求此调幅信号的频 带宽度; (3)此调幅信号加到lkΩ电阻上产生的平均功率与峰值功率,载波功率与变频功率。 329试分析信号通过图P3.21所示的斜格型网络有无幅度失真与相位失真, L l1() C C Wo(OR= L 图P3.21
图 P3.18 3.26 某系统幅频特性 H( jω) 和相频特性ϕ(ω) 如图 P3.19 所示。试求其冲激响应 h(t) 。 1 −ω0 0 ω0 ω H( jω) ϕ(ω) 2 π 2 π − −ω0 0 ω0 ω 图 P3.19 3.27 一个理想带通滤波器的幅频特性和相频特性如图 P3.20 所示。试求它的冲激响应 0 H( jω) ω0 −ωc ω0 ω0 +ωc ω 1 ( ) − ω0 +ωc ( ) − ω0 −ωc −ω0 ϕ(ω) 0 ω ω −ω0 0 0 0 − (ω −ω )t 0 0 − (ω +ω )t 图 P3.20 3.28 有一调幅信号为 ( ) [1 0.3cos( ) 0.1cos( )]sin( ) 1 2 a t A t t t = + ω + ω ωc 其 中 2 5 10 rad /s 3 ω1 = π × × ， 2 3 10 rad /s 3 ω2 = π × × ， rad s c 2 45 10 / 6 ω = π × × ， A = 100V 。试求： （1）部分调幅系数； （2）调幅信号包含的频率分量，绘出调制信号与调幅信号的频谱图，并求此调幅信号的频 带宽度； （3）此调幅信号加到1kΩ 电阻上产生的平均功率与峰值功率，载波功率与变频功率。 3.29 试分析信号通过图 P3.21 所示的斜格型网络有无幅度失真与相位失真。 ( ) 1 u t C C L L C L uO (t) R = 图 P3.21