《量子力学》第三章 量子力学中的力学量（3.2）动量算符和角动量算符动量算符

§3.2动量算符和角动量算符 、动量算符 1、动量算符的本征值方程 -ivY(r)=py(r) p是动量算符的本征值, 函数 必是属于此本征值的本征 V,(F)=PV2() 分量式: 边ihv2(F)=P,D(F) 大功W2()PW()家

一、动量算符 １、动量算符的本征值方程 是动量算符的本征值， 是属于此本征值的本征 函数。 分量式： §3.2 动量算符和角动量算符 p ( ) ( ) (1) p p −  = i r p r   ( ) p  r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x p p y p p z p i r p r x i r p r y i r p r z        − =   − =   − = 

它们的解是vn()=Cexp(p·f) 本征值(p,pD,p)→>p可取所有实数,构成连续谱 2、动量本征函数的归一化 Vn(r)=Cexp(p·F)求归一化常数C? 计算积分:」vGw()dr +0+0+0 ∫∫∫ oo ay exp (px-Px)x+(py-Py)y+(p:-pi)zdrdydz h 广=(2-2x=27加8(2)其中(P-P 是以-P为宗量的6函数

它们的解是 本征值 可取所有实数，构成连续谱。 ２、动量本征函数的归一化 ( ) exp( ) p i  r C p r =  (2) ( , , ) x y z p p p p → ( ) exp( ) p i  r C p r =  求归一化常数 C ？ 2 ( ) ( ) exp ( ) ( ) ( ) p p x x y y z z r r d i C p p x p p y p p z dxdydz      + + + − − − = − + − + −          exp ( ) 2 ( ), ( ) x x x x x x x x i p p x dx p p p p p p         − = − −        −   ＋ － 其中 是以 为宗量的 函数。 计算积分：

(ry(rdt =(2mh)CS(P3-P3)6(P,-P,)6(P2-P2) C(2Thd(p-p) 如果取C2 则动量本征函数归一化到d函 数。 (2nh) 即Jv((rx=(p-p) 其中V2() exp(p·F) 2丌h) h 为什么W2()不能归一化为1,而是归一化为O函数: 这是由于动量本征值可以取连续值,P的各分量可取任 意实数,动量本征值构成连续谱

如果取 ，则动量本征函数归一化到 函 数。 3 2 2 3 ( ) ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( ) p p x x y y z z r r d C p p p p p p C p p             = − − −    = −    2 3 1 (2 ) C  =  即 3 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) exp( ) (2 ) p p p r r d p p i r p r         = −  =   (3) 其中 (4) 为什么 不能归一化为1，而是归一化为 函数： 这是由于动量本征值可以取连续值， 的各分量可取任 意实数，动量本征值构成连续谱。 ( ) p  r  p

3、动量木征值的分立化箱归一化 设想将粒子限制在一个边长为L的正方形箱中,取 箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件:要求波函数 在两各相对的箱壁上的对应点有同值,即 y(-,y,)=(,yz) 2 Cexp=(pL+p,y+ps3 -cd L(,+Pyy+ p:z)(5) 九2 或exp(p,L)=1 P、L∠2n1n,n1=0,±1,±2,±3…(6) 这样P只能取分立值: 2 Px =nx n12=0,±1,±2…(7)

３、动量本征值的分立化：箱归一化 设想将粒子限制在一个边长为L的正方形箱中，取 箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件：要求波函数 在两各相对的箱壁上的对应点有同值，即 ( , , ) ( , , ) 2 2 1 1 exp ( ) exp ( ) 2 2 exp ( ) 1 2 , 0, 1, 2, 3 x y z x y z x x x x L L y z y z i i C p L p y p z C p L p y p z i p L p L n n    − = − + + = + + = = =    (5) 或 (6) 这样 只能取分立值： 2 0, 1, 2, (7) x x x p n n L  = =   px

同理,根据周期性条件V(4,、 ,一,z)=(x,,z)和 V(x,y,-)=V(x,y,2)可得到 2 n.=0.±1±2 2 n.=0.±1±2 L 2h 2 2 相邻两个分立值的差:△D △P L 当L→∞时,△p1→>,△p,→>如,△p→l,分立 值一>连续谱

同理，根据周期性条件 和 ( , , ) ( , , ) 可得到 2 2 L L   x y x y − = ( , , ) ( , , ) 2 2 L L   x z x z − = 2 0, 1, 2, 2 0, 1, 2, (9) y y y z z z p n n L p n n L   = =   = =   , (8) , 相邻两个分立值的差： 当 时， 分立 值 连续谱。 2 2 2 , , x y z p p p L L L    = = = , , , x x y y z z L →  p dp p dp p dp → → →

引入周期性边界条件后,动量本征函数可以归一化 为1,归一化常数C 即 expp (10 九 证:V(y(=上小 这种将粒子限制在三维箱中,再加上周期性边界条件 归一化方法,称为箱归一化 4、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数, 它是动量算符的本征态。 (2)c和B

引入周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化 为１，归一化常数 ，即 证： 这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件 归一化方法，称为箱归一化。 ４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数， 它是动量算符的本征态。 3 2 1 exp (10) p i p r L  =  3 2 1 C L = 2 2 2 2 2 2 3 1 ( ) ( ) 1 L L L p p L L L r r d dx dy dz L      − − − = =     3 2 ( ) (11) 1 ( , ) (2 ) i p r Et  r t e   − =

测量粒子的动量p,有确定值p,即动量算符的本征值 二、角动量算符 1、定义:角动量算符L=r×p (12) 分量式为 九,O0 y2- y L,=-x2=(-x 九. L=xp, -,=(x-y=-ih(x-y

测量粒子的动量 ，有确定值 ，即动量算符的本征值。 二、角动量算符 １、定义：角动量算符 分量式为 (12) Lrp =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) x z y y x z z y x L yp zp y z i y z i z y z y L zp xp z x i z x i x z x z L xp yp x y i x y i y x y x     = − = − = − −         = − = − = − −         = − = − = − −     (13) p p

2、角动量平方算符定义: L2=L2+L2+ aa h(y +(x (14) ax az 利用直角坐标和球坐标变量之间的关系(x,y,z)→(r,O,) x=rsin 0 cos 2 r=x +y +z y=rsin esin cos 0=z/r (15) z=rose tanp=y/x L, = ih(sin +ctg cos 可得 06 L,=-ih(cos --ctg0sin )(16) 06 ex 00

２、角动量平方算符定义： 利用直角坐标和球坐标变量之间的关系 可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) (14) L L L L L x y z y z z x x y z y x z y x = = + +         = − − + − + −           ( , , ) ( , , ) x y z r →   2 2 2 2 (15) sin cos sin sin cos / cos / x r r x y z y r z r z r tan y x        = = + + = = = = ˆ (sin cos ) ˆ (cos sin ) (16) ˆ x y z L i ctg L i ctg L i              = +     = − −    = −  x y z  

和(2=-h (17) Sin 0)+ (18) sing ae a0 sin a 3、角动量z分量算符L:L=-i(16 q L2=-h 4、角动量平方算符的本征值方程: (Sin6-)+ 2Y(,9)=MY(O,q)(18) sin 000 a0 sin 0 ao 或 (b)+10(0,0)=-Y(O,)(19) sin e ae a0 sin 0 a

和 ３、角动量 分量算符 ： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ 1 1 ˆ (sin ) sin sin Lz L         = −       = − +        (17) (18) 2 2 2 2 ˆ ˆ z z L i L    = −    = −  ˆ (16) L z z 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (sin ) ( , ) ( , ) (18) sin sin 1 1 (sin ) ( , ) ( , ) (19) sin sin Y Y Y Y                            − + =             + = −        或 ４、角动量平方算符的本征值方程：

其中,Y(,9)是算符属于本征值h2的本征函数 5、角动量平方本征值方程的解 方程(19)是缔合勒让德方程,波函数标准条件要 求Y(θ,o)在B,g变化的范围都能取有限值 :(0,) q:(0,2兀) 必须取限制条件确定本征值λ,才可以使无穷级 数中断成为多项式:4=1(1+1)l=0,1,2 (20) 这时,方程(19)的解是球谐函数Ym(O2,): Yn(,9)=NmP(cose2m0m=0,±1±2,…土l(2l) p(cos)是缔合勒让德多项式,Nm是归一化常数

其中， Y ( , )   是 算符属于本征值 的本征函数。 2 L ˆ 2  ５、角动量平方本征值方程的解 方程(19)是缔合勒让德方程，波函数标准条件要 求 在 变化的范围都能取有限值。 必须取限制条件确定本征值 ，才可以使无穷级 数中断成为多项式： 这时，方程(19)的解是球谐函数 ： 是缔合勒让德多项式， 是归一化常数。 Y ( , )     ， : (0, ) : (0, 2 )       = + = l l l ( 1) 0,1, 2, (20) ( , ) Ylm   ( , ) (cos ) 0, 1, 2, (21) m im Y N P e m l lm lm l     = =    (cos ) m Pl  Nlm