《量子力学》第三章 量子力学中的力学量（3.4）氢原子

§3.4氢原子 体问题转化为单体问题 电子+核,分别绕公共质心运动,根据普物力 学和理论力学;可以化为:公共质心的平动, 加上电子绕核的转动,只需将上节中r理解为 相对坐标=n7,电子质量转换为折个 质量: PP2量子为学照此办理产无 11+l2 特殊区别,无需赘言

§3.4 氢原子 一、二体问题转化为单体问题 电子+核，分别绕公共质心运动，根据普物力 学和理论力学；可以化为：公共质心的平动， 加上电子绕核的转动，只需将上节中 理解为 相对坐标 ，电子质量 转换为折合 质量： ，量子力学照此办理，无 特殊区别，无需赘言. r r  r1  r 2    e 1 2 1 2       

所以 (a2++2+(x,y,z)v=BV(1) (888 2M aX2 aY2 aZ2 y+(x)=(E2-E(2) 即:质心以能量E-E做自由粒子运动,而电 子 U(x v 以折合质量在势场(库仑场 )中 动,而(1)是在上节中已经解出

所以   （1） 2 2 2 2 2 2 2 , , 2 u x y z E x y z                         2 2 2 2 2 2 2 , , ( ) 2 u x y z E E M X Y Z                      总 （2） 即：质心以能量 做自由粒子运动，而电 子 以折合质量在势场（库仑场 ）中运 动，而（1）是在上节中已经解出。 E总  E U  x, y,z

氢原子能级,巴尔末公式 1、上节求得电子在库仑场中运动 的能级公式,24 21 22 令Z2=1.(类氢原子则Z>1),表示折合质量, E n=1.2 22n 9

二、氢原子能级，巴尔末公式 1、上节求得电子在库仑场中运动 的能级公式 2 4 2 2 2 s n Z e E n     n  1, 2 , 3 ,  令 2 Z  1, （类氢原子则Z>1),  表示折合质量， 则 4 2 2 2 s n e E n     n  1, 2, 3, 

所以氢原子能级 不均匀分不n个,En个,EnN,E1 2.n=1 基态能E1= sS=-13.6ev (5) 2九2 用约化质量E1=-13.597eV相差不大, 因为 3.n→)∞,E 0,这时电子不在束缚 质子周围,完全脱离电子核,称为电离,不再 是束缚态

所以 2. 基态能 （5） 用约化质量 相差不大， 因为 2 1 , ,| | , , n n n n E E E n      氢原子能级 不均匀分不 n  1 4 1 2 13.6 2 s e E ev       1 E  13.597ev  e   p 3. 这时电子不在束缚 质子周围，完全脱离电子核，称为电离，不再 是束缚态。 , 0 , n n   E 

原子核电离能:E。-E1=13.60ev 4.巴尔末公式 22(n2 21 E-EE-E h 2h 4rh'(n n v= Rc 、、c4 (6) 其中里德伯常数R=4c=10973731米 4兀h3c

原子核电离能： 4.巴尔末公式 1 E E 1 3 .6 0 e v    4 ' 2 '2 2 ' ' 4 3 '2 2 '2 2 1 1 2 1 1 2 4 1 1 s n n n n n n s e h E E n n E E E E e h n n Rc n n                                         其中里德伯常数 4 3 10973731 4 s e R c      米-1 （6）

若用折合质量() 则为R=10973731米(6)式即为(广义)巴尔末公式 三、电子的几率分布 1.当H原子处于Wmn(6,)态时,电子在原子 内任一点(r,0,)附近体积元dr=r2 sin edred 内的几率 aim(, 0, )/ sin drdedp=lvntm(/, 0, )2 sin drdedg (7) 2径向几率分布:在距质心r~r+cb的 球壳内找到电子的几率:

若用折合质量 三、电子的几率分布 则为 . (6)式即为(广义)巴尔末公式   R  10973731米-1 1.当H原子处于 态时，电子在原子 内任一点 附近体积元 内的几率：  nlm r,,  r,,  2 d  r sindrdd     2 2 , , sin , , sin nlm nlm  r   r drdd  r   r drdd 2.径向几率分布：在距质心 的 球壳内找到电子的几率： r  r  dr （7）

(,9积分) 对 丌c2丌 dh 0 R(r)Ym (0, )r2 sin @drded o 2 Rnl(r)r ar n()=r2R() (8) 第二等式是由于m(029)归一化,且Rn(r)为实函 数 上节以述,n()2=厂R(7)的节点个数为 12 (9) 其中n,=0.(1=n-1)的态(10 无节点称为“圆轨道”2p,3d “轨道

对 （8） ,积分       2 2 2 0 0 , sin nl nl lm r dr R r Y r drd d              2 2 Rnl  r r dr     2 2 nl nl  r  r R r 第二等式是由于 归一化,且 为实函 数。 Ylm , Rnl r 上节以述， 的节点个数为 （9） 其中 的态 （10） 无节点称为“圆轨道”即 “轨道”     1 2 nl nl  r  r R r 1 r n  n  l  nr  0,l  n 1 1s,2 p,3d

一可证明,O(7)的极大值所在半径与单期量子理论相间 (10) 其中a为第一玻尔半径,an=0.529A(11) 可以证明,氢原子处于基态时,电子在距核7=40 处出现的几率最大。 p75为On()图线 3角向几率分布 将波函数模的平方Wm(r0,)中r从0→>∞ 积分,就是得出在(,0)方向的立体角d内电子出 现的几率:

可证明，n,n1 (r)的极大值所在半径与早期量子理论相同 2 n 0 r  n a （10） 其中 为第一玻尔半径， （11） 可以证明，氢原子处于基态时，电子在距核 处出现的几率最大。 p75为 图线 3.角向几率分布 将波函数模的平方 中 从 积分，就是得出在 方向的立体角 内电子出 现的几率： 0 a 0 a 0.529    0 r  a nl r   2 , , nlm  r   r 0   ,  d

Om(e,)d 2=oR(r)rdrYm(e, p) d s =|Ym(0,9)d92 Ym(e, )sin eded p =NIm P m(cos 0 )d Q2 (O,9)=1|m(0,o) Om(29):(,9)方向单位6,9范围内的几率 P76:0m 1=0.m=0: 00 4n球对称

称 方向单位 范围内的几率                 2 2 2 0 2 2 2 2 2 , , = , = , sin = cos , , lm nl lm lm lm m lm l lm lm d R r r dr Y d Y d Y d d N P d Y                            lm ,  :, , P76：   00 球对 1 0, 0 : 4 lm   l m     

1=1,m=±1,0=方向极大,O=0方向为0,与无关 7=1,m=0,6=方向极小,方向极大,与无关 2 6=0 四、电流分布与磁矩 1.定态nm:由24节有电流密度公式J=qJ(注意 q=-6 e P-Vnlmv y nlmylV (13) 其中在球坐标下 e (14) rd6 ring do 天收=8((其中()e均为实数

方向极大，   0 1, 1, 2 1, 0, 2 l m l m              0 方向为0,与  无关 方向极小， 方向极大,与 无关  四、电流分布与磁矩 1.定态 ： 由2.4节有电流密度公式 （注意 ） （13） 其中在球坐标下: （14） 由于 ，其中 ， 均为实数 nlm e J  qJ q  e   * * * 2 e nlm nlm nlm nlm i J e              1 1 sin r e e e r r r                    nlm  Rnl rYlm , Rnl r   m Pl 