《量子力学》第三章 量子力学中的力学量（3.1）表示力学量的算符

第三章。量子力学中的力学量 经典粒子可用坐标和动量来描写状态,任何 状态下,力学量都有确定值。 微观粒子:坐标和动量不能同时有确定值所 以状态用波函数表示,力学量用算符表示

第三章 量子力学中的力学量 经典粒子：可用坐标和动量来描写状态，任何 状态下，力学量都有确定值。 微观粒子：坐标和动量不能同时有确定值，所 以状态用波函数表示，力学量用算符表示

§3.1表示力学量的算符 算符 1、算符是指作用在一函数上得出另一函数的运算符号 Fv=1,F称为算符(1) 如x=v,表示x与u相乘得函数v。又如 dx 则F d ⅴ2u=ν,算符F=V2,等等 dx 设波函数v经算符F作用后变为v2,则粒子状态 由态变为v态

§3.1 表示力学量的算符 一、算符 １、算符是指作用在一函数上得出另一函数的运算符号。 Fu v ˆ = ，F ˆ称为算符 (1) ˆ ˆ , ˆ du xu v x u v v dx d F u v F dx   F   = = =  = =  2 2 １ ２ １ ２ 如 ，表示 与 相乘得函数 。又如 ， 则 ， 算符 ，等等。 设波函数 经算符 作用后变为 ，则粒子状态 由 态变为 态

2、算符的本征值方程 如果一个算符F作用于一个函数v,结果等于v乘 上一个常数, Fv=元 (2) 则称为F的本征值,v为属于的本征函数。上式(2)称 为算符F的本征值方程。 如定态薛定谔方程H=Ev,是哈密顿算符H的本征 值方程,E为本征值 举例:无限深势阱,一维线形谐振子

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F F F F H E H E          = = 如果一个算符 作用于一个函数 ，结果等于 乘 上一个常数， （2） 则称 为 的本征值， 为属于 的本征函数。上式(2)称 为算符 的本征值方程。 如定态薛定谔方程 ，是哈密顿算符 的本征 值方程， 为本征值。 举例：无限深势阱，一维线形谐振子。 ２、算符的本征值方程

3、算符的例子 动量算符:p=-iV 分量式:P2=-ih ax 02 动量算符p表示动量这个力学量 坐标算符:r=F 哈密顿算符:H=-2Hp+U(),将p→=-V V2+U(7) 经典的哈密顿函数:H=7+V 2=-h2v2代入中 方2 H V2+U/(F)

３、算符的例子 动量算符： 分量式： 动量算符 表示动量这个力学量。 坐标算符： 哈密顿算符： 经典的哈密顿函数： ，将 代入 中： p i ˆ = −  (3) ˆ ˆ , ˆ x y z p i p i p i x y z    = − = − = −    , ˆ r r = (4) 2 2 ˆ ( ) (5) 2 H U r  = −  + ˆ p 2 ( ) 2 p H T V U r  = + = + p p i → = −  ˆ 2 2 2 ˆ p = −  H ˆ 2 2 ˆ ( ) 2 H U r  = −  +

量子力学中力学量用算符表示的规则: 如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相 应的力学量的算符F由经典表示式F(GF,p)中将p换为 算符p而得出: F=F(r,P=F(r,-inV 例如,角动量算符 L=F×p x y 量子力学中的角动量算符: Ox av az L=F×p=-ih×V(7)

量子力学中力学量用算符表示的规则： 如果量子力学中的力学量 在经典力学中有相 应的力学量的算符 由经典表示式 中将 换为 算符 而得出： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F F r p F r i = = −  ( , ) ( , ) (6) F ˆ F ˆ F r p ( , ) p ˆ p 例如，角动量算符： L r p =  ˆ L r p i r =  = −  ˆ ˆ (7) ˆ i j k L i x y z x y z       = −               量子力学中的角动量算符：

力学量用厄米算符表示( Hermit operator) 1、当体系处于定态,即哈密顿算符的本征态V 时,能量有确定值E,E即本征值。当体系处于 动量算符的本征态vn时,动量有确定值,这个值 即方在vn态中的本征值 2、算符F表示力学量F,当体系处于F的本征态 ψ时,力学量有确定值,这个值即F在态中的 本征值 因为所有力学量的数值都是实数,而表示力学 量的算符的本征值就是测量此力学量的可能值, 所以,表示力学量算符的本征值必须为实数 什么类型的算符,本征值为实数?

二、力学量用厄米算符表示(Hermit operator) １、当体系处于定态，即哈密顿算符 的本征态 时，能量有确定值 ， 即本征值。当体系处于 动量算符的本征态 时，动量有确定值，这个值 即 在 态中的本征值。 ２、算符 表示力学量 ，当体系处于 的本征态 时，力学量有确定值，这个值即 在 态中的 本征值。 因为所有力学量的数值都是实数，而表示力学 量的算符的本征值就是测量此力学量的可能值， 所以，表示力学量算符的本征值必须为实数。 什么类型的算符，本征值为实数？ H ˆ  E E  p ˆ p  p F ˆ F F ˆ  F ˆ 

3、厄米算符 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。 定义:若 y Fox=|(Fv)adr (8) 则F称为厄米算符。式中x代表所有变量,积分范围 为所有变量变化的整个区域 4、证明厄米算符的本征值是实数 证:Fv=2v, tx=(Fv)dx,v和为任意函数 取=v,则vax=xwax 元=2*,为实数

３、厄米算符 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。 定义：若 则 称为厄米算符。式中 代表所有变量，积分范围 为所有变量变化的整个区域。 ４、证明厄米算符的本征值是实数。 证： ˆ ˆ     F dx F dx ( )   =   (8) F ˆ x ˆ , ˆ ˆ ( ) , , F F dx F dx dx dx                          = = = =  =     和 为任意函数， 取 ，则 为实数

验证:坐标算符和动量算符是厄米算符。 坐标值x为实数,:∫vx女=∫(x) 对动量算符的一个分量P2,有 Up.=-ihyx分部积分 OX ar ddr =「(p,y)a, i

验证：坐标算符和动量算符是厄米算符。 坐标值 为实数，     x dx x dx ( )  +    −  =   ＋ － x 对动量算符的一个分量 ，有 ˆ | ( ) , ˆ ˆ x x x p dx i dx x i i dx x p dx p i x           + +   − − +   + − − +   −  = −   = − +   = =      ˆ x p 分部积分