《量子力学》第三章 量子力学中的力学量（3.7）算符的对易关系

337算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件测 不准关系 算符的对易关系 1对于任一波函数v,有 h ay pry 注意:算符的意义是对波函数(状态)进行运算操作, 算符之间的关系是先后对同一波函数操作的结果之间的

§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测 不准关系 一、算符的对易关系 1.对于任一波函数 ，有 注意：算符的意义是对波函数（状态）进行运算操作， 算符之间的关系是先后对同一波函数操作的结果之间的  (1) x x p x i x    =  px x x ( ) (2) i x i i       = = +  

关系。显然(1)(2)两种操作之间结果不同: xp, xy=ihy 其中V为任意波函数∴x4-p2x=i(4) 记为 P=ih A-B=AB-BA (5) (5)式称为算符x和P的对易关系( comutation relation),等式不为零,我们说,x与p2不对易。 同理 y,p (6)

关系。显然（1）（2）两种操作之间结果不同： 其中 为任意波函数 记为 （5）式称为算符 和 的对易关系(comutation relation),等式不为零，我们说， 与 不对易。 同理 (3) x x x p p x i    − =  (4) x x  − = x p p x i , (5) x     x p i A B AB BA = −  −     x x p x x p , (6) y   y p i =   , (7) z   z p i =  

意(5)(6)、7)左边[表算符乘积交易次序之差(测量 次序不同结果不同) 另外 0 y (8) y,P== 0 (9) 0 (10) 称上面三组算符之间对易 般结论:动量分量算符和它对应的坐标算符不对易。 如[xp]y]EP:≠两和它不对应的坐标之 间对易(如和n,y和,)x,动量各分量算符之 间是对易的

注意(5),(6),(7)左边[ ]表算符乘积交易次序之差（测量 次序不同结果不同） 另外: 称上面三组算符之间对易 一般结论：动量分量算符和它对应的坐标算符不对易。 如 ；而和它不对应的坐标之 间对易（如 和 ， 和 ），动量各分量算符之 间是对易的。 , 0 (8) y   x p =   , 0 (9) z   y p =   , 0 (10) x y   p p =   , , , , , 0 x y z       x p y p z p        x p y y p x

付(6可合并记为[x,p/]=hb0=123,(1) (9)(10)可合并记为[p,p]=0 (11)式为量子力学基本对易式 2.其它力学量之间的对易关系 1)量子力学中算符的一般性质: (a)线性算符:满足 A Au , +C au 描写客观测量的都是线性算符,这是态迭加原理的反 映。 单位算符Ⅰ:满足v=v(13)

(5),(6),(7)可合并记为 (8),(9),(10)可合并记为 (11)式为量子力学基本对易式 2.其它力学量之间的对易关系 1）量子力学中算符的一般性质： （a）线性算符：满足 描写客观测量的都是线性算符，这是态迭加原理的反 映。 单位算符 ：满足 x p i , =1,2,3, (11)      =     p p, 0     =   A C C C A C A ( 1 1 2 2 1 1 2 2     + = + ) (12) I I = (13)

(b)算符之和,满足 (A+Bv=+B(15) 如哈密顿算符H=T+U,而7=_如22=PF 2u our A+b=b+a A+(B+C)=(A+B)+C (16) (c)算符之积, a By=A By (17) 算符AB对v的运算结果,等于B先对v运算,然后再 用A对B运算。一般说来算符之积不满足交换率

(b)算符之和，满足 如哈密顿算符 ，而 , ， ， (c)算符之积， 算符 对 的运算结果，等于 先对 运算，然后再 用 对 运算。一般说来算符之积不满足交换率： ( A B A B + = + )   (15) H T U = + 2 2 2 2 2 2 2 r p l T   r = −  = + 1 r p i r r    = − +      A B B A + = + A B C A B C + + = + + ( ) ( ) (16) ( AB A B )  = ( ) (17) AB  B  A B

AB≠BA (18) 典例子:[xP]=x2.-n,x= d)对易式的代数恒等式: A B B. a AB+C=A.B+Ac ABC=BA.C+ABC ACB=ABC+AC B A, B,C+B, A, C+C, A,B=0

AB BA  (18) 典型例子： (d)对易式的代数恒等式： , x x x   x p x p p x i =−=   , , , , , , , , (19) , , , , , , , , , 0 A B B A A B C A B A C A BC B A C A B C AC B A B C A C B A B C B A C C A B     = −             + = +                = +              = +                    + + =            

2)角动量算符之间的对易关系 力学量都是坐标和动量的函数,由基本对易关系 xa,P=ihm和恒等式(19)之一,可以导出其它力学 量之间的对易关系。 角动量算符定义:1=Fxp (20 分量式:「 x=0, 九z X=-ih y y (22) inx 0 (2)式合并写为1,x B (23)

2）角动量算符之间的对易关系 力学量都是坐标和动量的函数，由基本对易关系 和恒等式(19)之一，可以导出其它力学 量之间的对易关系。 角动量算符定义： 分量式： (22)式合并写为 x p i ,      =    l r p =  (20) , 0, , , , , , , 0, , (22) , , , , , 0 x x x y y y z z z l x l y i z l z i y l x i z l y l z i x l x i y l y i x l z       = = = −               = − = =              = = − =       l x i x , (23)       =   

我中EaD为evCa符号,定义为 By Bay ayB 24) 123 a,B,y=1,2,3或x,y,z 对换任意两个指标a,B2y,EaB变号,有两个指标相 同则为0,如E12=E121=0 同理, C (25) 所以, (26) (26)式即为角动量各分量间对易关系合写式,分开写 为:

式中 为levi-Civifa符号，定义为 对换任意两个指标 变号，有两个指标相 同则为0，如 同理， 所以， (26)式即为角动量各分量间对易关系合写式，分开写 为：   123 (24) 1 , , 1,2,3            = − = −  =  = 或x,y,z , , ,      112 121   = = 0 , (25) r l p i p      =    , (26) r l l i l      =   

0 (27) y 将上式非0式合写,成为 l×l=il (28) 另外,定义:角动量平方算符 +l.-+ (29) 0 C =x,y,2 (30 而2和 的球坐标表达式以在32节中讲过 x3·y°2 3)算符一般性质补充

, 0, , 0, , 0 (27) , , , , , x x y y z z x z z y z x z x y l l l l l l l l i l l l i l l l i l   = = =                   = = =       将上式非0式合写，成为: 另外，定义：角动量平方算符 则 而 和 的球坐标表达式以在3.2节中讲过。 3）算符一般性质补充 ˆ ˆ ˆ l l i l  = (28) 2 2 2 2 (29) x y z l l l l = + + 2 l l x y z , 0, , , (30)     = =     2 l , , x y z l l l

(a)逆运算 设y=如(31)能够唯一解出,则定义算符A 的逆A为:Ap=v(32) 不是所有算符存在逆算符,如矢量分解,投影算符。 AA=AA=l2∴A,x 0 (33) 又(AB)=BA (b)算符的函数 设给定一函数F(x)存在各阶导数,幂级数张开收敛: F(x)=∑ (34

(a) 逆运算 设 能够唯一解出 ，则定义算符 的逆 为： 不是所有算符存在逆算符，如矢量分解，投影算符。 又 (b) 算符的函数 设给定一函数 存在各阶导数，幂级数张开收敛： A  = (31) A 1 A − 1 A   (32) − = 1 1 1 AA A A I A A , , 0 (33) − − −   = =  =     ( ) 1 1 1 AB B A − − − = F x( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 (34) ! n n n F F x x n  − = 