《量子力学》第三章 量子力学中的力学量（3.5）厄密算符本征函数的正交性

§3.5厄密算符本征函数的正交性 属于动量算符不同本征值得两 个本征函数v和vp互相正交: dt=s p-p P≠ dT=o (2) 引入函数的标积: yiyan (3) 则(1),(2)两式可以简化记为

§3.5 厄密算符本征函数的正交性 一、属于动量算符不同本征值得两 个本征函数  p  和  p 互相正交： ( ) (1) p p     d p p   = −   , 0 (2) p p d    p p      =  引入函数的标积： 则(1),(2)两式可以简化记为： (     1, 2 1 2 ) d (3)  =  (   p p  , (1) ) = − ( p p )

当p≠p(vw)=0 动量算符是厄密算符,量子力学中表示力学量 的算符都是厄密算符,它们的本征值是实数。以上正 交性(vv)=0仅是厄密算符本征函数正交性的 个特例 定理:属于厄密算符不同本征值的两个本 征函数互相正交 证 F=9(1) F=4(2) k关,则关()=4(

当 动量算符是厄密算符，量子力学中表示力学量 的算符都是厄密算符，它们的本征值是实数。以上正 交性 仅是厄密算符本征函数正交性的一 个特例 : , 0 ( ( ) 2) p p p p     = ( p p  , 0 ) = 二、定理：属于厄密算符不同本征值的两个本 征函数互相正交。 证： (1) (2) F F k k k l l l       = = , (1) k l F      l k k k k ( )    当   = 则 

又一=厄密的本征值为实数 (1)式右乘,积分: ∫()9dr==jp(3) 简记:(F,)=2(,) (2)式左乘 ∫4厂d=列dr (4) 简记:(,F的)=1(3,) 根据厄密算符的定义 ∫Fdz=∫(F以)的=4dr (5) 简记:(,F()=(F,)

又 （厄密的本征值为实数） （1）式右乘 ，积分： 简记： （2）式左乘 ： 简记： 根据厄密算符的定义 简记：  k k  = ( ) (3) F d d d k l k k l k k l                = =    l (F     k l k k l , , ) = ( ) k  (4)        k l l k l F d d   =   (     k l l k l , , F ) = ( ) ( ) (5)           k l k l k k l F d F d d    = =    (    k l k l , , F F ) = ( )

联立(4)、(5)聊: dgdr=入k ∫ kOdt (3)=(4)=(5) 简记:(,)=x(,4) (6)式移项: (41-k)(cd=0 (6) 简写 (-2)(,)=0 而4≠,必有 ∫疾9dz=0(7) 简写 (,9)=0 或表示为: ddt=Su(8)

联立（4）、（5）即： 简记： (6)式移项： 简写： 而 ，必有 简写： 或表示为： , (3)=(4)=(5) l k l k k l         d d   =         l k l k k l ( , , ) = ( ) ( ) 0 (6)      l k k ld  − =  (    l k k l − = )( , 0 )   l k  0 (7)    k ld  =  ( k l , 0 ) = (8)     k l kl d  = 

其中 kronk8符号 k 0k≠0 如果F的本征值不分立,而是构成连续谱。则本 征函数{可以归化为δ函数: ∫9dz=(2-2)(10) 例如动量算符本征函数 ∫ y,,, dt=(p-p) 2正交归一本征函数一例:无限深市阱vn(x) 能量本征函数 n sin (x+a x<a a 2 x≤a

其中kronk 符号 如果 的本征值不分立，而是构成连续谱。则本 征函数 可以归化为 函数： 例如动量算符本征函数 2.正交归一本征函数一例：无限深市阱 能量本征函数  1 k=0 (9) 0 k 0 kl   =    F l   d ( ) (10)           = −   ( ) p p     d p p   = −    n ( x) ( ) ( ) ( ) 1 sin 2 (11) 0 n x n x n x a x a a a x a     = +     =  

是体系属于的能量算符H(x)的本征值En的本征函数, Vn对不同的n值(能级En)正交: 其中: 丌2h2n E hua V x 证 ∫vv,dr=oin(2)(vy)=n 1.n丌.n兀 Sin sin a 2a 2 (x+a)d=0(13)积化和差

是体系属于的能量算符 的本征值 的本征函数， 对不同的 值（能级 )正交： 其中： 证： 积化和差 H x( ) 222 2 1,2,3, 8 n n E n a   = = E n  n n E n ( ) 2 2 2 2 2 2 x a H U x x a    −     =   −  +    (12) n n     d n n   =   ( ) a -a 1 sin sin 0 (13) 2 2 n n x a dx a a a   + =  (   n n n n   , ) =

Ⅶm,m 2兀 是L.的本征值L=m的本征函数{p()} e 2丌 的正交性 正交归一函数的例子(厄密算符本征函数 互相正交) 1)线性谐振子 N e 2 hlax n n (15)

3. 是 的本征值 的本征函数 的正交性 三、正交归一函数的例子（厄密算符本征函数 互相正交） 1）线性谐振子 2 0 1 (14) 2 im im mm e e d       −   =  L z L m z =  ( ) 1 2 im e     = (   m m mm   , ) = ( ) 1 2 2 2 (15) x n n n N e H x    − =

2 exh laxmn'(ax)ax (16) 00 2)一维势阱∞(-a,a) ∫,Wmn(xn(x)=m 2角动量算符L的本征函数,本征值L=m dm () em°(m=0,±1,+2 /2兀 nn()n/(o)= (18) 3角动量平方算符的本征函数,属于本征 值l(Z+1)h2

2.角动量算符 L z 的本征函数，本征值 z l m= ( ) ( ) 1 0, 1, 2, (17) 2 im m e m     = =   ( ) ( ) 2 0 (18) m m mm         =   3.角动量平方算符 的本征函数，属于本征 值 ： 2 L z ( ) 2 l l +1 ( ) ( ) 2 2 (16) x N N e H x H x x n n n n nn      −    −  =  2）一维势阱  − , ( a a) ( ) ( ) a m n mn a    x x − = 

Ym(0, p)=NmP(cos 0)e (19 m (8, p)m(0, sin eded = n 20) (20)缔结 legendre函数正交性: 2TNIm o ml pIm sin dedo=du pIm 而球谐函数 r Yn(e,Q)Ym(e, ) sin dedo (21) 4氢原子波函数,算符: h210(20)12 H 2r2ar、a)2

（20）缔结legendre函数正交性： 而球谐函数： 4.氢原子波函数，算符： ( , cos (19) ) ( ) m im Y N P e lm lm l     = ( ) ( ) 2 0 0 , , sin (20) lm l m ll Y Y d d              =   2 sin m m      N N P P d d lm l m l l ll    =  ( ) ( ) 2 0 0 , , sin (21) lm l m ll mm Y Y d d                 =   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 s s e e l H r   r r r r r r      = −  − = − + −      

Vim (r, 0,p=R(r)Ym(0, p) n不同: 丌2丌 0J0J0 Ynm(, 0, )yn Im(r, 0,o)rsin drdedo=8m,(22) 个量子数均不同 oo o nim(r, 0, Vm(r0. 0) r sin edrd0do=SmrOpromm'(23) 四、简并态函数的正交性 当F的本征值4,是f度简并:4:m1,2,3 般而言{n}不正交,但可用f2个常数将f个函数重新 组合成∫个新函数:

n不同: 三个量子数均不同： 四、简并态函数的正交性 当 的本征值 是 度简并： 一般而言 不正交，但可用 个常数将 个函数重新 组合成 个新函数：      nlm nl lm (r R r Y , , , ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 , , , , sin (22) nlm n lm nn r r r drd d                 =    ( ) ( ) 2 2 mm 0 0 0 , , , , sin (23) nlm n l m nn ll r r r drd d                       =    F n f 1 2 3 : , , ,      n n n n nf ni 2 f f f