§3.6算符与力学量的关系 根据数学物理方法中的证明,如果有一族函数 构成正交归一完全系,则任意函数都可以用{}来展 开为级数(广义傅里叶级数)。如果函数系{}不 构成分立的集合,则可以展开为傅里叶积分。 如果函数系{ sin mx,( cos mx},{emn} 和 n=0.±1 {m(Q、o)}{Hn(ax),{n(x)}…都是正交归一完全系
§3.6 算符与力学量的关系 根据数学物理方法中的证明，如果有一族函数 构成正交归一完全系，则任意函数都可以用 来展 开为级数（广义傅里叶级数）。如果函数系 不 构成分立的集合，则可以展开为傅里叶积分。 如果函数系 和 都是正交归一完全系。 i 0, 1 sin , cos , im m mx mx e = Y H x J x lm n n ( , , , ) ( ) ( )
、波函数按厄密算符的本征函数系展开 1分立谱 如果F是满足一定条件的厄密算符,它的正交归 本征函数系{(x)对应的本征值为{4,2…1…} 则任一函数v(x)可以按{(x) 展开为级数: vn(x)=∑Cn(x)(1 其中Cn与x无关。本征函数的这种性质称未完全性 (完备性),或说{(x)组成完全系 用(x)×Q)积分,可得系数Cn
一、波函数按厄密算符的本征函数系展开 1.分立谱 如果 是满足一定条件的厄密算符，它的正交归一 本征函数系 对应的本征值为 则任一函数 可以按 展开为级数： 其中 与 无关。本征函数的这种性质称未完全性 （完备性），或说 组成完全系。 用 积分，可得系数 ： F n ( x) 1 2 , , n ( x) n ( x) ( ) ( ) (1) n n n n x C x = Cn x n ( x) ( ) (1) m x Cn
jc(y=∑CJ(顺=∑Cm=C 即Cn=∫(xM()Cn一般为复数不含x 设v(x)已归一化,则Cn的模方之和为1 1=v(1/()x=∑CC(x)h=∑CCn m, n m n ∑NCn 展开系数Cn的物理意义:表示在v(x)态中测量力学量 F得到结果为F的本征值n的几率 C为几率幅 般的v(x)不一定为力学量F的本征态,是这些{混合 态如
即 一般为复数不含 设 已归一化，则 的模方之和为1： 展开系数 的物理意义： 表示在 态中测量力学量 得到结果为 的本征值 的几率。 为几率幅。 一般的， 不一定为力学量 的本征态，是这些 的混合 态如 ( ) (3) C x dx n n n = ( ) ( ) m n = =C (2) n n n m n n mn n x dx C x dx C = Cn x ( x) Cn ( ) ( ) ( ) , , 2 1 (4) m n m n m n mn m n m n n n x x dx C C x dx C C C = = = = Cn 2 Cn ( x) F F n Cn ( x) F n
线性谐振子的能量本征态为vn=N,e2Hn(ax)而粒手可能处 于混合态(x)=∑Cnn例如平(x)=ay+bw+cv 且l2+b2+|cF2=1,则粒子处于谐振子基态的几率为a,激态 几率:|b,二激态几率:相应的测量E得:2Mo.2h 例粒子处于Vx=Asin22yx7h px COS 态 2连续谱 1)当力学量的测量值(厄密算符F的本征值)构成部 分分立,部分连续的集合(如P,E都可能,而2,L 不可能)即 (x)=∑Cn(x)+c(x)d为连续变量(5)
线性谐振子的能量本征态为 ，而粒子可能处 于混合态 例如 且 则粒子处于谐振子基态的几率为 ,一激态 几率： , 二激态几率： 相应的测量E得： 。 例粒子处于 态 2.连续谱 1）当力学量的测量值（厄密算符 的本征值）构成部 分分立，部分连续的集合（如 都可能，而 不可能）即 为连续变量 ( ) 1 2 2 2 x n n n N e H x − = ( ) n n = x C ( ) 0 1 2 = + + x a b c 2 2 2 abc + + = 1, 2 a 2 b 2 c 1 3 5 , , 222 F P E, 2 , L L z ( ) ( ) ( ) (5) n n n x C x C x d = + 2 1 sin cos 2 x px px A = +
其中C2=(x)(x)(6)则 ∑ +|C.d=1 这时,(Cd表示测量力学量F结果在A→>+d 之间的几率 2)例氢原子处于基态W10(,O,q)求电子动量的几率分布 解:将H原子基态用动量算符的本征函数v2(r)展开: 其中几数()=c,(nr (8) Cp=Jvpryoo(r dr= g 1 ipr 、1 e h r sin edred
其中 则 这时， 表示测量力学量 结果在 之间的几率 2）例氢原子处于基态 求电子动量的几率分布 解：将 原子基态用动量算符的本征函数 展开： 其中几率幅： 100 (r, , ) H p (r) C x x dx ( ) ( ) (6) = 2 2 1 (7) n n n C C d + = 2 C d F → + d 100 ( ) ( ) (8) p p r C r d = ( ) ( ) ( ) 0 2 100 3 3 0 2 1 1 sin 2 r i p r a C r r d e e r drd d p p a − − • = =
pros 6 e已 r sin drd cos ed o z2(2ah)2 ∫。」 prose e oe h rdrd cos 0 丌(2anh)2 in pros 6 e pr(2aoh )2 (2a0h)2h (9) 电子动量的几率分布密度: 2a (10 p构成连续谱 p+h
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 00 1 2 cos 2 3 0 1 0 2 2 0 1 cos 2 3 0 1 2 0 cos 3 0 2 0 32 0 2 2 2 2 0 1 sin cos 22 = cos 22 = 22 = r i pr a r i pr ar i i pr pr a e e r drd d a e e r drd ai re e e dr p aa a p − − − − − − − − = − + (9) 电子动量的几率分布密度： 构成连续谱 ( ) ( ) 3 2 2 0 4 2 2 2 2 0 2 (10) p a C p a p = +
电子动量数值介手P→P+P之间的几率o(p) 32a3h3D2 dr=a(p)dp=(Cp4p'dp 丌(h+ap 可以证明O(p)4= 力学量的平均值 1在状态W中测量力学量F会得到一系列可能值,{ 各以一定的几率C出现,对应于算符F的本征态(本征 函数){(n},则 测量值(本征值):A22… 本征态:如,2,…n 不不出现几率,C三Javd
电子动量数值介于 之间的几率： 可以证明 二、力学量的平均值 1.在状态 中测量力学量 会得到一系列可能值， 各以一定的几率 出现，对应于算符 的本征态（本征 函数） ，则 测量值（本征值）： 本征态： 出现几率：P P dP → + ( ) p dp ( ) 3 5 2 2 2 0 4 2 2 2 0 32 ( ) 4 (11) p a p dW p dp C p dp a p = = = + ( ) 1 p dp = F n 2 Cn F n 1, 2, n 1 2 , , , n 2 2 2 1 2 , , , C C C C d n n n =
学量F的平均值 2 2+…C| F=∑4cn 2.F=v(x)F(x)d(14)证明: ∫v(x)FV(x)dx=∑CmC」项 ∑CnC以女 ∑ n mn n ∑|=F
力学量 的平均值 即 2. 证明： F 2 2 2 1 1 2 2 (12) C C C + + + n n 2 (13) n n n F C = F x F x dx ( ) ( ) (14) = ( ) ( ) 2 = m n m n mn m n n m n mn m n n mn mn n n x F x dx C C F dx C C dx C C F = = = =
(4)式适用于归一化的v(x) 若v(x)未归一化,则 ∫v(x)Fv(x)dt ∫v(x)v/(x 3例题 线性谐振子的能量本征态n=Ne2Hn(ax), 而粒印(对)能∑c洞合态 例如 且甲()=a+b我校子处唯地丰 为,一激态几率:,二激A率:相应邮测量 E得 ho-=ho.-ha 2 2 间有甲()态中,粮子能量的均值E应为、不
（14）式适用于归一化的 若 未归一化，则 3.例题 线性谐振子的能量本征态为 ， 而粒子可能处于混合态 例如 且 则粒子处于谐振子基态的几率 为 ,一激态几率： , 二激态几率： 相应的测量 E得： 。 问：在 态中，粒子能量的平均值 应为 ( x) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) (15) x F x dx F x x dx = ( ) 1 2 2 2 x n n n N e H x − = ( ) n n = x C ( ) 0 1 2 = + + x a b c 2 2 2 abc + + = 1, 2 a 2 b 2 c 1 3 5 , , 222 ( x) E
E=aF E+b e +c. 3 al a=fvo(x)Y (x)do, b=vi (x)y(x dx, c=vi(x)p(x)dx 般:Cn=∫v(x)甲(x)∑(=1 4如果力学量算符F的本征值部分构成分立谱 部分构成连续谱,则平均值 F=∑C+减 (16)
2 2 2 1 2 3 1 3 5 2 2 2 = 2 2 2 E a E b E c E abc = + + + + 而 一般： 4.如果力学量算符 的本征值部分构成分立谱， 部分构成连续谱，则平均值 a x x dx b x x dx c x x dx 0 1 2 ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ( ) ( ) 2 1 x C x x dx C n n n = = F 2 2 (16) n n n n F C C d = +