《量子力学》第四章 态和力学量的表象

第四章态和力学量的表象 引大:三维空间中的一个矢量A,可在直角坐标系0XY下素示为 (Ax,Ay,Az),其中A(=xy,z)是A在三个坐标轴上的投影 同一夺矢量A也可以在另一个旋转b角(绕z轴的)直角坐 一标系OXY个表示为(A3,Ay,4x2) 可以用矩阵或线性方程组进行变换A矢量也可在球坐标系下 为(A,AA),与(Ax,Ny,Az)之间也可以作坐标变 换。一个矢量可以在不同的坐标系下表示,即有许多等价 的表示方式,可根据解決问题的方便需要来选择 终量子力学的状态和力学量的具体表达方式称为表象( reprentation 通过广义傅利叶变换,可以将(x)坐标表象的状态矢量变换为以 P,E等为变量的状态矢量,即变换到动量表象,能量表象,角动量 表象等

第四章 态和力学量的表象 引入：三维空间中的一个矢量 A  ，可在直角坐标系OXYZ下表示为 （Ax，Ay，Az），其中Ai(i=x,y,z)是 A  在三个坐标轴上的投影。 同一个矢量 A  也可以在另一个旋转  角（绕Z 轴的）直角坐 标系O XYZ 下表示为（ A x, A y, A z ），二组投影分量之间 可以用矩阵或线性方程组进行变换。 A  矢量也可在球坐标系下 为（Ar，A A ），与（Ax，Ay，Az)之间也可以作坐标变 换。一个矢量可以在不同的坐标系下表示，即有许多等价 的表示方式，可根据解决问题的方便需要来选择。   量子力学的状态和力学量的具体表达方式称为表象（repreenstation) 通过广义傅利叶变换，可以将（x）坐标表象的状态矢量变换为以 P,E等为变量的状态矢量，即变换到动量表象，能量表象，角动量 表象等。 l 2

Chapter4.1态的表象 ,状态 用动量为变量的波函数描写 其中 (1) v(x,1)=c(P,0)y2(x)c px (2丌h (2丌h) c(p)=Jv(x(x,d简记:cp=(vnv) 归一化:Jv(x,)d=c(p=1

Chapter 4.1 态的表象  ( , ) x t ( , ) ( , ) ( ) , p   x t c p t x dp =  一，状态 用动量为变量的波函数描写: 1, 其中 （1） 1 2 1 ( ) (2 ) i px p  x e  = 1 * 1 2 1 ( ) (2 ) px p  x e  − = * ( , ) ( ) ( , ) p c p t x x t dx =    2 2 | ( , ) | | ( , ) | 1,  x t dx c p t dp = =   归一化： 简记：c(p)=( , )  p (2) (3)

c(p,1)粒子动量值在 中的几率。实际上 为同一状态V 在动量表象中的波函数。 2,具有确定动量值的p的自由粒子的态:v(xD)=v(x) g c(p, t=vp (xw, (x)eh pdx=8(P-ple if,>2) C(p 略去含时因子:c(p)=δ(P-p)p:变量P:确定值简记: c(p)=(p,p)=d(p-p) (5)或(6)是具有确定动量P的粒子的状态在动量表象中的表示。 3,具有确定坐标的粒子状态在坐标表象中的表示: xd(-x=xd(x-x ()也是坐标表象中坐标算符x的本征值方程

2 | ( , ) | c p tp p dp − + 粒子动量值在 中的几率。实际上 c p t ( , ) 为同一状态  在动量表象中的波函数。 2，具有确定动量值的 p 的自由粒子的态： ( , ) ( ) p i E t p   x t x e − = (4) 则 , , , * , ( , ) ( ) ( ) ( ) p p i i E t E t p p c p t x x e dx p p e    − − = = −  (5) 略去含时因子： , c p p p ( ) ( ) = −  p :变量 ' p ：确定值 简记： ' ' c p p p p p ( ) ( , ) ( ) = = −  （5）或（6）是具有确定动量 的粒子的状态在动量表象中的表示。 ' p 3，具有确定坐标的粒子状态在坐标表象中的表示: , ' ' x x x x x x   ( ) ( ) − = − (7) (6) (7)也是坐标表象中坐标算符 x 的本征值方程

,任意力学量①的表象中的状态v(x,)的表示 1,分立谱,例如无限深势阱中电子P,En,H原子中电子束缚态Enp1,谐振子 En设力学量①的算符Φ具有分立的本征值:Φ,2Φn 对应分立的本征函数:4(x)-2(x)n(x) 则可以用正交归一完全系{n(x)}将v(x,)展开为级数 (x,)=∑a()un(x)其中 ) =u,(x)y(r, t)dx 简记:n=(n2v 归一化 1=v(x,)=」∑a(02(x)1()1(x ∑an(ok()ji(x(x)=∑ai(k() ∑an()P=

二，任意力学量 的表象中的状态  ( , ) x t 的表示 1，分立谱，例如无限深势阱中电子 p E x n , ，H原子中电子束缚态 E n l 2 l z ,谐振子 E n ,设力学量 的算符 具有分立的本征值： 1 2``` ````` ,    n    对应分立的本征函数： 1 ``` 2 ``` ``` ( ) ( ) ( ) n u x u x u x 则可以用正交归一完全系 { ( )} u x n 将  ( , ) x t 展开为级数： * ( , ) ( ) ( ) ) ( ) ( , ) n n n n n x t a t u x a t u x x t dx   = =   其中 简记： ( , ) n n a u =  归一化： 2 * * * * * * * * 2 1 | ( , ) | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | 1 m m n n m n m n m n m n mn mn mn m mn x t dx a t u x a t u x dx a t a t u x u x dx a t a t a t   = = = = = =       

即若v(x)归一化,则an()也自然归一化。an是在(xO所描写的态中测量力学量 Φ所得结果为①的几率,间数列 (t),a2(t)…an()…就是v(x,1)所描写的态在Φ表象中的表示。写为 列矢量 (10) 其转置复共轭为:v=(a(1)a2(t)、an(t)…) (11) 十: dagger 归一化

即若 已归一化，则 也自然归一化。 是在 所描写的态中测量力学量 所得结果为 的几率，而数列  ( , ) x t ( ) m a t 2 | | n a  ( , ) x t   n 1 2 ```````` ```` ( ), ( ) ( ) n a t a t a t 就是  ( , ) x t 所描写的态在  表象中的表示。写为 列矢量： 1 2 ( ) ( ) ( ) n a t a t a t        =           (10) 其转置复共轭为： † * * * 1 2 ````` `````` ( ( ), ( ) ( ) ) n  = a t a t a t (11) † ：dagger 归一化： †   =1

2,分立谱+连续谱 例如,氢原子中电子能量E:束缚态En电离态E连续:有限深方势阱,当E0则连续,P也是 又:完全连续谱例子:电子自由运动时的动量,动能,自由粒子的坐标x,H原子 中电子的r 坐标表象的波函数v(x,)用①算符的本征函数系{n}展开 v(x,)=2a, (u,(x)+ag(ug(xdg (xy(x, t)d aa=u(x)y(xt dx 例如P85H基态的表象波函数 CDa,, a}即为状态堆φ表象中的表示a()P 测量力学量Φ数值为①的几率,而|a(O)P即测量力学量Φ值的结果在 q-q+女呐的几率 归一化 an, Da, (t)+aa(t)a (t)do

2,分立谱+连续谱 例如，氢原子中电子能量 E ：束缚态 E n ,电离态 E 连续；有限深方势阱，当 E  0 为束缚态， E n 分立 ， E  0 则连续， p 也是 又：完全连续谱例子：电子自由运动时的动量，动能，自由粒子的坐标 ，H原子 中电子的 x r 坐标表象的波函数  ( , ) x t 用  算符的本征函数系 { }u 展开： * * ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( . ) n n q q n n n q q x t a t u x a t u x dq a u x x t dx a u x x t dx    = + = =     例如 H基态的 表象波函数 即为状态 在 表象中的表示， 即测量力学量 数值为 的几率，而 即测量力学量 值的结果在 内的几率。 归一化： P85 { , } n q c p a a   2 | ( ) | n a t   n 2 | ( ) | q a t dq  q q dq − + * * n n q q ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n a t a t a t a t dq + = 

状态矢量: HP=(a1(1),a2(1)…a()…a() 归一化:平y=1归纳:求力学量d表象中波函数用算符的本征 函数的共轭v(x)与坐标空间波函数相乘并积分 a, (t)= u,(x)y(x,t)dx ,希尔伯特空间( Hibert space)

状态矢量： 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n q a t a t a t a t          =           † * * * * 1 2 ( ( ), ( ), ( ) ( )) n q  = a t a t a t a t 归一化： †   =1 归纳：求力学量  表象中波函数 即用 算符的本征 函数的共轭 与坐标空间波函数相乘并积分: i a  * ( ) q  x * ( ) ( ) ( , ) n n a t u x x t dx =   三，希尔伯特空间(Hibert space)

1,状态V态矢量,选定一个①表象,即选定一特定的坐标系来描述v,的本征函数 系{n(x)}即为这个表象中的基矢①表象中的波函数(a4(D),a2()…an(t)…)即态矢 量v在④表象中沿各基矢方向的分量。量子力学中的的本征函数 (4(x)…2(x)l,(x)) 有无限多,所以张成了描写态矢量的无限希尔伯特空间 2,表象常用 x,p, H, l

1，状态 态矢量，选定一个 表象，即选定一特定的坐标系来描述 ， 的本征函数 系 即为这个表象中的基矢， 表象中的波函数 即态矢 量 在 表象中沿各基矢方向的分量。量子力学中的 的本征函数 有无限多，所以张成了描写态矢量的无限希尔伯特空间。 2，表象常用：    { ( )} n u x  1 2 ```````` ```` ( ( ), ( ) ( ) ) n a t a t a t   1 ``` 2 ``` ``` ( ( ) ( ) ( ) ) n u x u x u x 2 , , , , , z z x p H l l 

Chapter42算符的矩阵表示 h a W=d,Φ(x,D)=F(x,(x,1),算符F v(x1)=∑an()n(x) Φ(x,)=∑bn()n(x) (2) ∑bn(1n1(x)=F(x,)∑an(O)un( 以Ln左乘(3)并积分 ∑bO)j;(xn(x)x=∑ao)n(x)F(x8∑qO)m(对 200a(0

一 Chapter4.2算符的矩阵表示 1， , ( , ) ( , ) ( , ) h F x t F x x t i x    =   =  ，算符 F (1) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) m m m m m m m m m m m m x t a t u x x t b t u x h b t u x F x a t u x i x  =  =   =      (2) (3) 以 左乘（3）并积分： * n u * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) m n m m n m m m m m m mn n n m m m m h b t u x u x dx a t u x F x a t u x dx i x h b t b t u x F x u x dxa t i x    =   = =         (4) (5)

即 b()=∑EmQn(1 其中Fm=2(x)(x )un1(x)dx为算符F在9表象中的表示 bn()}{an()}分别为状态①和在9表象中的表示 F b2( 12 a2() Fml Fm2 ●非

即 ( ) ( ) n nm m m b t F a t = 其中 * ( ) ( , ) ( ) F u x F x u x dx nm n m i x  =   为算符 F 在  表象中的表示。 { ( )},{ ( )} n m b t a t 分别为状态  和  在  表象中的表示。 1 1 11 12 1 2 2 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n m m mn b t a t F F F b t a t F F F b t a t F F F                 =               (6)