雨自文大電园地 卫星定位技术与方法 第九讲 袁林果 Email:Igyuan@home.switu.edu.cn 西南交通大学土木工程学院测量工程系 §7.4静态相对定位的单基线平差模型 假设在同一观测时段,只有两台接收机在一条基线上进行了 同步观测工作。从这一条件出发,根据间接平差原理,讨论载 波相位观测量不同线性组合的平差模型。这些模型易于推广到 多台接收机观测情况 1.观测方程线性化及平差模型 在协议地球坐标系中,若观测站T待定坐标的近似向量为 Xa=[X0Y10Z0J「,其改正数向量为8X=[6X18Y;8ZJ,则观测站 T至所测卫星s的距离按泰勒级数展开并取其一次微小项, 電少卫星定位技术与方法 20054
1 卫星定位技术与方法 第九讲 袁林果 Email: lgyuan@home.swjtu.edu.cn 西南交通大学土木工程学院测量工程系 卫星定位技术与方法 2005-4-22 2 假设在同一观测时段，只有两台接收机在一条基线上进行了 同步观测工作。从这一条件出发，根据间接平差原理，讨论载 波相位观测量不同线性组合的平差模型。这些模型易于推广到 多台接收机观测情况。 1.观测方程线性化及平差模型 在协议地球坐标系中，若观测站Ti 待定坐标的近似向量为 Xi0=[Xi0 Yi0 Zi0]T,其改正数向量为δXi =[δXi δYi δZi ]T，则观测站 Ti 至所测卫星sj 的距离按泰勒级数展开并取其一次微小项， § 7.4静态相对定位的单基线平差模型
可得 p()=p-1()m()n() SZ P 1)-X +区 上式中Xt),Y(t,z(t)为卫星s于历元t的瞬时坐标。 下面所讲的平差模型是假设所测卫星的瞬时坐标和起始 点坐标已知的情况下。 卫星定位技术与方法 2005-4-22(3 (1)单差模型 任取两观测站T1和T2,并以T1为已知起始点,根据载波相位单差模 △p(0)=[2()-p(o]+A()-△N 可得单差观测方程线性化形式 1(0) m(r)nd(t aY2 a(-p1(o)+A△r 取符号 △(O)=△(0)-1[p(0)-p(o) 電少卫星定位技术与方法
2 卫星定位技术与方法 2005-4-22 3 可得 上式中Xj (t), Yj (t), Zj (t)为卫星sj 于历元t的瞬时坐标。 下面所讲的平差模型是假设所测卫星的瞬时坐标和起始 点坐标已知的情况下。 { } [ ][ ][ ] 1 2 2 0 2 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i j i j i j j i i i i j i j i j i j i j i X t X Y t Y Z t Z Z Y X t l t m t n t = − + − + − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = − ρ δ δ δ ρ ρ 卫星定位技术与方法 2005-4-22 4 任取两观测站T1和T2，并以T1为已知起始点，根据载波相位单差模 型 可得单差观测方程线性化形式 取符号 [ ] j j j j t t f t t N c f ∆ϕ (t) = ρ2 ( ) − ρ1 ( ) + ∆ ( ) − ∆ [ ] j j j j j j j t t f t t N Z Y X t l t m t n t + − + ∆ − ∆ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∆ = − ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 20 1 2 2 2 2 2 2 ρ ρ λ δ δ δ λ ϕ [ ] ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 20 1 l t t t t j j j j ρ ρ λ ∆ = ∆ϕ − − （1）单差模型
相应的误差方程为 △y()=4()m()n5(0)|b2-A(n)+△N+△() dZ2 若两观测站同步观测卫星数为n,则误差方程组为: △ro1「4om0)na △n2()1()m(n)n(t) Ar(o)+ △N2.△2() arole( mt'( m'ok2[△x」△rol 或 v()=a()D2+b(△N+c(1)△t(1)+l(m) 句卫星定位技术与方法 2005422(5 若进一步假设同步观测同一组卫星的历元数为n,则相应 的误差方程组为 Ⅴ()=A(1)o2+B()△N+C()△t(t)+l(t) 相应的法方程式及其解 NAY+U=o △Y=-N-U 其中 U=(A B C)P P为单差观测量的权矩阵 電少卫星定位技术与方法
3 卫星定位技术与方法 2005-4-22 5 相应的误差方程为 若两观测站同步观测卫星数为nj ,则误差方程组为： 或 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 f t t N l t Z Y X v t l t m t n t j j j j j j − ∆ + ∆ + ∆ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∆ = δ δ δ λ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ∆ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) 1 ... 1 1 ( ) ( ) ( ) ... ... ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ... ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 l t l t l t N N N f t t Z Y X l t m t n t l t m t n t l t m t n t v t v t v t j j j j j j n n n n n n δ δ δ λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v t = a t δX + b t ∆N + c t ∆t t + l t 卫星定位技术与方法 2005-4-22 6 若进一步假设同步观测同一组卫星的历元数为nt ，则相应 的误差方程组为 相应的法方程式及其解 其中 P为单差观测量的权矩阵。 Y N U N Y U 1 0 − ∆ = − ∆ + = U A B C PL N A B C P A B C Y X N t T T T ( ) ( ) ( ) 2 = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∆ = δ ∆ ∆ V(t) = A(t)δX2 + B(t)∆N + C(t)∆t(t) + l(t)
(2)双差模型 两观测站,同步观测卫星s和s,并以s为参考卫星,则 双差观测方程 =[2()-p1(0)-1(m)+p(]-V△N 线性化的形式为 dX Vi(1)Vmi(r) Vn5(n SY2 dZ 3()-p3(0-1()+p(l 電步卫星定位技术与方法 2005-4-22(7 上式中 V()1「2()- m(t Vh2()n2()-n( V△Nk=△N-△N 若取符号ⅴ△(=V△(o)-1ls(0)-(-p()+p(o 则得误差方程式: dX, (0=VI( Vm2( Vni(oSY, +VAN*+VA/(O) 若同步观测卫星数为n,则有误差方程组 v(1)=a(1 bV△N+V△() 卫星定位技术与方法 2005-4-22
4 卫星定位技术与方法 2005-4-22 7 两观测站，同步观测卫星sj 和sk，并以sj 为参考卫星，则 双差观测方程 线性化的形式为 [ ] k j k j k k k j t t t t N f c t t t = − − + − ∇∆ ∇∆ = ∆ − ∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ2 ρ2 ρ1 ρ1 ϕ ϕ ϕ [ ] k j k j k k k k k t t t t N Z Y X t l t m t n t + − − + − ∇∆ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∇∆ = − ∇ ∇ ∇ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 20 20 1 1 2 2 2 2 2 2 ρ ρ ρ ρ λ δ δ δ λ ϕ （2）双差模型 卫星定位技术与方法 2005-4-22 8 上式中 若取符号 则得误差方程式： 若同步观测卫星数为 nj ,则有误差方程组 k k j k j k j k j k k k N N N n t n t m t m t l t l t n t m t l t ∇∆ = ∆ − ∆ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ ∇ ∇ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 20 1 20 1 l t t t t t t k k k k j j ρ ρ ρ ρ λ ∇∆ = ∇∆ϕ − − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 N l t Z Y X v t l t m t n t k k k k k k + ∇∆ + ∇∆ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∇ ∇ ∇ δ δ δ λ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v t = a t δX + b t ∇∆N + ∇∆l t
若在基线两端同步观测同一组卫星的历元数为n 则相应的误差方程组为 +L V△N A=a(t1)a(2) a(t B=[b(1)b(2)…b(tn) L=|V△)V△(2)….V△tn) V=lv(41)v(t2) (t) 卫星定位技术与方法 2005-4-22(9 相应的法方程式及其解可表示为 N△Y+U=0 △Y=-NU 其中 △Y=∝2V△N P为双差观测的权矩阵。 電少卫星定位技术与方法
5 卫星定位技术与方法 2005-4-22 9 若在基线两端同步观测同一组卫星的历元数为nt ， 则相应的误差方程组为 [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 nt nt nt nt t t t t t t t t t t t t V v v v L l l l B b b b A a a a L N X V A B = = ∇∆ ∇∆ ∇∆ = = +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∇∆ = δ 卫星定位技术与方法 2005-4-22 10 相应的法方程式及其解可表示为 其中 P为双差观测的权矩阵。 Y N U N Y U 1 0 − ∆ = − ∆ + = U A B PL N A B P A B Y X N T T T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∆ = δ 2 ∇∆
(3)三差模型 假设于基线两端,同步观测GPS卫星的历元为t1、t2,则 差方程线性化形式为 Y V△q(t) oVna +1[25()-a(0)-3(0)+ 上式中 △q()=V△q(t2)-V△q(t1) 卫星定位技术与方法 2005-4-2 其中 V2(1) (2)-Vl(4) m5()=wm2(2)-m(4) 0()wr(2)-V() D2(D)[m2(2)-p2(t) 4()_(2)-p(4) cO0p3(42)-2(4) (n)」Lm(12)-P(t) 若取8△(084(090-60-0+6 则得误差方程 r(o=woan(ono小l+0 電少卫星定位技术与方法 2005422(12
6 卫星定位技术与方法 2005-4-22 11 假设于基线两端，同步观测GPS卫星的历元为t1、t2，则 三差方程线性化形式为 上式中 [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 20 1 20 1 2 2 2 2 2 2 t t t t Z Y X t l m n k k j j k k k k δρ δρ δρ δρ λ δ δ δ δ δ δ λ δ ϕ + − − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∇∆ = − ∇ ∇ ∇ ( ) ( ) ( ) 2 1 t t t k k k δ∇∆ϕ = ∇∆ϕ − ∇∆ϕ （3）三差模型 卫星定位技术与方法 2005-4-22 12 其中 若取 则得误差方程 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ − ∇ ∇ − ∇ ∇ − ∇ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ ∇ ∇ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 20 2 20 1 1 2 1 1 20 2 20 1 1 20 1 20 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 t t t t t t t t t t t t n t n t m t m t l t l t n t m t l t j j j j k k k k j j k k k k k k k k k k k ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ δρ δρ δρ δρ δ δ δ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 20 1 20 1 l t t t t t t k k k k j j δρ δρ δρ δρ λ δ∇∆ = δ∇∆ϕ − − − + [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 l t Z Y X v t l t m t n t k k k k k + ∇∆ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∇ ∇ ∇ δ δ δ δ δ δ δ λ
当同步观测卫星数为n,并以某一卫星为参考卫星 时,可得误差方程组为 v()=a(1)X2+l(1) v(t)=b(t)2( 2(1)OCm2(1)h2(t) 2(t)bn2(t)n2(1) d7,(t Sn,(r"(t) l(1) ()VM()…V△"() 卫星定位技术与方法 2005-422 如果两观测站对同一组卫星同步观测历元数为n,并以 某一历元为参考历元,则误差方程组为 =v(t)v(t2) a(1)a(2)…a(-) 2 相应法方程组及其解为 (A PAJOX, +(APL)=o APA(APL) 其中P为相应三差观测量的权矩阵 卫星定位技术与方法
7 卫星定位技术与方法 2005-4-22 13 当同步观测卫星数为nj ，并以某一卫星为参考卫星 时，可得误差方程组为 [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ... ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 t l t l t l t l t m t n t l t m t n t l t m t n t t t v t v t v t t t t j j j j j n n n n n − − − − − = ∇∆ ∇∆ ∇∆ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = = + δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ λ δ l a v v a X l 卫星定位技术与方法 2005-4-22 14 如果两观测站对同一组卫星同步观测历元数为nt ，并以 某一历元为参考历元，则误差方程组为： 相应法方程组及其解为： 其中P为相应三差观测量的权矩阵。 [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 − − − = = = = = + nt T T nt T nt t t t X Y Z t t t t t t L l l l X A a a a V v v v V A X L δ δ δ δ δ ( ) ( ) X ( )( ) A PA A PL A PA X A PL T T T T 1 2 2 0 − = − + = δ δ
2观测量线性组合的相关性 般,两个观测量之间的相关性分为物理相关和数 学相关 例如:两个观测站同步观测同一卫星,所得观测量 在物理上是相关的,而在数学上是不相关的,因此 认为两观测量是相互独立的。这里所说的观测量之 间的相关性一般均指其间的数学相关性,同时假设 独立观测量的误差属于正态分布,数学期望为零, 方差为G2。 卫星定位技术与方法 2005422(15 (1)单差观测量的相关性 由两观测站于历元同步观测卫星s的观测量之差为 q=g(1)-q1( 若同一历元同步观测另一卫星,则有 q=g2(1)-g() P() 上两式可表示为「Aq(o)2-1100( q(n)」L00-11g( 以矩阵形式表示△q(1)=r()q(1) 卫星定位技术与方法 2005-4-22
8 卫星定位技术与方法 2005-4-22 15 ¾ 一般，两个观测量之间的相关性分为物理相关和数 学相关。 ¾ 例如：两个观测站同步观测同一卫星，所得观测量 在物理上是相关的，而在数学上是不相关的，因此 认为两观测量是相互独立的。这里所说的观测量之 间的相关性一般均指其间的数学相关性，同时假设 独立观测量的误差属于正态分布，数学期望为零， 方差为σ2。 2.观测量线性组合的相关性 卫星定位技术与方法 2005-4-22 16 由两观测站于历元t同步观测卫星sj 的观测量之差为 若同一历元同步观测另一卫星，则有 上两式可表示为 以矩阵形式表示 ( ) ( ) 2 1 t t j j j ∆ϕ = ϕ −ϕ ( ) ( ) 2 1 t t k k k ∆ϕ = ϕ −ϕ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ) 2 1 2 1 t t t t t t j j k k j k ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∆ϕ(t) = r(t)ϕ(t) （1）单差观测量的相关性
如果q(的方差阵为D。(t),根据方差与协方差传播定律, 可得观测量单差的方差阵 D△(1)=r()D(r( 考虑 D(D)=E() E()为单位矩阵。则D2()=ar(nr() 10 D△0(1)=2E(O 表明两观测站同步观测两不同卫星所组成的单差,其间仍 不相关。该结论可推广到一般情况。 卫星定位技术与方法 如果在基线两端同步观测n颗卫星,观测历元数为n,则由此组 成单差的方差和协方差阵形式为: 其中 E(4)0 E 相应的权矩阵为 卫星定位技术与方法
9 卫星定位技术与方法 2005-4-22 17 如果ϕ(t)的方差阵为D ϕ(t)，根据方差与协方差传播定律， 可得观测量单差的方差阵 考虑 E(t)为单位矩阵。则 表明两观测站同步观测两不同卫星所组成的单差，其间仍 不相关。该结论可推广到一般情况。 (t) (t) (t) (t) T D r D r ∆ϕ = ϕ ( ) ( ) 2 D t σ E t ϕ = ( ) 2 ( ) ( ) 0 1 1 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 t t t t t t t t T T D E r r E D r r σ σ ϕ ϕ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = ∆ ∆ 而 卫星定位技术与方法 2005-4-22 18 如果在基线两端同步观测nj 颗卫星，观测历元数为nt ，则由此组 成单差的方差和协方差阵形式为： 其中， 相应的权矩阵为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 ... ( ) ... ... ... ... 0 ( ) ... 0 ( ) 0 ... 0 2 1 nt t t t E E E E D E 2 ( ) 2σ ϕ = ∆ × t n nt n nt j j P D 2 E 1 2 1 σ ϕ = ϕ = − ∆ ∆
(2)双差观测量的相关性 假设在观测站1、2于历元t同步观测卫星i、j、k,并取i为 参考卫星,则有 v△p3()=△a()-△() 用矩阵表示为 v△(t)=r(t)△q(1) 其中V△p(t) v△g() v△p3() 110 r(o) △ao()-=[△o()△p()△gp(a) 卫星定位技术与方法 2005422(19 观测量双差的方差与协方差阵为 Da()=r(D△(r() D=△(t)=2a2r(t)r() 2 表明:不同卫星同步观测量所组成的双差,其间是相关 的。相应的权矩阵为 2023-12 電少卫星定位技术与方法 2005-4
10 卫星定位技术与方法 2005-4-22 19 假设在观测站1、2于历元t同步观测卫星i、j、k，并取i为 参考卫星，则有 用矩阵表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t k k i j j i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∇∆ = ∆ − ∆ ∇∆ = ∆ − ∆ [ ]T i j k k j t t t t t t t t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∆ = ∆ ∆ ∆ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∇∆ ∇∆ ∇∆ = ∇∆ = ∆ r r 其中 （2）双差观测量的相关性 卫星定位技术与方法 2005-4-22 20 观测量双差的方差与协方差阵为 表明：不同卫星同步观测量所组成的双差，其间是相关 的。相应的权矩阵为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ∇∆ = 1 2 2 1 3 1 2 1 ( ) 2 σ ϕ P t ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = = ∇∆ ∇∆ ∇∆ ∆ 1 2 2 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 σ σ ϕ ϕ ϕ ϕ t t t t t t t t T T D D r r D r D r