西南科技大学：《自动控制原理》第七章 非线性系统理论

它意啡线性统理论 71非线性系同题搋述 7.2常见旅线性因素对系统影响 7.3描述数 74描述画数分析波 本章作业

第七章 非线性系统理论 7.1 非线性系统问题概述 7.2 常见非线性因素对系统影响 7.3 描 述 函 数 7.4 描述函数分析法 End 本章作业

7.1非线性统问题述 7.27.37.4 何谓非线性系统:只要系统中包含一个或一个以上具有非线性 静特性的元件,即称为非线性系统 非线性系统的主要特征: e(a)r()线性系统 非线性系筑 系统的稳定性除与结构参数有k 关外,还与起始偏差的大小有关 统的响应形式与输入信号的大8 小和初始条件有关。 在没有外界周期变化信号输入 时,非线性系统完全可能产生具有 图8-3系统对不同大小输入 固定周期和幅值的稳定振荡过程。 信号的响应曲线

7.1 非线性系统问题概述 ➢ 何谓非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性 静特性的元件，即称为非线性系统。 系统的稳定性除与结构参数有 关外，还与起始偏差的大小有关。 统的响应形式与输入信号的大 小和初始条件有关。 在没有外界周期变化信号输入 时，非线性系统完全可能产生具有 固定周期和幅值的稳定振荡过程。 ➢非线性系统的主要特征： 7.2 7.3 7.4

7.2常见非性圆素对泉统的影响 7.117.317.4 √不灵敏区(死区特性) √饱和特性 △ √间隙特性 √继电特性 √摩擦特性

7.2 常见非线性因素对系统的影响 ✓摩擦特性 ✓不灵敏区（死区特性） ✓饱和特性 ✓间隙特性 ✓继电特性 7.1 7.3 7.4

7.3指述函教 7.17.27.4 描述函数的定义 x(()=Xsinat, y(t)=A,+2(A, cos nat+Bn sin nat =0 y(tay,(t=A, cos ot+B, sin ct=Y, sin(at +(pu) N(x)=∠=V42+B B ∠ rcto B X N(X) Ggo) >应用限制条件 输入输出特性奇对称,即y(x)=y(-x),A。=0。 °系统的线性部分具有较好的低通滤波性能 结构图可简化为一个非线性环节和一个线性部分的串联 典型环节描述函数 死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性

7.3 描述函数 • 输入输出特性奇对称，即y(x)=-y(-x), A0=0。 • 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 • 结构图可简化为一个非线性环节和一个线性部分的串联。 y(t) y (t) A cos t B sin t Y sin( t )  1 = 1  + 1  = 1  + 1 X A j X B B A arctg X A B X Y N X 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 ( )  = + + =  = ( ) sin , ( ) ( cos sin ) 0 0   = = = + + n n n x t X t y t A A nt B nt N(X) G(jω) ➢描述函数的定义 ➢典型环节描述函数  死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性 ➢应用限制条件 7.1 7.2 7.4

◆死区特性描述函数 y=K(x-△)=K( X sin ot-△) A=0,A1=0 B= 4 e1 K(X sin at-A)sin adat 兀v1 /2 /2 △ KX sin aldar- KAsin adat) YI=arcsin y 4 KX 2 (1-cos 2ar )dat-KA sin adat Xsiny1=△ 丌2 y1 s 4, KX ot_Isin 2ax)/2-KAGcoS aw/ 1i COSY X 2 2KX:兀 2△ 0-Vu+ sin 2v)-(cos yuI 丌2 2 2KX.兀 =k-arcsin X xV1-(w)2I 2K △△ N(X) arcsin 丌2 x-x1-(x)1

❖ 死区特性描述函数 y = K(x − ) = K(X sint − ) A0 = 0, A1 = 0  = −  / 2 1 1 ( sin )sin 4       B K X t t d t   = −  / 2 / 2 2 1 1 ( sin sin ) 4          KX t d t K t d t   = − −  / 2 / 2 1 1 (1 cos2 ) sin ] 2 [ 4          t d t K t d t KX sin2 ) ( cos ) ] 2 1 ( 2 [ 4 / 2 / 2 1 1         t t K t KX = − −  − (cos )] 2 sin2 ) 2 1 2 [( 2  1  1  1   X KX  = − + − arcsin 1 ( ) ] 2 [ 2 2 X X X KX  −  −  = −   X sin 1 =  X   1 = arcsin 2 1 cos 1 ( ) X   = − arcsin 1 ( ) ] 2 [ 2 ( ) 2 X X X K N X  −  −  = −  

饱和特性描述函数 KX sin ot,0≤ot≤v1 y=\Ka, y sat s A0=0,A1=0 B = a r KXsinatdat+ Kasin aldar) /2 元 0 2KX zaresinxxvI-lx )2 N(1 2K arcsin XX

❖ 饱和特性描述函数         = 2 , sin , 0 1 1       Ka t KX t t y A0 = 0, A1 = 0   = + 1 1 0 / 2 2 1 ( sin sin ) 4         B KX t d t Ka t d t [arcsin 1 ( ) ] 2 2 X a X a X KX a = − −  [arcsin 1 ( ) ] 2 ( ) 2 X a X a X K a N X = − − 

间隙特性描述函数 A0=0 K( X Sin ot-b),0≤o<x/2 y=K(X-b), 丌/2≤o<兀-v1 K( X g+b),x-v1≤ot<丌 A==( K(X sin at-b)cos adat +[ K(X-b)cosotdot+[ K(X sin at+b)co /2 4K6 b -1) T X B,2FT K(X sinat-b)sin adat aViK(X-b)sin adat K(X sin at+b)sin adat) 丌-y1 KX +arcsin(I- 2l b 2b、b )+2(1 XXX K 26 2b、b 4Kb b N(X) + arcsin(1-)+2(1 (1-)]+j 2 X XX X zk -)

❖ 间隙特性描述函数      + −   −   − −   =             K X t b t K X b t K X t b t y 1 1 ( sin ), ( ), / 2 ( sin ), 0 / 2    − − + − + + = −                 11 1 ( )cos ( sin )cos ) ( ( sin )cos 2 / 2 / 2 0 1 K X b t d t K X t b t d t A K X t b t d t ( 1) 4 = − X Kb b     − − + − + + = −                 1 1 ( )sin ( sin )sin ) ( ( sin )sin 2 / 2 / 2 0 1 K X b t d t K X t b t d t B K X t b t d t ) (1 )] 2 ) 2(1 2 arcsin(1 2 [ X b X b X b X KX b = + − + − −   ( 1) 4 ) (1 )] 2 ) 2(1 2 arcsin(1 2 ( ) = [ + − + − − + − X b X Kb j X b X b X b X K b N X    A0 = 0

继电特性描述函数 0,0≤ort≤v1 y=M,v1≤orsW2 0,y2≤Ot≤丌 AI M cos otdot 丌v1 0 2M aMh (siny2-siny,=-(m-1) B,=2r M sin otdot 2M cosy, +COSY1 图8-55继电特性及其输入-输出波形 元 2M h=X sinyu 十 X mh=Xsin(兀-V2) 2M +1-(y1 aMh N(X) 2m-1),X≥h X Y

❖ 继电特性描述函数            =         t M t t y 2 1 2 1 0, , 0, 0 (sin sin ) 2 cos 2 2 1 1 2 1         = − =  M A M t d t sin( ) sin 2 1    = − = mh X h X ( 1) 2 = m − X Mh  ( cos cos ) 2 sin 2 2 1 1 2 1         = − + =  M B M t d t [ 1 ( ) 1 ( ) ] 2 2 2 X h X M mh = − + −  m X h X Mh j X h X mh X M N X = − + − + ( − 1),  2 [ 1 ( ) 1 ( ) ] 2 ( ) 2 2 2  

74描述函教分析油 7.17,27.3 NOX Glio) 典型结构 闭环特征方程为:1+N(XG(jo)=0 稳定性分析 矿N(X)G(jo)=-1,等幅振荡。 G() 1N(A) cG(jo)包围-1N(X),系统不 稳定,否则稳定。 G() UNA 1Nx被称为负倒描述函数

➢ 典型结构 7.4 描述函数分析法 N(X) G(jω) ➢ 稳定性分析 •闭环特征方程为：1+N(X)G(jω)=0  N(X)G(jω)=-1,等幅振荡。  G(jω)包围-1/N(X), 系统不 稳定，否则稳定。  -1/N(X)被称为负倒描述函数。 7.1 7.2 7.3

口自振分析 若曲线G(jo)和曲线-1NX)相交,则系统存在周期运动; 矿若当振幅X增大时,-1N(X)曲线由G(jo)包围的区域(不 稳定区)穿出,该交点处存在着稳定的周期运动,该交点是自 振点。 B 1/N(A M

❑ 自振分析  若当振幅X增大时， -1/N(X)曲线由G(jω)包围的区域（不 稳定区）穿出，该交点处存在着稳定的周期运动，该交点是自 振点。  若曲线G(jω)和曲线-1/N(X)相交，则系统存在周期运动；