四意轨题法 4.1根轨迹方程 42根轨迹绘制的基碑法则 43广义恨轨迹 本章作业 Prr Eno
第四章 根轨迹法 4.1 根 轨 迹 方 程 4.2 根轨迹绘制的基本法则 4.3 广 义 根 轨 迹 End 本章作业
4.1根轨迹方程 424.3 4.1.1根轨迹概念 R(s k c(s) 口根轨迹:是指开环系统某个参数 s(s+1 由0变化到∞,闭环特征根在s平面 上移动的轨迹。根轨迹与系统性能密切相关 动画演示 K K D Φ(S)= s(s+1)+K s+s+K K,,⊥p j0.5 >闭环特征方程为s2+s+K=0,解得闭环 特征根表达式 √1-4K 1-4K 十 -0.5 0 2 2 2 >令K(由0到∞)变动,S1、s2在s平面的 移动轨迹即为根轨迹。 p2 口研究根轨迹的目的:分析系统的各种性能 (稳定性、稳态性能、动态性能) 口表示系统的闭环极点
4.1 根轨迹方程 ❑ 根轨迹：是指开环系统某个参数 由0变化到∞，闭环特征根在s平面 上移动的轨迹。根轨迹与系统性能密切相关。 s s K K s s K K s + + = + + = 2 ( 1) ( ) 2 1 4 2 1 , 2 1 4 2 1 1 2 K s K s − = − − − = − + 表示系统的闭环极点 0 j K=1/2 j0.5 -1 -0.5 p1 p2 ➢闭环特征方程为s 2+s+K=0, 解得闭环 特征根表达式 ➢令K（由0到∞）变动，s1、s2在s平面的 移动轨迹即为根轨迹。 ❑研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能 （稳定性、稳态性能、动态性能） 4.1.1 根轨迹概念 s(s 1) K + R(s) (-) C(s) 4.2 4.3 动画演示
4.1.2开/闭环传递函数粵极点表达式 °开环零点:指系统开环传递函数中分子多项式方程的根。 开环极点:指系统开环传递函数中分母多项式方程的根。 闭环零点:指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根。闭环 零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。对于单位反馈 系统,闭环零点就是开环零点。 闭环极点:指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根。闭环 极点与开环零、极点以及根轨迹增益K均有关。(K*→0,开闭 环极点相同。) I(s-zi) G(S)H(S) b(s-x1)(S-2)…(s-zm) K K为开环系统根轨迹增益;闭环系统根轨迹增益2) 根轨迹增益: ao(S-Pu(S-P2).(S-Pn) 等于开环系统前向通路根轨迹增益。(由下式及m<n可知) G(-p) G(s) 根轨迹法的基本任务 p(s)= 1+G(s)H(S) 由已知的开环零、极点分布 (s-Pi)+Kl(s-z 及根轨迹增益,通过图解的方法找出闭环极点
• 根轨迹增益： K*为开环系统根轨迹增益；闭环系统根轨迹增益 等于开环系统前向通路根轨迹增益。(由下式及m<n可知） • 开环零点：指系统开环传递函数中分子多项式方程的根。 • 开环极点：指系统开环传递函数中分母多项式方程的根。 • 闭环零点：指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根。闭环 零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。对于单位反馈 系统，闭环零点就是开环零点。 • 闭环极点：指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根。闭环 极点与开环零、极点以及根轨迹增益K*均有关。（K* →0, 开闭 环极点相同。） = = − − = − − − − − − = n j j m i i n m s p s z K a s p s p s p b s z s z s z G s H s 1 * 1 0 1 2 0 1 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = = = − + − − = + = m i i n j j n j j s p K s z G s s p G s H s G s s 1 * 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4.1.2 开/闭环传递函数零极点表达式 • 根轨迹法的基本任务： •由已知的开环零、极点分布 及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点
4.1.3根轨迹方程 1.由闭环特征方程得根轨迹方程为G(s)H(s)=-1 2.将根轨迹方程写成零、极点表示的矢量方程为: K卫I(s-z1) 1 e (2k+1) (k=0,±1,±2,…) II(s-p: 再把矢量方程表示为模值方程与相角方程,其模值方程和相 角方程分别为 KIIIs-ziI =1,∑∠(-x)-∑∠(-p)=(2k+1)z Is-p: I
1. 由闭环特征方程得根轨迹方程为G(s)H(s)= –1 1 e (k 0, 1, 2, ) (s p ) K (s z ) (2k 1) n i 1 i m j 1 j * = − = = − − + = = 1 , |s p | K |s z | n i 1 i m j 1 j * = − − = = ( ) ( ) (2 1) 1 1 − − − = + = = s z s p k n i i m j j 4.1.3 根轨迹方程 再把矢量方程表示为模值方程与相角方程，其模值方程和相 角方程分别为： 2. 将根轨迹方程写成零、极点表示的矢量方程为：
42根軏迹的基本油则4143 法则1:根轨迹的分支数:根轨迹在s平面上的分支数等于闭环 特征方程的阶数n,也就是分支数与闭环极点的数目相同 法则2:根轨迹对称于实轴:闭环极点若为实数,则位于S平面 实轴;若为复数则共轭出现,所以根轨迹对称于实轴。 法则3:根轨迹的起点与终点:根轨迹起始于开环极点,终止于 开环零点;如果开环零点数m小于开环极点数n,则有(n-m) 条根轨迹终止于无穷远处(的零点)例1m证1 法则4:实轴上的根轨迹:实轴上根轨迹区段的右侧,开环零 极点数目之和应为奇数。例1例3证1 ∑n-∑ 法则5:根轨迹的渐近线:渐近线与实轴交点的坐标。 n 而渐近线与实轴正方向的夹角p (2k+1)z k依次取0,+1,-1,+2,-2,一直到获得n-m个倾角为止。其中,n为开 环极点数,m为开环零点数。例1b(q2可由相角方程中S→>∞得到。) ·法则6:根轨迹的起始角(从极点p)和终止角(到零点z): o起始角:例2证2Ok=(2k+1z+∑4(队-2)∑∠(D-P)
• 法则4: 实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、 极点数目之和应为奇数。 • 法则6: 根轨迹的起始角(从极点pk )和终止角(到零点zk ) ： o 起始角： (2 1) ( ) ( ) 1 1 i n i k i k j k m j p k = k + + p − z − p − p = = • 法则2: 根轨迹对称于实轴：闭环极点若为实数，则位于[s]平面 实轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实轴。 • 法则3: 根轨迹的起点与终点：根轨迹起始于开环极点，终止于 开环零点；如果开环零点数m小于开环极点数n，则有（n-m） 条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。 n m p z m i i n i i a − − = =1 =1 • 法则5: 根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点的坐标 而渐近线与实轴正方向的夹角 k依次取0,+1,–1,+2,–2,…一直到获得n-m个倾角为止。其中，n为开 环极点数，m为开环零点数。 (a可由相角方程中S→得到。) n m k a − + = (2 1) 4.2 根轨迹绘制的基本法则 例1a 4.3 证1 4.1 例1 例3 证1 例1b 例2 证2 • 法则1: 根轨迹的分支数：根轨迹在[s]平面上的分支数等于闭环 特征方程的阶数n,也就是分支数与闭环极点的数目相同
0终止角:0=(k+1)兀+24(4-p)-∑∠(x4-x) j≠k °法则7:分离点(会合点)坐标d: o几条根轨迹在|s平面上相遇后又分开的点,称为分离点。 o分离点的坐标d可由方程 例3证3 ya 得到 P d 法则8:根轨迹与虚轴的交点: 例2 1+G(o)H(m)=0 Rell+G(o)HuoI=0 lIm(1+G(Q)H(Q=0 法则9:根之和: o若n-m>=2,则有 例2 ∑s=∑P1=-a1 紧转例4 i=1
• 法则8: 根轨迹与虚轴的交点： • 法则7: 分离点（会合点）坐标d： o 几条根轨迹在[s]平面上相遇后又分开的点，称为分离点。 o 分离点的坐标d可由方程 得到。 − = − = = m i i n i i 1 d p 1 d z 1 1 1+ G( j)H( j) = 0 + = + = Im[1 ( ) ( )] 0 Re[1 ( ) ( )] 0 G j H j G j H j 1 1 1 s p a n i i n i i = = − = = (2k 1) (z p ) (z z ) j m j k j 1 i k n i 1 zk = + + k − − − = = o 终止角： 紧转例4 • 法则9: 根之和： o 若n-m>=2，则有 例3 证3 例2 例2
证明1 由根轨迹方程: h-m//k1)起点:K=0,式(#)→,所以s(=12,…m s-z;) 终点:K→,式(#)→0,所以s=(=1,2…m) 其余nm条终止于无穷远处: (s-z1) Ja hi 0 P 1-7 s→ II(s-p:) 05 Z o2 Pollo 01 z04 P03 ∑4(s-x1)-24(s-p)=(2+1)z
证明1 • 由根轨迹方程： = − ( ) − − = = 1/ * ( ) ( ) 1 1 K s p s z n i i m j j 0 1 lim ( ) ( ) lim 1 1 = = − − − → = = → n m s n i i m j j s s s p s z ( ) ( ) (2 1) 1 1 − − − = + = = s z s p k n i i m j j j p01 p02 p03 p04 0 z01 z 02 z 03 z 04 s0 z 05 其余n-m条终止于无穷远处: 起点:K* =0, 式(#) →∞, 所以s=pi (i=1,2,…n) 终点:K*→∞,式(#) →0, 所以s=zj (j=1,2,…m)
证明2 由∑∠(-x)-∑∠3-n)=(2k+1)z 假设在一开环极点p1附近取一点s1,则 ∠(s1-P1) =(2k+1)z+∑∠(-x)∑∠61-p) →p1 i=1 i≠k an=(2k+1x+∑-x1)-∑∠(p-p) 同理得 0=(k1)m+∑∠(k-p)∑∠(-) k
证明2 • 由 ( ) ( ) = = → − = + + − − − n i k i 1 1 i m j 1 p 1 j 1 1 s (s p ) (2k 1) s z s p 1 1 ( ) ( ) = = = + + − − − n i k i 1 k i m j 1 pk (2k 1) pk z j p p θ (2k 1)π (z p ) (z z ) j m j k j 1 i k n i 1 zk = + + k − − − = = ( ) ( ) (2 1) 1 1 − − − = + = = s z s p k n i i m j j • 同理得 • 假设在一开环极点p1附近取一点s1 , 则
证明3 系统闭环特征方程为(-)+KI(-x)=0 根轨迹若有分离点,表明闭环特征方程有重根,重根条件为 ∏(s-p)+KI-2)=04 ds -p)+KI(-x)=0 i=1 i=1 两式相除得 (S-p )①I(-x) ds ds dInI(s-p dInI(s 即 II(s ds ds (s-D) 又m∏(p)=∑呵(s-P)hnI(-x2)=∑m(s-x) i=1 j=1 =1 代入得 d In(s-p,) )-m3即=1 i=1 ds ds
证明3 • 系统闭环特征方程为 ( ) ( ) 0 1 * 1 − + − = = = m j j n i i s p K s z ( ) ( ) 0 1 * 1 − + − = = = m j j n i i s p K s z [ ( ) ( )] 0 1 * 1 − + − = = = m j j n i i s p K s z ds d = = = = − − = − − m j j m j j n i i n i i s z s z ds d s p s p ds d 1 1 1 1 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ds d s z ds d s p m j j n i i = = − = − 1 1 ln ( ) ln ( ) 即 = = − = − n i i n i s pi s p 1 1 又 ln ( ) ln( ) = = − = − m j j m j j s z s z 1 1 ln ( ) ln( ) = = − = − m i i n i i 1 s p 1 s z 1 1 即 = = − = − m j j n i i ds d s z ds d s p 1 1 ln( ) ln( ) 代入得 • 根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为 • 两式相除得
例1a P 图4-5例4-2的系统根轨迹 例1b已知单位反馈系统的 60° (s) 80 S(S+1)(s+2) ∑-∑ 0+(-1)+(-2) -60° n- 3-0 (2k+1)丌x丌 n-m33 到4-6例4-3系统的根轨迹渐近线
例1a 1 3 0 0 ( 1) ( 2) 1 1 = − − + − + − = − − = = = n m p z m i i n i i a 、 、 3 3 (2 1) = − − + = n m k a ( 1)( 2) ( ) * + + = s s s K G s 例1b 已知单位反馈系统的