麻省理工学院 航天航空系 16060自动控制原理 2003年秋季 第八次作业解答 传递函数可以写成G(s)=小(S++32)“的形式,其中K1是Gs的根轨迹增益, (s+P1)(s+P2) z1、-z2等是G(s)的零点,p1、-p2等是G(s)的零点。假设系统稳定,即所有的极点都位于左 半S平面 Ao 系统的输入可以写成拉氏变换的形式:R(s)= (s+jo(s-jo) 于是输出为:C(s)=G(s)R(s)= KAas+z(s+z, (s+jo(s-j0)(s+P1)(s+P2) 使用部分分式法进行展开 C(s)= s+@ s-yo s+p, st p2 推出:c(1)=Ke+K2e+K3em+Kem+ 因为系统是稳定的,所以当t→∞时,eP,eP,会衰减为零,所以稳态下的输出 等于:Cn=limc(1)=Ke+K2e"a。 现在求留数K1、K2,使用留数定理: Aa(s+jo) AG K,=C()(s+jo)I (s+ jo)(s-jo) G(s) K2=C(s)(s-j@)sjo L(s+ ja)(s-jo)o(s)=AG(ja) Aa(s-jO) 将它们带入c的表达式中,得到稳态输出 AG(jde AG(oe 2 G(jiO)是一个复数,可以写成模和幅角的形式:G(j)=M(O)lo,其中 M()=(G(jo)而4(a)=∠G(o)。因为所有的复数零极点都是共轭复数对(前提条件
麻省理工学院 航天航空系 16.060 自动控制原理 2003 年秋季 第八次作业解答 第一题： 传递函数可以写成 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( )( ) K s z s z rl G s s p s p + + ⋅⋅⋅ = + + ⋅⋅⋅ 的形式，其中 Krl是 G(s)的根轨迹增益， -z1、-z2 等是 G(s)的零点，-p1、-p2 等是 G(s)的零点。假设系统稳定，即所有的极点都位于左 半 S 平面。 系统的输入可以写成拉氏变换的形式： ( ) ( )( ) A R s s j s j ω ω ω = + − 。 于是输出为： 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) K A s z s z rl C s G s R s s j s j s p s p ω ω ω + + ⋅⋅⋅ = = + − + + ⋅⋅⋅ 使用部分分式法进行展开： 1 2 4 3 1 2 ( ) K K K K C s s j s j s p s p ω ω = + + + + + − + + L 推出： 1 2 1 2 3 4 ( ) j t j t p t p t c t K e K e K e K e − ω ω − − = + + + +L 因为系统是稳定的，所以当t → ∞ 时， 1 2 , , p t p t e e − − K会衰减为零，所以稳态下的输出 等于： 1 2 lim ( ) j t j t ss t c c t K e K e − ω ω →∞ = = + 。 现在求留数 K1、K2，使用留数定理： 1 ( ) ( ) ( )( ) | ( ) ( )( ) 2 s j s j A s j AG j K C s s j G s s j s j j ω ω ω ω ω ω ω ω =− =− + − = + = ⋅ = + − − 2 ( ) ( ) ( )( ) | ( ) ( )( ) 2 s j s j A s j AG j K C s s j G s s j s j j ω ω ω ω ω ω ω ω = = − = − = ⋅ = + − 将它们带入 css 的表达式中，得到稳态输出： ( ) ( ) 2 2 j t j t ss AG j e AG j e c j j ω ω ω ω − − = + − G j ( ) ω 是一个复数，可以写成模和幅角的形式： ( ) ( ) ( ) j G j M e ω ω ω Φ = ，其中 M G j ( ) ( ) ω ω = 而Φ = ∠ ( ) ( ) ω ω G j 。因为所有的复数零极点都是共轭复数对（前提条件