第吕意制统的致学型 21学模型基础 22线性乘就的微分方程 23线性系绕的传递数 E4系统的结构 25信号跪及梅逊公式D 本章作业 Prr Eno
第二章 控制系统的数学模型 2.1 数学模型基础 2.2 线性系统的微分方程 2.3 线性系统的传递函数 2.4 系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式 End 本章作业
2.1教学棋型基础 2.22.32.42.5 1定义:数学模型是指出系统内部物理量(或变量)之间动态 关系的表达式。 2建立数学模型的目的 ●建立系统的数学模型,是分析和设计控制系统的首要工作 (或基础工作)。 ●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等, 然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此,通过数学 模型来研究自动控制系统,可以摆脱各种不同类型系统的外部特 征,研究其内在的共性运动规律
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.1 数学模型基础 2.5 2.建立数学模型的目的 ●建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作 （或基础工作）。 ●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等， 然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学 模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特 征，研究其内在的共性运动规律。 2.2 2.3 2.4
3,建模方法 分析法一一本课研究 实验法一—系统辨识课研究 4常用数学模型 微分方程(或差分方程) 传递函数(或结构图) 频率特性 状态空间表达式(或状态模型) 5由数学模型求取系统性能指标的主要途径 求解 观察 线性微分方程 时间响应 性能指标 傅氏变换 拉氏变换 拉氏反变换 估算估算 传递函数 -频率特性计算频率响应
3.建模方法 微分方程（或差分方程） 传递函数（或结构图） 频率特性 状态空间表达式（或状态模型） 5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径 求解 观察 线性微分方程 性能指标 传递函数 时间响应 频率响应 拉氏变换 拉氏反变换 估算 估算 计算 傅 氏 变 换 S=jω 频率特性 4.常用数学模型 − − − − 实验法 系统辨识课研究 分析法 本课研究
22性泉就的微分方程|2123 2.412.5 22.1微分方程的列写2.2231224 R1+ , Gdt dt C u(t) C (t) 化简得RC、na=u 口微分方程的列写步骤 1)确定系统的输入、输出变量; 2)从输入端开始,按照信号的传递顺序,根据各变量所遵循的 物理定理写出各微分方程; 3)消去中间变量,写出输入、输出变量的微分方程 4)变换成标准形式
2.2.1 微分方程的列写 = + i dt c ur i R 1 1 1 1 1 = i dt c uc 1 1 c r c u u dt du 化简,得 R1 C1 + = 2.2 线性系统的微分方程 R1 C1 i1 (t) ur (t) uc (t) ❑微分方程的列写步骤 1）确定系统的输入、输出变量； 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的 物理定理写出各微分方程； 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 4）变换成标准形式。 2.5 2.1 2.3 2.4 2.2.2 2.2.3 2.2.4
例2.1图为机械位移系统。试列写质量m在外力F作用下位移 y(t)的运动方程。 解:阻尼器的阻尼力:F()的 弹簧弹性力:F2()=y() dt m(t) =F(t)-F1(t)-F2() dt y(2) 整理得:m d y(t).dy( f+ky(t=F(t) t 例2,2如图RLC电路,试列写以a1(t)为输入量,u(t)为输出量 的网络微分方程。 Af: L"+u(t)+Ri(t)=u,(t) (tR t u()=-(r u(t) c=uc(t) LC d-u( + rc du, (t) 2 +u(t)=u, (t) dt dt
• 试列写质量m在外力F作用下位移 y(t)的运动方程。 dt dy t F t f ( ) ( ) 1 = ( ) ( ) 2 F t = ky t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 F t F t F t dt d y t m = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ky t F t dt dy t f dt d y t m + + = ( ) ( ) ( ) ( ) u t Ri t u t dt di t L + c + = r = i t dt c u t c ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 u t u t dt du t RC dt d u t LC c r c c + + = 例2.1 图为机械位移系统。 R L C i(t) ur (t) uc (t) F y(t) k f m • 例2.2 如图RLC电路，试列写以ur (t)为输入量，uc (t)为输出量 的网络微分方程。 整理得: 解: 阻尼器的阻尼力: 弹簧弹性力: • 解: 返回
222微分方程的类型2212222 非线性系统:用非线性微分方程描述。 ∫+ky2+y=F(t) dt 。线性系统:用线性微分方程描述。 线性定常系统:用线性微分方程描述,微分方程的系数是常数 dy dt +ky=F() 线性时变系统:用线性微分方程描述,微分方程的系数是 随时间而变化的。 f+k(oy=F(t) dt 线性系统的重要性质:满足叠加性和均匀性(齐次性)。即: 如果输入r(t→>输出y(,输入r2(t)>输出y2(t) 则输入ar1()+br2(t)>输出ay1(t)+by2(t)
• 非线性系统：用非线性微分方程描述。 ( ) 2 ky y F t dt dy f + + = ky F(t) dt dy f + = k(t) y F(t) dt dy f + = 2.2.2 微分方程的类型 • 线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。 • 线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即： 如果输入r1 (t)—>输出y1 (t)，输入r2 (t)—>输出y2 (t) 则输入a r1 (t)+b r2 (t) —>输出a y1 (t)+by2 (t) • 线性系统：用线性微分方程描述。 • 线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是 随时间而变化的。 2.2.1 2.2.3 2.2.4
223非线性元件微分方程的线性化2.112.2124 °严格地说,实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性,而 非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工 作范围内,可以用线性系统模型近似,称为非线性模型的线性化。 小偏差线性化:用台劳级数展开,略去二阶以上导数项。 假设:xy在平衡点(x0yo)附近变化,即 x=x0+△x,y=y0+△y 近似处理△ df(x) △v 数学方法 y=f(r y=+4y=f(x)+(x △x+ X=x dfe (△x)2+ 2!d X=x 略去高阶无穷小项 y=yo+△y=f(xn)dr(x) △x dx 0
x dx df x y x x = = 0 ( ) + = + = + + = = 2 2 2 0 0 ( ) ( ) 2! 1 ( ) ( ) 0 0 x dx d f x x dx df x y y y f x x x x x x dx df (x) y y y f(x ) x x0 = 0 + = 0 + = 2.2.3 非线性元件微分方程的线性化 小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。 一、假设：x,y在平衡点（x0 ,y0 )附近变化，即 x=x0+△x, y=y0+△y 二、近似处理 略去高阶无穷小项 • 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而 非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工 作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。 三、数学方法 2.2.1 2.2.2 2.2.4
22.4线性定常微分方程的求解2.12.212.2.3 求解方法:经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。 拉氏变换法求解步骤 1.考虑初始条件,对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换, 得到变量s的代数方程; 2.求出输出量拉氏变换函数的表达式; 3.对输出量拉氏变换函数求反变换,得到输出量的时域表达 式,即为所求微分方程的解。 R 例23已知R1=1,C1=1F,u(0)=0.1v, u(t)=1(t),求ut u(t) C= u(t) 解:RC1m+a= RC1SU(3)-RC12(0)+U2(3)=U(S) sU(s)-0.1+U((S)=U,(J) 0.1 s(S+1)s+1 l2(t=1-e+0.1e 零初始条件下取拉氏变换:R,C1sU(s)+U(s)=U(S) U,(s) U(S)R,CS+l
• 求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。 c r c u u dt du R1 C1 + = ( ) (0) ( ) ( ) 1 1 1 1 R C sU s R C u U s U s c − c + c = r sU (s) 0.1 U (s) U (s) c − + c = r 1 0.1 ( 1) 1 ( ) + + + = s s s U s c t t c u t e e − − ( ) = 1− + 0.1 2.2.4 线性定常微分方程的求解 R1 C1 i 1 (t) ur (t) uc (t) 例2.3 已知R1=1，C1=1F，uc (0)=0.1v, ur (t)=1(t)，求 uc (t) 拉氏变换法求解步骤： 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换， 得到变量s的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达 式，即为所求微分方程的解。 解： R C sU (s) U (s) U (s) 1 1 c + c = r R C s 1 1 U (s) U (s) r 1 1 c + = 零初始条件下取拉氏变换： 2.2.1 2.2.2 2.2.3
23传逼函教 2.12.22.412.5 231传递函数的定义2.32233|23.4 线性定常系统在零初始条件下,输出量的拉氏变换与输入量的 拉氏变换之比,称为传递函数。 d" c(t d" c(t) dc(t) dt 在1+…+n-1 +a,c(t) dt d rlt +b1 +…+b +bmr(t) dt dt dt (aos"+a,s+.+a-S+a,C(s) +b,s +.+bm-S+ BR(s) s+b G(S)= C(s)b0s"+b1s"+…+b n-1 R(S) H-1 0S+a1S+…+an1S+a
2.3.1 传递函数的定义 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 b r t dt dr t b dt d r t b dt d r t b a c t dt dc t a dt d c t a dt d c t a m m m m m m n n n n n n = + + + + + + + + − − − − − − n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b R s C s G S + + + + + + + + = = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 0 1 b s b s b s b R s a s a s a s a C s m m m m n n n n = + + + + + + + + − − − − 2.3 传递函数 • 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的 拉氏变换之比，称为传递函数。 2.1 2.2 2.4 2.5 2.3.2 2.3.3 2.3.4
例24如图RLC电路,试列写网络传递函数U(s)/U(s) 参见LCn2+h( +u2(t)=u1() (t)R L dt 解:1)零初始条件下取拉氏变换: ur(t) C (t) LCSU(S)+RCSU (s)+U(S=U(s) 传递函数:G(s)= U(s) (((((((s)R_ mY U (s) LCS+RCs+1 2)变换到复频域来求。 U(s) 1/sC=U(s) 23.2、传递函数的性质 1)传递函数是复变量S的有理真分式函数,分子多项式的次数 m低于或等于分母多项的次数n,所有系数均为实数; 2)传递函数只取决于系统和元件的结构,与输入信号无关; 3)传递函数与微分方程有相通性,可经简单置换而转换; 4)传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。 5)传递函数是在零初始条件下定义的,它只反应系统的零状态 特性;零初始条件含义要明确
试列写网络传递函数Uc (s)/Ur (s). ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 u t u t dt du t RC dt d u t LC c r c c + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 LCs U s RCsU s U s U s c + c + c = r 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 + + = = U s LCs RCs U s G s r c 例2.4 如图RLC电路， R L C i(t) ur (t) uc (t) R Ls 1/sC I(s) Ur (s) Uc (s) 1) 传递函数是复变量S的有理真分式函数，分子多项式的次数 m 低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数； 2) 传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关； 3) 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换； 4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。 5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态 特性；零初始条件含义要明确。 参见 解:1) 零初始条件下取拉氏变换： 传递函数： 2) 变换到复频域来求。 2.3.2、传递函数的性质
