西南科技大学：《自动控制原理》第八章 采样系统理论

意解统理论 81离散的基欐念 82信号的乘样与保持 83Z变换与Z反变换 84离散系统的学模型 85稳定性与稳态候差 86高散系辘的动态性能分析 章作业D

第八章 采样系统理论 8.1 离散系统的基本概念 8.2 信号的采样与保持 8.3 Z变换与Z反变换 8.4 离散系统的数学模型 8.5 稳定性与稳态误差 8.6 离散系统的动态性能分析 End 本章作业

8.1高散泉的基本机念 今有关概念 8.28.38.48.58.6 1.离散信号:仅定义在离散时间上的信号称离散信号,离散信 号以脉冲或数码的形式呈现 2.离散系统:系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。 典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下: r()、e( AD数字控制器 被控对象 c(t DIA 数字计算机 测量元件 计算机控制系统典型原理图 ⑩:模数转换器,将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。 包括采样与量化两过程。 DA:数模转换器,将离散的数字信号转换为连续的模拟信 号。包括解码与复现两过程

❖ 有关概念 A/D 数字控制器 D/A 被控对象 测量元件 e*(t) 数字计算机 r(t) e(t) u*(t) uh (t) c(t) _ 计算机控制系统典型原理图 2. 离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。 典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下： A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。 包括采样与量化两过程。 1.离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信 号以脉冲或数码的形式呈现。 D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信 号。包括解码与复现两过程。 8.1 离散系统的基本概念 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

t (a)连续信号 (b)离散信号 (c)离散量化信号 图77A/D转换过程 4T 5T 6T 图7-8D/A转换过程

( a ) 连续信号 t ( b) 离散信号 t ( c ) 离散量化信号 t

陪散控制系统的特点 1.校正装置效果比连续式校正装置好,且由软件实 现的控制规律易于改变,控制灵活。 2.采样信号,特别是数字信号的传递能有效地抑制 噪声,从而提高系统抗干扰能力。 3.可用一台计算机分时控制若干个系统,提高设备 利用率 4.可实现复杂控制规律,且可以在运行中实时改变 响应参数

❖离散控制系统的特点 1. 校正装置效果比连续式校正装置好，且由软件实 现的控制规律易于改变，控制灵活。 2. 采样信号，特别是数字信号的传递能有效地抑制 噪声，从而提高系统抗干扰能力。 3. 可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备 利用率。 4. 可实现复杂控制规律，且可以在运行中实时改变 响应参数

82信号的采与保持 品8.2.,1.样过程与采样定理822 8.18.38.48.58.6 样过程 数学描述:把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采 样器,又叫采样开关。采样过程可用下图表示。 e(t e'(=c(060,其中6()=-n)为理想单位脉冲序列。则: e'()=∑e(nm)(-m)对上式取拉氏变换,得E(s)=Lle()l=2mT)e 例8.1e(O)=e,试写出e()表达式。解:c'(t)=∑emro(r-m7) 物理意义:可看成是单位理 n=0 想脉冲串8(被输入信号e()进 行调制的过程,如右图所示。 () br(4) 在图中,8(为载波信 号;()为调制信号 为理想输出脉冲序列。 OT27374T

e * (t)=e(t)δ r (t), 其中 为理想单位脉冲序列。则： 8.2 信号的采样与保持   = = − 0 ( ) ( ) n  T t  t nT   = = − 0 * ( ) ( ) ( ) n e t e nT  t nT   = − = = 0 * * ( ) [ ( )] ( ) n nTs 对上式取拉氏变换 E s L e t e nT e ,得 例8.1 e(t)=e at ,试写出e * (t)表达式。   =  =  − 0 ( ) ( ) n anT 解 ：e t e  t nT  物理意义：可看成是单位理 想脉冲串T (t) 被输入信号e(t)进 行调制的过程，如右图所示。 在图中，T(t)为载波信 号；e(t)为调制信号；e *(t) 为理想输出脉冲序列。  8.2.1 采样过程与采样定理 e(t) t e * (t) t e(t) e * S (t) ➢采样过程  数学描述：把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采 样器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。 8.2.2 8.1 8.3 8.4 8.5 8.6

样定理设计控制系统必须严格遵守的一条准则 问题的提出 连续信号e(1)经过采样后,只能给出采样点上的数值,不能知 道各采样时刻之间的数值。从时域上看,采样过程损失了e(t)所含 的信息。 怎样才能使采样信号e()大体上反映e()的变化规律呢? (a)连续信号 (b)离散信号 2.定性分析 如果连续信号e(ω)变化缓慢(最大角频率m较低),而采样 角频率比较高(即采样周期T=2m/a较小),则e()基本上能反 映e(t)的变化规律。 3.采样定理(香农定理) 如果采样器的输入信号最高角频率为O、,则只有当采样频率 O≥20y、,才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号

---设计控制系统必须严格遵守的一条准则。 1. 问题的提出 连续信号e(t)经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知 道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了e(t)所含 的信息。 ➢采样定理 (a)连续信号 t (b)离散信号 t 2. 定性分析 如果连续信号e(t)变化缓慢（最大角频率max较低〕，而采样 角频率s比较高（即采样周期T=2/s较小〕，则e * (t)基本上能反 映e(t)的变化规律。 3. 采样定理（香农定理） 如果采样器的输入信号最高角频率为ωmax，则只有当采样频率 ωs ≥2ωmax,才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。 怎样才能使采样信号e * (t)大体上反映e(t)的变化规律呢？

822信号复现及零阶保持器82 信号复现 将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装 置称为保持器或复现滤波器 ■零阶保持器 零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器。零 阶保持器的输入输出特性可用下图描述。 e e(t) el(t 零阶保持器 G零阶保持器的数学表达式为e(n7+△)=e(m⑦);其脉冲响应 为g1(0=1(0)-1(),传递函数为 G()=lg1(o)=1e1-e2

8.2.2 信号复现及零阶保持器 ▪ 信号复现 将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装 置称为保持器或复现滤波器。 eh e (t) * (t) e * (t) t 零阶保持器 eh (t) t  零阶保持器的数学表达式为e(nT+△t)=e(nT)；其脉冲响应 为gh (t)=1(t)-1(t-T)，传递函数为 s e s e s G s L g t Ts Ts h h − − − = = − = 1 1 ( ) [ ( )] ▪ 零阶保持器 零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器。零 阶保持器的输入输出特性可用下图描述。 8.2.1

83Z支换与Z反叟换 8.18.28.48.58.6 8.3.1Z变换性质832 1.乙变换的定义E(S)=Le()=∑e(mm)e-n 令z=e,则E()=∑em)z"=e(0)+e()zx+e(2n)z2+ 即为Z变换的定义式 称E(z)为e(0)的Z变换,记作Ze()=E(z),或Ze(O)=E(z) 2.乙变换方法 (1)级数求和法 将Z变换的定义式展开: E(z)=e(0)+e()z1+e(2Tz2+.+e(n)x+… 对于常用函数Z变换的级数形式,都可以写出其闭合形式。 (2)部分分式法 ①先求出已知连续时间函数e()的拉氏变换E(s); ②将E()展开成部分分式之和的形式; ③求拉氏反变换,再求Z变换E(z)

8.3 Z变换与Z反变换 8.3.1 Z变换 1. Z变换的定义 令z=e Ts , 则 =e(0)+e(T)z -1+e(2T)z -2+…   = − = = 0 * * ( ) [ ( )] ( ) n nTs E s L e t e nT e   = − = n 0 n E(z) e(nT)z 2. Z变换方法 (1) 级数求和法 将Z变换的定义式展开： E(z)=e(0)+e(T)z -1+ e(2T)z -2+…+ e(nT)z -n+… (2) 部分分式法 对于常用函数Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。 ① 先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E(s)； ② 将E (s)展开成部分分式之和的形式； ③ 求拉氏反变换，再求Z变换E(z)。 即为Z变换的定义式。 称E(z)为e * (t)的Z变换, 记作 Z[e * (t)]=E(z), 或 Z[e(t)]=E(z) 8.1 8.2 8.4 8.5 8.6 性质 8.3.2

3.典型信号的乙变换 (1)单位脉冲函数e()=0(0 E(z) ∑ e(nt)z=1z=l (2)单位阶所函数e(0)=1(0 E(z)=∑1(m)z=1+x1+z2+…= =,(z|1) (3)单位理想冲序列e(=61(0 E(z)=∑6(m7)z=1+z+x2+…= (z|>1) (4)单位斜放信号(0=,则E(2)=∑nrz 对比(2)中结果,有∑”=21 两端对球求导数,得∑(-m)zn1= (z-1) 两边同乘(Tz),得单位斜坡信号的z变换 ∑n7:z (z>1)

对比(2)中结果，有 ( ) ( ) 1 1 0 0 =  = =  = − E z e nT z z n n (| z | 1) 1 1 1 ( ) 1( ) 1 z z 1 -1 -2 0  − = − = = + + + = −  = −  z z z E z nT z n n  (| z | 1) 1 1 1 ( ) ( ) 1 z z 1 -1 -2 0  − = − = = + + + = −  = −  z z z E z nT z n n  T  (4) 单位斜坡信号 e(t)=t，则   = − =  0 ( ) n n E Z nT z 3. 典型信号的Z变换 两边同乘(-Tz)，得单位斜坡信号的z变换 两端对z求导数，得 0 − 1  =  = − z z z n n 2 0 1 ( 1) 1 ( ) − −  − =  = − − z n z n n ,( 1) ( 1) 2 0  −   =  = − z z Tz nT z n n （3） 单位理想脉冲序列 e(t)=δT (t) （1） 单位脉冲函数 e(t)=δ(t) （2） 单位阶跃函数e(t)=1(t)

(5)指数函数c()=em(a为实常数),则 E(Z)=2 n7 3+e-3a7 1+e·z1+e-2m·z2 z+ 这是一个公比为(cx)的等比级数,当exk1时,级数 收敛则可写成闭合形式E(2)=1e"z-e z (6)正弦信号e()=inot,因为sino=.(e1m-em) 所以 2j E(z)= janT e e1o1)·z ∑(emn·z")-∑(e厘.z") H=0 利用()、()式,有 z(e/n - e n) E(z) tejar ioT 2j=z(e or z-e +e-1)+1 z· sin ol z4-2Z COS @T+1

(5) 指数函数 e(t)=e -at (a为实常数〕，则 1 (*) ( ) 1 2 2 3 3 0 = +  +  +  + =  − − − − − −  = − −  e z e z e z  E Z e z a T a T a T n anT n 这是一个公比为(e -aTz -1 )的等比级数，当| e -aT z -1 |<1时，级数 收敛,则可写成闭合形式 (**) 1 1 ( ) 1 − = − = −a T − −a T z e z e z E Z 所以 利用(*)、(**)式，有 (6) 正弦信号 e(t)=sin t , 因为 ( ) 2 1 sin j T j T e e j t    − = − [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 2 1 ( ) 0 0 0     = − −  = −  = − − =  −  = −  n j nT n n j nT n n j nT j nT n e z e z j e e z j E z     2 cos 1 sin ] ( ) 1 ( ) [ 2 1 [ ] 2 1 ( ) 2 2 − +  = − + + − = − − − = − − − z z T z T z z e e z e e z e j z z e z j E z j T j T j T j T j T j T        