《信号与系统》第4章 连续信号与系统的复频域分析（沈元隆、周井泉）

信号与系统 第四章

信号与系统 第四章

第4章连续信号与系统的复频域分析 41拉普拉斯变换 42典型信号的拉普拉斯变换 43拉普拉斯变换的性质 44拉普拉斯反变换 4.5拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 46连续系统的复频域分析 47系统函数 48由系统函数的零、极点分析系统特性 49连续系统的稳定性 410系统的信号流图 习题4

第4章 连续信号与系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换 4.2 典型信号的拉普拉斯变换 4.3 拉普拉斯变换的性质 4.4 拉普拉斯反变换 4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 4.6 连续系统的复频域分析 4.7 系统函数 4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性 4.9 连续系统的稳定性 4.10 系统的信号流图 习题4

第4章连续信号与系统的复频域分析 傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面(如分析谐波 成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等)是十 分有效的。但在应用这一方法时,信号必须满足狄里赫 勒条件。而实际中会遇到许多信号,例如阶跃信号ε(1)、斜 坡信号lε(D)、单边正弦信号sine()等,它们并不满足绝对可 积条件,从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。 虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换,但其 变换式中常常含有冲激函数,使分析计算较为麻烦。此外 还有一些信号,如单边指数信号ea()(>0),则根本不存 在傅里叶变换,因此,傅里叶变换的运用便受到一定的限 制,其次,求取傅里叶反变换有时也是比较困难的,此处 尤其要指岀的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应, 这对具有初始状态的系统确定其响应也是十分不便的。因 此,有必要寻求更有效而简便的方法,人们将傅里叶变换 推广为拉普拉斯变换(LT. Laplace transform)

第4章 连续信号与系统的复频域分析 傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波 成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等）是十 分有效的。但在应用这一方法时，信号f(t)必须满足狄里赫 勒条件。而实际中会遇到许多信号，例如阶跃信号(t)、斜 坡信号t(t)、单边正弦信号sint(t)等，它们并不满足绝对可 积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。 虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其 变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。此外， 还有一些信号，如单边指数信号e t(t) (>0)，则根本不存 在傅里叶变换，因此，傅里叶变换的运用便受到一定的限 制，其次，求取傅里叶反变换有时也是比较困难的，此处 尤其要指出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应， 这对具有初始状态的系统确定其响应也是十分不便的。因 此，有必要寻求更有效而简便的方法，人们将傅里叶变换 推广为拉普拉斯变换（LT: Laplace Transform）

本章首先从傅里叶变换导出拉普拉斯变换,对拉普拉斯变 换给出一定的物理解释;然后讨论拉普拉斯正、反变换以 及拉普拉斯变换的一些基本性质,并以此为基础,着重讨 论线性系统的复频域分析法;应用系统函数及其零极点来 分析系统的时域特性、频域特性等。 4.1拉普拉斯变换 41.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号八1)之所以不能满足绝对可积的条件,是由于当t∞或 t>-∞o时,f(t)不趋于零。如果用一个实指数函数e去乘 f(),只要σ的数值选择得适当,就可以克服这个困难。例 如,对于信号 bt ent≥0 a t t<0

本章首先从傅里叶变换导出拉普拉斯变换，对拉普拉斯变 换给出一定的物理解释；然后讨论拉普拉斯正、反变换以 及拉普拉斯变换的一些基本性质，并以此为基础，着重讨 论线性系统的复频域分析法；应用系统函数及其零极点来 分析系统的时域特性、频域特性等。 4.1 拉普拉斯变换 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号f(t)之所以不能满足绝对可积的条件，是由于当t→或 t→ - 时，f ( t )不趋于零。如果用一个实指数函数e - t去乘 f(t)，只要的数值选择得适当，就可以克服这个困难。例 如，对于信号       = e 0 e 0 ( ) t t f t a t b t

式中a、b都是正实数,且a>b。只要选择a>σ>b,就能 保证当t→>∞和1-∞时,f(t)e均趋于零。通常把eam 称为收敛因子。f(1)乘以收敛因子e后的信号f(t)e的傅 里叶变换为 FIf(te o]= f(te a e jo dt f(t)e (+jo) 它是σ+JO的函数,可写成 F(o+ jo)=f(e jo)r 记为 F(s)= f(te dt

式中a、b都是正实数，且a > b 。只要选择a >  > b，就能 保证当 t→  和 t→ － 时，f ( t )e-t均趋于零。通常把e -t 称为收敛因子。f ( t )乘以收敛因子e -t后的信号f ( t )e-t的傅 里叶变换为 它是 的函数，可写成   − − − − f t e = f t e e dt t t jt F[ ( ) ] ( )   − − + = f t e dt ( j )t ( )    + j F( j ) f t e dt j t     + = − + −   ( ) ( )   − − F s = f t e dt st 记为 ( ) ( )

其傅氏反变换为 f(t)e F(seda 最后得到 F(s)=f(te"sdt (4.1-5) O+10 f(O)=n∫F(sed.(416) 2T j 式(41-5)称为∫(1)的双边拉普拉斯变换( bilateral Laplace Transform),称F(s)是f(t)的象函数。而式(416)是F(s) 的双边拉普拉斯反变换,称f()是F(s)的原函数。 式(41-5)和(4.1-6)称为双边拉普拉斯变换对,可以用 双箭头表示f(t)与FS)之间这种变换与反变换的关系 iEF(s)=Llf(tlf(t=L F(s) f(1)<>F(s)

最后得到 式（4.1-5）称为f (t)的双边拉普拉斯变换(bilateral Laplace Transform)，称F(s）是f ( t )的象函数。而式 (4.1-6) 是F（s） 的双边拉普拉斯反变换，称 f (t) 是F(s)的原函数。 式（4.1-5）和（4.1-6）称为双边拉普拉斯变换对，可以用 双箭头表示f ( t )与F(s)之间这种变换与反变换的关系 其傅氏反变换为   − − =     f t e F s e d t j t ( ) 2 1 ( )   − − F s = f t e dt st ( ) ( ) f t ( ) j F s e d s s t j j ( )= −  +   1 2   （4.1-5） （4.1-6） F(s) [ f (t)], f (t) [F(s)] - 1 记 = L = L f (t)  F(s)

从上述由傅氏变换导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出,f (t)的双边拉普拉斯变换F(s)=F(σ+j0)是把f(1)乘以e之后 再进行的傅里叶变换,或者说F(s)是∫(t)的广义傅里叶变换。 而f(t)e较容易满足绝对可积的条件,这就意味着许多原来 不存在傅里叶变换的信号都存在广义傅里叶变换,即双边拉普 拉斯变换,于是,拉普拉斯变换扩大了信号的变换范围。 拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本区别在于:傅里叶变换是将 时间域函数f(t)变换为频率域函数f(O),或作相反的变换,此 处时域变量t和频域变量⑩都是实数;而拉普拉斯变换则是 将时间域函数f(t)变换为复频域函数F(s),或作相反的变换, 这里时域变量t是实数,复频变量s是复数。概括地说,傅里 叶变换建立了时域和频域(ω域)间的联系,而拉普拉斯变换 则建立了时域和复频域(S域)间的联系

从上述由傅氏变换导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出，f ( t ) 的双边拉普拉斯变换F(s)=F( )是把f ( t )乘以e -  t之后 再进行的傅里叶变换，或者说F(s)是f ( t ) 的广义傅里叶变换。 而f ( t )e -  t 较容易满足绝对可积的条件，这就意味着许多原来 不存在傅里叶变换的信号都存在广义傅里叶变换，即双边拉普 拉斯变换，于是，拉普拉斯变换扩大了信号的变换范围。 拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本区别在于：傅里叶变换是将 时间域函数f ( t )变换为频率域函数F( )，或作相反的变换，此 处时域变量 t 和频域变量 都是实数；而拉普拉斯变换则是 将时间域函数f ( t ) 变换为复频域函数F(s)，或作相反的变换， 这里时域变量 t 是实数，复频变量 s 是复数。概括地说，傅里 叶变换建立了时域和频域 ( 域) 间的联系，而拉普拉斯变换 则建立了时域和复频域（S域）间的联系。  + j   

41.2拉普拉斯变换的收敛域 从以上讨论可知,当信号f()乘以收敛因子e后,就有可能 满足绝对可积的条件。然而,是否一定满足,还要看f()的 性质与σ值的相对关系而定。也就是说,对于某一函数f() 通常并不是在所有的σ值上都能使式(4.1-5)的积分收敛, 即并不是对所有的σ值而言,函数f(t)都存在拉普拉斯 变换,而只是在σ值的一定范围内,f(t)才存在拉普拉斯 变换。通常把使∫(leα满足绝对可积条件的σ值的范围称 为拉普拉斯变换的收敛域(ROC:; region of convergence)。 在收敛域内,函数的拉普拉斯变换存在,在收敛域外,函 数的拉普拉斯变换不存在。 双边拉普拉斯变换对并不一一对应,即便是同一个双边拉 普拉斯变换表达式,由于收敛域不同,可能会对应两个完 全不同的时间函数。因此,双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域

4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域 从以上讨论可知，当信号f (t)乘以收敛因子e -t后，就有可能 满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看f (t)的 性质与  值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数f (t)， 通常并不是在所有的  值上都能使式(4.1-5)的积分收敛， 即并不是对所有的  值而言，函数 f ( t )都存在拉普拉斯 变换，而只是在  值的一定范围内，f ( t )才存在拉普拉斯 变换。通常把使 f (t)e-t 满足绝对可积条件的  值的范围称 为拉普拉斯变换的收敛域 ( ROC: region of convergence )。 在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函 数的拉普拉斯变换不存在。 双边拉普拉斯变换对并不一一对应，即便是同一个双边拉 普拉斯变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个完 全不同的时间函数。因此，双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域

413(单边)拉普拉斯变换 考虑到实际中遇到的信号都是有始(因果)信号,即t<0时 f(t)=0,以及信号虽然不起始于0,而问题的讨论只须考虑信 号≤0的部分。在这两种情况下,式(4.1-5)可改写为 F(s)=f(te-s"at (4.1-8) 上式称为fω)的单边拉普拉斯变换( unilateral Laplace ransform),记为￡f()]。相应的反变换为 (4.1-9) 记为[F()]。即 F(s)=f[f(t)]和f()=￡[F(s)

4.1.3 （单边）拉普拉斯变换 考虑到实际中遇到的信号都是有始（因果）信号，即 t 0 (4.1-9） 记为£-1 [ F(s)]。即 F(s) =£[ f (t) ] 和 f (t) = £–1 [ F (s) ]  0   − − = 0 F(s) f (t)e dt st f t ( ) j F s e d s s t j j ( )= −  +   1 2  

式(41-8)中积分下限用0-而不用0,目的是可把t=0 时出现的冲激考虑到变换中去,当利用单边拉普拉斯变换 解微分方程时,可以直接引用已知的起始状态∫(0-)而求得 全部结果,无需专门计算0-到0+的跳变。 由于在分析因果系统,特别是具有非零初始条件的线性 常系数微分方程时,单边拉普拉斯变换具有重要价值,所 以,我们在下文中讨论的拉普拉斯变换(简称拉氏变换) 都是指单边拉普拉斯变换 如果因果信号f(t)满足:(1)在有限区间a0) (4.1-10) 则对于Res]=σ>a,拉普拉斯变换积分式(41-8)绝对 且一致收敛。即f(t)存在拉普拉斯变换

式（4.1-8）中积分下限用0－而不用0＋ ，目的是可把t = 0－ 时出现的冲激考虑到变换中去，当利用单边拉普拉斯变换 解微分方程时，可以直接引用已知的起始状态f (0－)而求得 全部结果，无需专门计算0－到0＋的跳变。 由于在分析因果系统，特别是具有非零初始条件的线性 常系数微分方程时，单边拉普拉斯变换具有重要价值，所 以，我们在下文中讨论的拉普拉斯变换（简称拉氏变换） 都是指单边拉普拉斯变换。 如果因果信号f ( t )满足：（1）在有限区间a 0，拉普拉斯变换积分式（4.1-8）绝对 且一致收敛。即f ( t )存在拉普拉斯变换。 lim ( ) 0 ( )   0  =  − → t t f t e