信号与系统 第五章
信号与系统 第五章
第5章离散信号与系统的时域分析 51离散时间信号 52离散系统的数学模型和模拟 53离散系统的零输入响应 54离散系统的零状态响应 习题5
第5章 离散信号与系统的时域分析 5.1 离散时间信号 5.2 离散系统的数学模型和模拟 5.3 离散系统的零输入响应 5.4 离散系统的零状态响应 习题5
第五章离散信号与系统的时域分析 在本章以前,我们所讨论的系统均属连续时间系统, 这类系统用于传输和处理连续时间信号。此外,还有 类用于传输和处理离散时间信号的系统称之为离散时间 系统,简称离散系统。数字计算机以及数字通信系统和 数字控制系统的主要部分均属于离散系统。鉴于离散系 统在精度、抗干扰能力和可集成化等诸方面,比连续系 统具有更大的优越性。随着数字技术和计算机技术的飞 速发展,大量原属于连续信号和系统的问题,越来越多 地转化成离散信号和系统的问题加以处理。 关于离散信号和系统的分析,在许多方面都与连续信号 和系统的分析相类似,两者之间具有一定的平行关系。 在系统特性的描述方面,连续系统输入-输出关系的数学 模型是微分方程。离散时间系统输入-输出关系的数学模 型是差分方程;在系统分析方法方面,连续系统有时域
第五章 离散信号与系统的时域分析 在本章以前，我们所讨论的系统均属连续时间系统， 这类系统用于传输和处理连续时间信号。此外，还有一 类用于传输和处理离散时间信号的系统称之为离散时间 系统，简称离散系统。数字计算机以及数字通信系统和 数字控制系统的主要部分均属于离散系统。鉴于离散系 统在精度、抗干扰能力和可集成化等诸方面，比连续系 统具有更大的优越性。随着数字技术和计算机技术的飞 速发展，大量原属于连续信号和系统的问题，越来越多 地转化成离散信号和系统的问题加以处理。 关于离散信号和系统的分析，在许多方面都与连续信号 和系统的分析相类似，两者之间具有一定的平行关系。 在系统特性的描述方面，连续系统输入-输出关系的数学 模型是微分方程。离散时间系统输入-输出关系的数学模 型是差分方程；在系统分析方法方面，连续系统有时域
频域和S域分析法,离散系统有时域、频域和Z域分析法; 在系统响应的分解方面,则都可以分解为零输入响应和零 状态响应,等等。无疑,在进行离散信号与系统的学习时, 经常把它与连续信号与系统相对比,这对于其分析方法的 理解、掌握和运用是很有帮助的。但应该指出,既然是两 类不同的问题,离散信号与系统有自己的特殊性,必然存 在一些差别,学习时也应该注意这些差别。 本章讨论离散信号与系统的时域分析。 51离散时间信号 511离散时间信号的时域描述 连续时间信号,在数学上可以表示为连续时间变量t的函数, 除个别间断点外,这些信号的波形是光滑的曲线,如图5.1 1(a)所示,这一类信号称为模拟信号( analog signal)
频域和S域分析法，离散系统有时域、频域和Z域分析法； 在系统响应的分解方面，则都可以分解为零输入响应和零 状态响应，等等。无疑，在进行离散信号与系统的学习时， 经常把它与连续信号与系统相对比，这对于其分析方法的 理解、掌握和运用是很有帮助的。但应该指出，既然是两 类不同的问题，离散信号与系统有自己的特殊性，必然存 在一些差别，学习时也应该注意这些差别。 本章讨论离散信号与系统的时域分析。 5.1 离散时间信号 5.1.1 离散时间信号的时域描述 连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量t的函数， 除个别间断点外，这些信号的波形是光滑的曲线，如图5.1- 1（a）所示，这一类信号称为模拟信号（analog signal）
大多数客观存在的信号都是属于这一类信号。还有一类信号 (如电报信号等),虽然它的时间取值是连续的,但它的幅度 却只限于有限个数值,这一类信号称为量化信号( quantized signal),如图5.1-1(b)所示。以上两类信号都是连续时间信 号。 离散时间信号(简称离散信号, discrete signal)与连续时间 信号不同,它仅在一系列离散的时刻才有定义,因此它是离散 时间变量t的函数,如图51-1(c)所示的离散信号只在t1、t2、 时刻有定义,在t和t2,t2和12…之间则没有定义。如果信号 不仅在时间取值是离散的,而且在幅度上又是量化的,则称为 数字信号( digital signal),如图5.1-1(d)所示,在数字通信 和计算机中传输和处理的信号就是数字信号。今后所讨论的离 散信号,可以是数字信号,也可以不是。两者在分析方法上并 无区别。 有些信号尽管它们实际上是连续的,但是如果满足取样定理的 要求,仅对它们的取样值感兴趣,或者由于无法或没有必要
大多数客观存在的信号都是属于这一类信号。还有一类信号 （如电报信号等），虽然它的时间取值是连续的，但它的幅度 却只限于有限个数值，这一类信号称为量化信号（quantized signal），如图5.1-1（b）所示。以上两类信号都是连续时间信 号。 离散时间信号（简称离散信号，discrete signal）与连续时间 信号不同，它仅在一系列离散的时刻才有定义，因此它是离散 时间变量t k的函数，如图5.1-1（c）所示的离散信号只在t 1、t 2、 t 3…时刻有定义，在t 1和t 2，t 2和t 3…之间则没有定义。如果信号 不仅在时间取值是离散的，而且在幅度上又是量化的，则称为 数字信号（digital signal），如图5.1-1（d）所示，在数字通信 和计算机中传输和处理的信号就是数字信号。今后所讨论的离 散信号，可以是数字信号，也可以不是。两者在分析方法上并 无区别。 有些信号尽管它们实际上是连续的，但是如果满足取样定理的 要求，仅对它们的取样值感兴趣，或者由于无法或没有必要了
解它们整个过程的连续变化情况,而只能或只需测得其取 样值,也可以把它们当作离散时间信号来看待。所以离散 时间信号可以是连续时间信号经过离散化(即取样)的结 果 用f()表示离散时间信号,其中←表示离散的时刻,通常离 散时刻之间的间隔T是均匀的,即T 为常量,故可以 用f(kT)来表示离散时间信号,简写为f(k)。也就是说离散 时间信号抽象为离散变量k的函数,这里k的取值为整数。 这样做不仅简便而且具有更为普遍的意义,即离散变量k可 以不限于代表时间。离散信号在数学上可以表示为数值的 序列,为了方便,序列(k)与序列的第k个值两者在符号上 不加区别。 离散信号的函数值是一个序列{,3,1,0,Q,1,3, 6,…}(下面画有短线的数值是序号k=0的数值)。它的
解它们整个过程的连续变化情况，而只能或只需测得其取 样值，也可以把它们当作离散时间信号来看待。所以离散 时间信号可以是连续时间信号经过离散化（即取样）的结 果。 用f (t k )表示离散时间信号，其中 t k表示离散的时刻，通常离 散时刻之间的间隔T是均匀的，即T= tk+1- t k为常量，故可以 用f (kT )来表示离散时间信号，简写为f (k)。也就是说离散 时间信号抽象为离散变量k的函数，这里k的取值为整数。 这样做不仅简便而且具有更为普遍的意义，即离散变量k可 以不限于代表时间。离散信号在数学上可以表示为数值的 序列，为了方便，序列f (k)与序列的第k个值两者在符号上 不加区别。 离散信号的函数值是一个序列 {…，3，1，0，0，1，3， 6，… } (下面画有短线的数值是序号k = 0的数值 )。它的
图形如图5.1-2所示,为了醒目,这些离散值画成一条条不同 高度的垂线,其中每条垂线的端点才是实际的函数值。 根据离散变量k的取非零值范围,序列可分为以下三种情况: 若序列f(k)对所有的整数)都存在非零确定值,称这类序列 为双边序列。 若当k≤k时,f(k)=0,则/(k)称为有始序列或右边 序列,反之若当k≥k2时,f(k)=0,则(k)称为有终序列 或左边序列。而k1≥0的有始序列称为因果序列,k1≤0 的有终序列称为反因果序列。统称为单边序列 若/(k)仅在k≤k≤k2(k2>k1,整数)区间有非零确定 值,称这类序列为有限序列
图形如图5.1-2所示，为了醒目，这些离散值画成一条条不同 高度的垂线，其中每条垂线的端点才是实际的函数值。 根据离散变量k的取非零值范围，序列可分为以下三种情况： 若序列f (k) 对所有的整数)都存在非零确定值，称这类序列 为双边序列。 若 ，则f (k) 称为有始序列或右边 序列，反之若 ，则f (k) 称为有终序列 或左边序列。而 的有始序列称为因果序列， 的有终序列称为反因果序列。统称为单边序列。 若f (k)仅在 ，整数)区间有非零确定 值，称这类序列为有限序列。 当k k1 时，f (k) = 0 当k k2 时，f (k) = 0 k1 0 k1 0 1 2 2 1 k k k (k k
512离散信号的一些基本运算 在离散信号与系统分析中,常遇到序列的某些基本运算。 1.序列相加 序列f/(k)与/(k)相加,是指两个序列同序号的数值逐项相 应相加,而构成一个新的序列f(k),即 f(k)=f1(k)+f2(k) (51-1) 2.序列相乘 序列f(k)与(k)相乘,是指两个序列同序号的数值逐项相 应相乘,而构成一个新的序列f(k),即 f(k)=f1(k)·f2(k) (51-2)
5.1.2 离散信号的一些基本运算 在离散信号与系统分析中，常遇到序列的某些基本运算。 1. 序列相加 序列f1 (k) 与f2 (k)相加，是指两个序列同序号的数值逐项相 应相加，而构成一个新的序列f(k) ，即 （5.1-1） 2. 序列相乘 序列f1 (k) 与f2 (k)相乘，是指两个序列同序号的数值逐项相 应相乘，而构成一个新的序列f(k) ，即 ( ) ( ) ( ) 1 2 f k = f k + f k ( ) ( ) ( ) 1 2 f k = f k f k （5.1-2）
3.序列折叠与位移 f(k)的自变量k如果用-代替,即得到一个新序列f(-k), 表示∫(k)相对于纵轴翻转,称为序列折叠。如图5.1-3(b) 所 序列向后(右)移位是指原序列f(k逐项依次后移或右 移m位,而得到一个新的序列(km);序列向前(左)移 位是指原序列f(k)逐项前移或左移m位,而得到一个新的序 列(k+m)。分别如图51-3(c)、(d)所示。 4.序列的差分 序列f(k)的一阶前向差分( forward difference)4f(k)定义 为 4yf(k)=f(k+1)-f(k) 5.1-3)
3. 序列折叠与位移 f (k)的自变量k如果用-k代替，即得到一个新序列f (-k)， 表示f (k)相对于纵轴翻转，称为序列折叠。如图5.1-3（b） 所示。 序列向后（右）移位是指原序列f (k)逐项依次后移或右 移m位，而得到一个新的序列f (k-m)；序列向前（左）移 位是指原序列f (k)逐项前移或左移m位，而得到一个新的序 列f(k+m)。分别如图5.1-3（c）、（d）所示。 4. 序列的差分 序列f (k)的一阶前向差分（forward difference）Δf (k)定义 为 f (k) = f (k +1) − f (k) （5.1-3）
阶后向差分( backward difference)定义为 Vf(k)=f(k)-f(k-1) (5.1-4) 同理,可以定义二阶前向差分,二阶后向差分。 f(k)=△(k+1)-4(k) =f(k+2)-2f(k+1)+f(k) (5.1-5) vf(k=f(h)-Vf(k-1) =f(k)-2f(k-1)+f(k-2)(516) 依次类推,可以得到更高阶的前向和后向差分。 差分与连续系统中的微分相对应
一阶后向差分（backward difference）定义为 (5.1-4） 同理，可以定义二阶前向差分， 二阶后向差分。 (5.1-5） (5.1-6） 依次类推，可以得到更高阶的前向和后向差分。 差分与连续系统中的微分相对应。 = − − = − − + − 2 1 2 1 2 f k f k f k f k f k f k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2) 2 ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 2 f k f k f k f k f k f k = + − + + = + − f (k) = f (k) − f (k −1)