第七章卡平方(x2)测验 第一节卡平方(x)的定义和分布 第二节在方差同质性测验中的应用 第三节适合性测验 第四节独立性测验 第五节X的可加性和联合分析
第七章 卡平方( )测验 2 第一节 卡平方( )的定义和分布 第二节 在方差同质性测验中的应用 第三节 适合性测验 第四节 独立性测验 第五节 的可加性和联合分析 2 2 2
第一节卡平方(X)的定义和分布 所谓X,是指相互独立的多个正态离差平方值的总和， 即 -听+时t.听心。月 (71) 其中，y服从正态分布N(4,o),4,=(y,-4)/o 为标准正态离差
第一节 卡平方( )的定义和分布 2 2 所谓 ，是指相互独立的多个正态离差平方值的总和， 即： − = + + + + + = = i i i i i i n i y u u u u u 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) (7·1) 其中，yi 服从正态分布 ， 为标准正态离差。 ( ， ) 2 N i i i i i i u = (y − )/
y不一定来自同一个正态总体，即4，及σ，可以是不 同正态分布的参数。若通常所研究的对象属同一个总体， 则4，=4,0：=0，从而 =。4 (72）
yi不一定来自同一个正态总体，即 及 可以是不 同正态分布的参数。若通常所研究的对象属同一个总体， 则 ， ，从而 i i i = i = 2 2 − = i i y (7·2)
之抽样分布的密度函数为/0X)=Xe1 22T(v/2) X2累积分布函数为 F(x2)=P(x2≥x)=∫f(x2)d(x2) X分布的自由度为独立的正态离差的个数，此处v=n ，其分布图形为一组具不同自由度v值的曲线（图7.1）。 X值最小为0，最大为+∞，因而在坐标轴的右面。 自由度小时呈偏态，随着自由度增加，偏度降低，至+∞ 时，呈对称分布。 该分布的平均数为v,方差为2v
2 抽样分布的密度函数为 2 ( 2) ( ) ( ) 2 2 ( 2) 1 2 2 2 Γ ν / χ e f χ ν/ ν/ − − χ = 累积分布函数为 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 F P f d p p = p = + 分布的自由度为独立的正态离差的个数，此处 v =n ，其分布图形为一组具不同自由度 v 值的曲线(图7.1)。 值最小为0，最大为+∞，因而在坐标轴的右面。 自由度小时呈偏态，随着自由度增加，偏度降低，至+∞ 时，呈对称分布。 该分布的平均数为 v ，方差为2v。 2 2
f(x 0.6 0.5 0.4 y=1 0.3 0.2 y=3 y=5 0.1 0.0 0 10 图7.1不同自由度的X分布曲线
0 2 4 6 8 10 12 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 ( ) 2 f 图7.1 不同自由度的 分布曲线 2 =1 = 3 = 5 2
若所研究的总体不知，而以样本少代替，则 -,。80-"-g (73) 2 此时独立的正态离差个数为n一1个，故v=n一1
若所研究的总体 不知，而以样本 y 代替，则 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( ) 1 n s s y y y y i i = − = − = − = (7·3) 此时独立的正态离差个数为n－1个，故 v =n－1
x与u、t、F统计数的比较： ●按定义∑4=2，当只有1个正态离差时2=x2,u=√ ○1=y-4,当s的自由度无限增大时1=y-=u=√x2， 此时X2的v=1。 ●F=s/s，,当s3的自由度无限增大时F=s/o=x2/v, v为S2的自由度
与u、t、F统计数的比较： 2 ⚫按定义 ，当只有1个正态离差时 , 2 2 = i ui 2 2 u = 2 u = s y t − ⚫ = ，当s的自由度无限增大时 2 ， = = − = u y t 此时 的 v =1。 2 ⚫ ，当 的自由度无限增大时 ， 2 2 2 1 F = s /s 2 2 s / 2 2 2 2 F = s1 = v 为s1 2的自由度
K.Pearson(1900)根据x2的上述定义从属性性状的 分布推导出用于次数资料（亦称计数资料）分析的公式： (74) E 上式中O为观察次数，E为理论次数，1，.，k为 计数资料的分组数，自由度为v,依分组数及其相互独 立的程度决定，这种形式的x分布图形与图7.1相同。 兼x2值是多项u2或(0-E2/E之和，x具有可加性
K.Pearson(1900)根据 的上述定义从属性性状的 分布推导出用于次数资料(亦称计数资料)分析的 2 公式： 2 − = i E O E 2 2 ( ) (7·4) 上式中O为观察次数，E为理论次数，i=1，.，k为 计数资料的分组数，自由度为 v ，依分组数及其相互独 立的程度决定，这种形式的 2 分布图形与图7.1相同。 值是多项 ui 2 或 (O－E) 2 2 /E 之和， 2 具有可加性
第二节在方差同质性测验中的应用 一、一个样本方差与给定总体方差比较的假设测验 了-来精验*个乐本有5代末的的在 方差和给定的总体方差值C是否有显著差异，简称为一个样 本与给定总体方差的比较。 在作两尾测验时有H,:。2=C,对H4:。2≠C。其 显著大于和小于C的值是>记12，v和<a2,v,此时， H在C显著水平上被否定
第二节 在方差同质性测验中的应用 一、一个样本方差与给定总体方差比较的假设测验 可用来测验单个样本方差s2其所代表的总体 方差和给定的总体方差值C是否有显著差异，简称为一个样 本与给定总体方差的比较。 在作两尾测验时有 ，对 。其 显著大于和小于C的值是> 和< ,此时， H0在 显著水平上被否定。 2 2 2 s = H = C 2 0 ： HA C 2 ： 2 ( / 2)， 2 （1− / 2），
[例7.1]硫酸铵施于水田表层试验，得4个小区的稻谷 产量为517、492、514、522(kg),计得样本方差为 175.6(kg)2。现要测验H:o2=50(kg)2对HA:o2≠50(kg)月 采用显著水平0=0.05。 父2-可算得：=4-0×175 据 2=1054 50 查附表6，在v=n一1=3时，2和(1-012)水平的X2 临界值为：X6025=9.35,X0975=0.22。现2=10.54，大 于X2s=935,在0.22~9.35范围外，符合Ho的概率小 于0.05，H被否定。 结论：这一样本并非从σ2=50(kg)的总体中所抽取的
[例7.1] 硫酸铵施于水田表层试验，得4个小区的稻谷 产量为517、492、514、522(kg)，计得样本方差为 175.6(kg) 2。现要测验H0 : 对HA: ， 采用显著水平 =0.05。 2 2 σ = 50(kg) 2 2 σ 50(kg) 据 可算得： 2 2 2 s = 10 54 50 2 (4 1) 175 6 . . χ = − = 查附表6，在 v =n－1=3时， /2和(1－ /2)水平的 临界值为： ， 。现 ，大 于 ，在0.22～9.35范围外，符合H0的概率小 于0.05，H0被否定。 9 35 2 0 025 χ . . = 0 22 2 0 975 χ . . = 10 54 2 χ = . 9 35 2 0 025 χ . . = 2 2 结论:这一样本并非从σ = 50(kg) 的总体中所抽取的。2