第八章 参数估计方法 第一节农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准 第二节矩法 第三节最小二乘法 第四节极大似然法
第八章 参数估计方法 第一节 农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准 第二节 矩法 第三节 最小二乘法 第四节 极大似然法
第一节农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准 一、农业科学中的主要参数 农业科学研究中需要估计的参数是多种多样的，主要包括： ()总体数量特征值参数，例如，用平均数来估计品种的产 量，用平均数差数来估计施肥等处理的效应； (2)在揭示变数间的相互关系方面，用相关系数来描述2个 变数间的线性关系；用回归系数、偏回归系数等来描述原因 变数变化所引起的结果变数的平均变化的数量，用通径系数 来描述成分性状对目标性状的贡献程度等
第一节 农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准 一、农业科学中的主要参数 (1)总体数量特征值参数，例如，用平均数来估计品种的产 量，用平均数差数来估计施肥等处理的效应； (2)在揭示变数间的相互关系方面，用相关系数来描述2个 变数间的线性关系；用回归系数、偏回归系数等来描述原因 变数变化所引起的结果变数的平均变化的数量，用通径系数 来描述成分性状对目标性状的贡献程度等。 农业科学研究中需要估计的参数是多种多样的，主要包括:
二、参数估计量的评选标准 (一)数学期望 样本平均数的平均数就是一种数学期望。 例如，一个大豆品种的含油量为20%，测定一次可能 是大于20%，再测定可能小于20%，大量反复测定后平均 结果为20%，这时20%便可看作为该大豆品种含油量的数 学期望，而每单独测定一次所获的值只是1个随机变量。 抽象地，随机变量的数字特征是指随机变量的数学期 望值
二、参数估计量的评选标准 (一) 数学期望 样本平均数的平均数就是一种数学期望。 例如，一个大豆品种的含油量为20%，测定一次可能 是大于20%，再测定可能小于20%，大量反复测定后平均 结果为20%，这时20%便可看作为该大豆品种含油量的数 学期望，而每单独测定一次所获的值只是1个随机变量。 抽象地，随机变量的数字特征是指随机变量的数学期 望值
对于离散型（间断性）随机变量y的分布列为：P=y}=P:, 其中，=1,2，.，那么随机变量y的数学期望Ey)为： E(y)=∑y,P 人 i=1 (81) 这样可以求得总体平均值。 对于连续型随机变数y的数学期望Ey)为： E(y)=[xf(y)dy (8·2) 其中y)为随机变量y的概率密度函数，这样可以求得总 体均值
对于离散型(间断性)随机变量y的分布列为：P{y=yi }=pi， 其中，i=1，2，.，那么随机变量y的数学期望E(y)为： = i=1 i pi E(y) y (8·1) 这样可以求得总体平均值。 对于连续型随机变数y的数学期望E(y)为： + − E(y) = yf(y)dy (8·2) 其中f(y)为随机变量y的概率密度函数，这样可以求得总 体均值
用D心y)表示方差，有 D0y)=E[y-E(y)]2 (83) 这就是随机变量函数的数学期望。同理，离散型随机 变量方差的数学期望为： D(y)=L,-E()p. (84) 连续型随机变量方差的数学期望为： D(y)=[y-E(y)Pf(y)dy (85)
用D(y)表示方差，有 D(y)=E [y－E(y)]2 (8·3) 这就是随机变量函数的数学期望。同理，离散型随机 变量方差的数学期望为： = − + =1 2 i i pi D(y) y E(y) (8·4) 连续型随机变量方差的数学期望为： = − + − D(y) y E(y) f(y)dy 2 (8·5)
数学期望有这样一些常用的性质： (1)常数的数学期望为常数本身； (2)随机变量与常数的乘积的数学期望是常数与随机 变量的数学期望的乘积； (3)多个随机变量分别与常数的乘积的求和函数的数 学期望是常数与多个随机变量的数学期望的乘积的和； (4)多个相互独立的随机变量的乘积的数学期望是多 个随机变量的数学期望的乘积
数学期望有这样一些常用的性质： (1) 常数的数学期望为常数本身； (2) 随机变量与常数的乘积的数学期望是常数与随机 变量的数学期望的乘积； (3) 多个随机变量分别与常数的乘积的求和函数的数 学期望是常数与多个随机变量的数学期望的乘积的和； (4) 多个相互独立的随机变量的乘积的数学期望是多 个随机变量的数学期望的乘积
(二)参数估计量的评选标准 评价估计量优劣的标准主要有无偏性、有效性、相合性等 ()无偏性参数估计量的期望值与参数真值是相等的，这 种性质称为无偏性，具有无偏性的估计量称为无偏估计量。 例如，在抽样分布中已经介绍了离均差平方和除以自由度得 到的均方的平均数等于总体方差，即该均方的数学期望等于 相应总体参数方差，这就是说该均方估计量是无偏的。 杂估计量的数学期望值在样本容量趋近于无穷大时与参数 的真值相等的性质称为渐进无偏性，具有渐进无偏性的估计 量称为渐进无偏估计量
(二) 参数估计量的评选标准 评价估计量优劣的标准主要有无偏性、有效性、相合性等 (1) 无偏性 参数估计量的期望值与参数真值是相等的，这 种性质称为无偏性，具有无偏性的估计量称为无偏估计量。 例如，在抽样分布中已经介绍了离均差平方和除以自由度得 到的均方的平均数等于总体方差，即该均方的数学期望等于 相应总体参数方差，这就是说该均方估计量是无偏的。 估计量的数学期望值在样本容量趋近于无穷大时与参数 的真值相等的性质称为渐进无偏性，具有渐进无偏性的估计 量称为渐进无偏估计量
(2)有效性无偏性表示估计值是在真值周围波动的一个数 值，即无偏性表示估计值与真值间平均差异为0，近似可以 用估计值作为真值的一个代表。 同一个参数可以有许多无偏估计量，但不同估计量的期望 方差不同，也就是估计量在真值周围的波动大小不同。估计 量的期望方差越大说明用其估计值代表相应真值的有效性越 差；否则越好，越有效。不同的估计量具有不同的方差，方 差最小说明最有效。 如果一个无偏估计量相对与其它所有可能无偏估计量，其 期望方差最小，那么称这种估计量为一致最小方差无偏估计 量
(2) 有效性 无偏性表示估计值是在真值周围波动的一个数 值，即无偏性表示估计值与真值间平均差异为0，近似可以 用估计值作为真值的一个代表。 同一个参数可以有许多无偏估计量，但不同估计量的期望 方差不同，也就是估计量在真值周围的波动大小不同。估计 量的期望方差越大说明用其估计值代表相应真值的有效性越 差；否则越好，越有效。不同的估计量具有不同的方差，方 差最小说明最有效。 如果一个无偏估计量相对与其它所有可能无偏估计量，其 期望方差最小，那么称这种估计量为一致最小方差无偏估计 量
(3)相合性用估计量估计参数涉及一个样本容量大小问题， 如果样本容量越大估计值越接近真值，那么这种估计量是相 合估计量。 除以上三方面标准外，还有充分性与完备性也是常考虑 的。 充分性指估计量应充分利用样本中每一变量的信息； 完备性指该估计量是充分的唯一的无偏估计量
(3) 相合性 用估计量估计参数涉及一个样本容量大小问题， 如果样本容量越大估计值越接近真值，那么这种估计量是相 合估计量。 除以上三方面标准外，还有充分性与完备性也是常考虑 的。 充分性指估计量应充分利用样本中每一变量的信息； 完备性指该估计量是充分的唯一的无偏估计量
第二节矩法 一、矩的概念 矩(moment)分为原，点矩和中心矩两种。 对于样本y1y2,yn,各观测值的k次方的平均值，称为 样本的阶原点矩，记为人，有-月言片，用观测值减去 n i=1 平均数得到的离均差的k次方的平均数称为样本的阶中心矩， 记为0y-)或，有y-)=12(0y,-). 对于总体y1,y2,yN,各观测值的K次方的平均值，称为 总体的价原点矩，记为)，有E)=立片：用观测 值减去平均数得到的离均差的k次方的平均数称为总体的阶 中心矩，记为E(y-)]或4，有E0-]=之y,- Ni-
第二节 矩法 一、矩的概念 矩( moment )分为原点矩和中心矩两种。 对于样本y1 ,y2 ,.yn，各观测值的k次方的平均值，称为 样本的k阶原点矩，记为 ，有 , 用观测值减去 平均数得到的离均差的k次方的平均数称为样本的k阶中心矩, 记为 或 ，有 。 k y = = n i k i k y n y 1 1 k (y − y) k ˆ − = − = n i k i k y y n y y 1 ( ) 1 ( ) 对于总体y1 ,y2 ,.yN，各观测值的k次方的平均值，称为 总体的k阶原点矩，记为 ，有 ；用观测 值减去平均数得到的离均差的k次方的平均数称为总体的k阶 中心矩，记为 或 ，有 ( ) k E y = = N i k i k y N E y 1 1 ( ) [( ) ] k E y − k − = − = N i k i k y N E y 1 ( ) 1 [( ) ]