第三芳相平面方法 相轨迹的特点 令相轨迹的绘制方法 奇点与极限环 线性系统相平面分析 非线性系统相平面分析 总结
第三节 相平面方法 ❖ 相轨迹的特点 ❖ 相轨迹的绘制方法 ❖ 奇点与极限环 ❖ 线性系统相平面分析 ❖ 非线性系统相平面分析 ❖ 总结
6适应于二阶非线性系统: x+∫(x,x)=0
适应于二阶非线性系统： x x x + f (x, x ) = 0
相轨迹的特点 1上半平面 x>0增加 方向从左到右 x12下半平面 x<减 方向从右到左
1 上半平面： ，x增加 方向从左到右 2 下半平面： ，x减少 方向从右到左 x1 x2 x 0 x 0 一 相轨迹的特点
3所有的轨迹如果穿过x轴,则方向必定是 垂直的。 4奇点是平衡点 对所有二阶系统 均在x轴上
3 所有的轨迹如果穿过x轴，则方向必定是 垂直的。 4 奇点是平衡点， 对所有二阶系统 均在x轴上 x1 x2 d d x x 2 1 0 0 =
二相轨边的绘制方法 解析法: 例1:给定二阶系统x+2x=0 解:利用x=s 文+2x=0xd+m2xdx=0 积分得 ⊙+x=不2
二 相轨迹的绘制方法 ❖ 解析法： 例1：给定二阶系统 解：利用 积分得： x + x = 2 0 x x x x = d d x x x x d d + = 2 0 x dx + xdx = 2 0 x x A 2 2 2 2 + =
OA
x x A A
例2给定系统 =-MX(0)=0x(0)=x0 解:由方程=-M得 i=-Mt+Cl x=-oMt+Ct+C2 2 由初始条件可知:C1=0C2=x x=-Mt x==Mt- +o x=2(x0-x)M=-2M(x-x0)
例2 给定系统 解：由方程 可得： 由初始条件可知： x = −M x = −Mt + C1 x = − Mt + C t + C 1 2 2 1 2 C1 = 0 C2 = x0 x = −M x(0) x = 0 x (0) = 0 x = −Mt x = − Mt + x 1 2 2 0 x (x x)M M(x x ) 2 = 2 0 − = −2 − 0
M=1 M=-1
x x M = 1 x0 x x M = −1 x0
图解法—等倾线法 等倾线 dx2 f2(x1,x2) dx fi(xi,x2) →f2(x1,x2)=f1(x1,x2)x2=q(x,a) 穿过曲线x2=(x1,a任意一点的所有相轨迹 均具有相同的斜率,也就是具有相同的运 动方向
❖ 图解法——等倾线法： 等倾线： 穿过曲线 上任意一点的所有相轨迹 均具有相同的斜率，也就是具有相同的运 动方向。 d d x x f x x f x x 2 1 2 1 2 1 1 2 = = ( , ) ( , ) f2 x1 x2 f1 x1 x2 ( , ) = ( , ) x2 = (x1 ,) x2 = (x1 ,)
组不同的斜率值,就定义了一组不同的等 倾线。所有这些等倾线给出了相轨迹切线 的方向场
一组不同的斜率值，就定义了一组不同的等 倾线。所有这些等倾线给出了相轨迹切线 的方向场