北京化工大学：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 频率特性分析方法（5.4）控制系统稳定裕度及系统带宽

§4控制系统稳定裕度及系统带宽 第五章频率特性分析 、稳定裕度(适用最小相位系统-开环稳定系统) 工程上将GH曲线离开(-1,j0)的远近程度,叫稳定裕度,它 是在频率域内衡量系统相对稳定性的指标。 曲线离(-1,j0)点的距离从两方面考虑 即当G(jo)H(jo)=1时,相位差与180°差多少? 当∠G(jo)/H(jo)=-180时,幅值比与1差多少? 前者称为相位裕度r,后者称为幅值裕度R L

§4 控制系统稳定裕度及系统带宽 第五章频率特性分析 一、稳定裕度(适用最小相位系统 -开环稳定系统) 工程上将GH曲线离开(-1，j0)的远近程度，叫稳定裕度，它 是在频率域内衡量系统相对稳定性的指标。 曲线离(-1,j0)点的距离从两方面考虑: 即 当 G( j)H( j) = 1 时，相位差与-180°差多少？ 当∠ 时，幅值比与1差多少？ 0 G( j)H( j) = −180 前者称为相位裕度r，后者称为幅值裕度R’

、稳定裕度(适用最小相位系统) 第五章频率特性分析 §4控制系统稳定裕度及系统带宽 定义两个频率 幅值交角频率o:(0)Hi)=1 相位交角频率n:Uo0)0)=-180 相位裕度r=∠G(ja)H(jio)-(-180)=180+∠G(jo.)H(jio2) 幅值裕度R=1-G(jion)H(jon) 对稳定系统,∠G(jo)H(jo)必不大于180°,因而r>0, Go)(o,)必小于1,因而R>0,并有o>0 对不稳定系统,∠G(io)H(jo)必大于-180°,因而r<0, G(on)H(o)必大于1,因而R<0,并有0。<。 当∞a=0时,r=0,R=0。系统稳定裕度为0,处于临界稳定

定义两个频率： 第五章频率特性分析 一、稳定裕度 §4 控制系统稳定裕度及系统带宽 (适用最小相位系统) : 幅值交角频率c : 相位交角频率 g G(jc )H(jc ) = 1 0 G(jg )H(jg ) = −180 相位裕度 ( ) ( ) ( 180 ) 180 ( ) ( ) c c c c r = G j H j − − = + G j H j   幅值裕度 ' 1 ( ) ( ) g g R = − G j H j 对稳定系统， 必不大于-180° ，因而r>0， 必小于1，因而R’>0，并有 。 ( ) ( ) c c G j H j ( ) ( ) g g G j H j g  c 对不稳定系统， 必大于-180° ，因而r<0， 必大于1，因而R’<0，并有 。 ( ) ( ) c c G j H j ( ) ( ) g g G j H j g  c 当 g = c 时，r=0，R’=0。系统稳定裕度为0，处于临界稳定

、稳定裕度(适用最小相位系统) 第五章频率特性分析 §4控制系统稳定裕度及系统带宽 对数坐标图上稳定裕度的表示法: 幅值裕度:R=20kg1-20kg((jo)H(jo)=-20gG(0)H(jo) 201gG 20 1gG 20IgG 20 20 20 0 0 R 20 -20 20 ∠G 0c!wg∠G ∠G 0.=0 -90 90 90 -180° 180° r -180° 00 闭环稳定系统 闭环不稳定系统 临界稳定系统 般,r,R越大,系统稳定裕度越大,但不能盲目追求过大的稳 定裕度。工程上,经常取R=0.5,R=-20k0.5≈61b,r=30°~60

对数坐标图上稳定裕度的表示法： 第五章频率特性分析 一、稳定裕度 §4 控制系统稳定裕度及系统带宽 (适用最小相位系统) 20lg1 20lg ( ) ( ) c c R = − G j H j 20 0 ﹣20 20lg G ﹣90° ﹣180° G   r -R c g c  g 闭环稳定系统 20 0 ﹣20 20lg G ﹣90° ﹣180° G   20 0 ﹣20 20lg G ﹣90° ﹣180° G   r -R g c  c  g 闭环不稳定系统 c = g 临界稳定系统 g = c 一般，r,R’越大，系统稳定裕度越大，但不能盲目追求过大的稳 定裕度。工程上，经常取R’= 0.5 ， 0 0 R = −20lg 0.5  6db,r = 30 ~ 60 20lg ( ) ( ) c c 幅值裕度： = − G j H j

稳定裕度(适用最小相位系统) 第五章频率特性分析 §4控制系统稳定裕度及系统带宽 例1:图中所示为一个宇宙飞船控制系统的方块图。为了使 相位裕度等于50°,试确定增益K值,此时,幅值裕度是多少? K(s+2) 解: K(j0)+2 ,∠G(io)=2j0+2-2∠j0=tg 180 ) 2 因为相位曲线永远不和-180°线相交,所以幅值裕度为无穷大, 没有相位交角频率0g

例1： 第五章频率特性分析 一、稳定裕度(适用最小相位系统) §4 控制系统稳定裕度及系统带宽 图中所示为一个宇宙飞船控制系统的方块图。为了使 相位裕度等于50° ，试确定增益K值，此时，幅值裕度是多少？ K(s+2) 2 1 ﹣ S 解： , ( ) ( ) 2 ( ) 2   +  = j K j G j 因为相位曲线永远不和-180°线相交，所以幅值裕度为无穷大， 没有相位交角频率 g 。 G( j) = j+ 2 − 2j 1 0 180 2 −  = − tg

、稳定裕度(适用最小相位系统) 第五章频率特性分析 §4控制系统稳定裕度及系统带宽 例1: G(o) K(0)+2 0 K(s+2) ∠G(jo)=tg 180 要求相位裕度为50°,意味着∠G(o)必须等于-130°, r=180+∠G(jo)因此,tl(%)=50,o.=2.38(弧度)。 当Q=2.38时,G(o)的对数幅值必须等于0db K(o+2) 2.38 ∴K= (o) 0=2.38 √22+2.3821.8 这个K值将产生相位裕度50°

例1： 1 ( ) ( 2) 2.38 2 =  + = j K j 这个K值将产生相位裕度50° 。 1.8 2 2.38 2.38 2 2 = +  K = 要求相位裕度为50° ，意味着 必须等于-130° ， 因此， 。 当ω=2.38时， 的对数幅值必须等于0db。 ( ) c G j 180 ( ) 0 c r = + G j ( ) 50 , 2.38( ) 0 2 t g−1 c = c = 弧 度 G( j) 第五章频率特性分析 一、稳定裕度 §4 控制系统稳定裕度及系统带宽 (适用最小相位系统) K(s+2) 2 1 ﹣ S , ( ) ( ) 2 ( ) 2   +  = j K j G j 1 0 180 2  ( ) = − −  G j tg

第五章频率特性分析 §4控制系统稳定裕度及系统带宽 例2:已知最小相位(单位反馈)开环系统 的渐近对数幅频特性如图所示,试: 201gg/dB 20dB/dec (1)求取系统的开环传递函数 40dB/dec (2)用稳定裕度判断系统稳定性。 010co0 (3)要求系统具有30的稳定裕度,求 60dB/dec 开环放大倍数应改变的倍数。 (4)系统有一延滞环节e时,τ在什么范围内系统是稳定。 解 (1)系统开环传递函数的基本形式为G(s) K S(。S+1)(S+1)

第五章频率特性分析 §4 控制系统稳定裕度及系统带宽 例2：已知最小相位（单位反馈）开环系统 的渐近对数幅频特性如图所示，试： (1) 求取系统的开环传递函数。 (2) 用稳定裕度判断系统稳定性。 (3) 要求系统具有30º的稳定裕度，求 开环放大倍数应改变的倍数。 (4) 系统有一延滞环节 e −s 时，  在什么范围内系统是稳定。 ﹣60dB/dec 0.1 c 10  20lgG/dB ﹣20dB/dec ﹣40dB/dec 40 （1）系统开环传递函数的基本形式为 1) 10 1 1)( 0.1 1 ( ( ) + + = s s s K G s 解：

第五章频率特性分析 例2:(2)用稳定裕度判断系统稳定性§4控制系统稳定裕度及系统带宽 201gg/dB 解 K 20dB/dec G(S) S+ 1) S+ 40dB/dec 10 0.1oc0 20g-|0:1=40K=10∴G(s)= (。,S+1)(S+1) 60dB/dea 0.1 (2)开环对数幅频特性为(各渐近线方程:) 10: 20 lg =20I

解： 第五章频率特性分析 例2： §4 控制系统稳定裕度及系统带宽 20lg =  = 40  K 1) 10 1 1)( 0.1 1 ( 10 ( ) + +  = s s s K = 10 G s 1) 10 1 1)( 0.1 1 ( ( ) + + = s s s K G s （2）开环对数幅频特性为（各渐近线方程：） =) ( L   :  10 20lg 0.1  10: 2 0.1 1 0.1 1 1 20lg 10 20lg 1 20lg 10 20lg      =  + =   10: 3 10 1 0.1 1 10 20lg 10 20lg     =   0.1 c 10  20lgG/dB ﹣20dB/dec ﹣40dB/dec 40 ﹣60dB/dec (2)用稳定裕度判断系统稳定性

第五章频率特性分析 例2: 2 用稳定裕度判断系统稳定 §4控制系统稳定裕度及系统带宽 近线程 解: 系统开环对数相频特性为: 201gG/dB 20dB/dec q(o)=-90 arcto urc、 40dB/dec 0.1 10 令L(a)=0,求解幅值交角频率O 0.1 0C100 在频率范围(010 幅值裕度计算略,R>0,故系统稳定

（2）开环对数幅频特性为（各渐近线方程：） 第五章频率特性分析 例2： (2) 用稳定裕度判断系统稳定性 §4 控制系统稳定裕度及系统带宽 解： 系统开环对数相频特性为: 0.1 10 ( ) 90  −    = − − arctg arctg  0.1 10 ( ) 90 c c c arctg arctg  −    = − −  幅值裕度计算略，R>0， 180 ( ) c r = +    在频率范围(0.10 0.1 c 10  20lgG/dB ﹣20dB/dec ﹣40dB/dec 40 2 1 ( 20lg  L ) = 0, 1。 1 20lg 2 = = c = c    

例2:(3)要求系统具有30的稳定裕度, 第五章频率特性分析 求开杳箏数应改变的倍数 §4控制系统稳定裕度及系统带宽 解: cp(o)=-90-arctg--arctg 0.1 若要求r=30°,即(a)=-150,求得o2=0.167幅值交角频率 设K为开环放大倍数需改变的倍数, 20lgG/dB 则系统开环对数幅频特性改为: 20dB/dec 10K 40 40dB/dec 20lg 010 0 ①=0.167属于0.1<0<10的频率范围,所以有20g K 0 0.167 ∴K。=0.0279

（3）由于 第五章频率特性分析 §4 控制系统稳定裕度及系统带宽 例2: (3)要求系统具有30º的稳定裕度， 求开环放大倍数应改变的倍数 解： 0.1 10 ( ) 90  −    = − − arctg arctg  若要求 r = 30 ， 设K0为开环放大倍数需改变的倍数, 则系统开环对数幅频特性改为：             =        =       = 10 10 20lg 10 20lg 20lg 0.1 10 10 20lg 0.1 10 20lg ( ) 3 0 1 0 1 0.1 1 0 2 0 0.1 1 0 0 K K K K K L c = 0.167 属于 0.1  10 的频率范围， K0 = 0.0279 即(c ) = −150 ，求得c = 0.167(幅值交角频率） 0 0.167 20lg 2 0 = K 所以有 0.1 c 10  20lgG/dB ﹣20dB/dec ﹣40dB/dec 40

第五章频率特性分析 例2: §4控制系统稳定裕度及系统带宽 解: (4)系统有一延滞环节e-时,τ在什么范围内系统是稳定。 e(=1∠em=-5730T(度)(弧度→度) 即加入延迟环节后,系统幅频特性不变,相频特性发生滞后。 因此,若使系统稳定,必须r-573τ02>0 解得: 11.42 T< 0.2 57.3×0 r=1142,0n=1 57.3×1

第五章频率特性分析 例2： §4 控制系统稳定裕度及系统带宽 解： = 1 − j e e − j  = −57.3  (度) （弧度→度） 即加入延迟环节后，系统幅频特性不变，相频特性发生滞后。 r − 57.3c  0 解得： 因此，若使系统稳定，必须 0.2 57.3 1 11.42 57.3 11.42 , 1 0 =  =   r= c = c r    (4) 系统有一延滞环节 e −s 时，  在什么范围内系统是稳定