§3控制系统的复域数学模型 3.1传递函数 定义:初始条件为零的线性定常系统输出的拉普拉 斯变换与输入的拉普拉斯变换之比 记作G(s) Y(s) 拉普拉斯变换复习 X(s) y=f(t) LI(t)I=f(t)e-dt=F(s) LIF(SI=f(t) 把实数域中的积分、微分计算变换成复数域中的代 数运算,类似对数运算
§3 控制系统的复域数学模型 初始条件为零的线性定常系统输出的拉普拉 斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。 记作 ( ) ( ) ( ) X s Y s G s = 拉普拉斯变换复习 y = f (t) 把实数域中的积分、微分计算变换成复数域中的代 数运算，类似对数运算。 − = 0 L[ f (t)] f (t)e dt st [ ( )] ( ) 1 L F s = f t − 定义： 3.1传递函数 = F(s)
它的常用基本性质: 微分定理 df(t) LI=SF(S-f(O), dt d-f(t) L =s2F(s)-f"(0)-sf(0) ●。● dt 若初始条件为零,则有 LIdf (DI SF(), L ldf(t) dt S F(S)
它的常用基本性质： • 微分定理 ] ( ) (0), ( ) [ sF s f dt df t L = − 若初始条件为零，则有 ( ), [ ( )] sF s dt df t L = ] ( ) '(0) (0), ( ) [ 2 2 2 s F s f sf dt d f t L = − − … ( ), [ ( )] 2 2 2 s F s dt d f t L = …
它的常用基本性质: 积分定理 ()l-+F()+/oml 初始条件为零时,L[f()dl=F(s) 位移(滞后)定理Lf(-)=e°F(s) 终值定理imf()= lim SF(S) t→)∞ 初值定理 lim f()= lim SF(s) t->0 S→0
• 位移（滞后）定理 L[ f (t )] e F(s) −s − = • 终值定理 lim ( ) lim ( ) 0 f t sF s t→ s→ = • 初值定理 lim ( ) lim ( ) 0 f t sF s t→ s→ = = + =0 1 1 [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] s s t L f t dt F s f t dt 初始条件为零时， [ ( ) ] = ( ) 1 L f t dt F s s • 积分定理 它的常用基本性质：
个对象的传递函数可以由表达其动态特性的微分 方程式经拉氏变换得到。 几种典型环节的传递函数: (1)比例环节: v(t)=kx(t) Y(S)=kX(S) Y(S) G(s)= X(S)
几种典型环节的传递函数： 一个对象的传递函数可以由表达其动态特性的微分 方程式经拉氏变换得到。 （1）比例环节： y(t) = kx(t) Y(s) = kX(s) ( ) ( ) ( ) X s Y s G s = = k
几种典型环节的传递函数: L () SF(S), dt (2)一阶惯性(滯后)环节: T +y=hx TsY(S)+r(s)=kX(s) (TS+1y(s)=kX(s) G(S) Y(s) k X(S) TS+1
（2）一阶惯性（滞后）环节： y kx dt dy T + = TsY(s) +Y(s) = kX(s) ( ) ( ) ( ) X s Y s G s = (Ts +1)Y(s) = kX(s) 几种典型环节的传递函数： + 1 = Ts k ( ), [ ( )] sF s dt df t L =
几种典型环节的传递函数: (3)二阶环节: dy 中y +b+cy= ha dt as y(s)+bsY(s)+cr(s)=kX(s) G()=(s) X(s) as+bs+c
（3）二阶环节： cy kx dt dy b dt d y a + + = 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 as Y s + bsY s + cY s = kX s ( ) ( ) ( ) X s Y s G s = as bs c k + + = 2 几种典型环节的传递函数：
几种典型环节的传递函数: Lly= SY(s (4)高阶环节: y)+a,y++any=bor)+b,x 两端进行拉氏变换得 aos"y(s)+as"y(s)+.+a, y(s) =boS X(s)+b,"X(s)++bmX(s) Y(s) bos"+b,s+b25+.+b G(s) X(s a05"+a -1 S+a,S+…+a 通式 总有n≥m,真分式; n=1,一阶系统;n=2,二阶系统;n>3,高阶系统
（4）高阶环节： a y a y a yn n n + + + 0 ( ) 1 ( −1) 两端进行拉氏变换得 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 a s Y s a s Y s a Y s n n n + + + − G(s) 通式 总有 n≥m ，真分式； n=1，一阶系统； n=2，二阶系统； n≥3 ，高阶系统。 n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b + + + + + + + + = − − − − 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 几种典型环节的传递函数： b x b x b x m m m = + + + 0 ( ) 1 ( −1) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 b s X s b s X s b X s m m m = + + + − ( ) ( ) X s Y s = [ ] = (n) L y s Y(s) n
几种典型环节的传递函数: (5)积分环节: 川f(dl=3F(s) 1 qJ xdt Y(s)=-X(s), y(s) G(S) X(S) 1 as (6)微分环节: dx v=a Y(s=asX(s) dt G(S) Y(S) X(S)
（5）积分环节： = xdt a y 1 ( ) , 1 ( ) X s as Y s = ( ) ( ) ( ) X s Y s G s = （6）微分环节： dt dx y = a Y(s) = asX (s) ( ) ( ) ( ) X s Y s G s = 几种典型环节的传递函数： = as as 1 = [ ( ) ] = ( ) 1 L f t dt F s s
几种典型环节的传递函数: (7)PD环节: y=k(x+xdt+t T dt r(s)=KX(s)+=X(s)+IsX(sI K1+-+lsX(s) Y(S G(S) X(S) k(1+-+lds
（7）PID环节： ) 1 ( dt dx xdt T T y k x d i = c + + ( ) ( ) ( ) X s Y s G s = ) 1 (1 T s T s k d i = c + + 几种典型环节的传递函数： ( ) ( )] 1 ( ) [ ( ) X s T sX s T s Y s K X s d i = c + + ] ( ) 1 [1 T s X s T s K d i = c + +
几种典型环节的传递函数: (8)纯滞后环节和带有纯滞后的一阶环节: y(t)=x(t-t) Y(s)=X(s)e ts 拉氏变换的位移定理Lx(t-c)=eX(s) Y(S) G(s)= X(S) r(t+) 女+y(+v)=Kx(t) Tse y(s)+e Y(s)=KX(s) (TS+DeY(s=KX(s) G(s)= Y(S) K X(s) Ts+
（8）纯滞后环节和带有纯滞后的一阶环节： y(t) = x(t − ) s Y s X s e − ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) X s Y s G s = s e − = ( ) ( ) ( ) y t Kx t dt dy t T + + = + 拉氏变换的位移定理 L[x(t )] e X(s) −s − = Ts e Y(s) e Y(s) KX(s) s s + = ( ) ( ) ( ) X s Y s G s = e Y(s) s s e Ts K − + = 1 几种典型环节的传递函数： e Y(s) s ( + 1) Ts e Y(s) s = KX(s)