§5控制系统根轨迹设计方法 、设计准则 系统设计所依据的性能指标为:稳态指标与动态指标。 (1)稳态性能指标(稳态误差e。): 对应于给定输入x(所引起的偏差e 对阶跃响应4=计+k.斜波响应2=1 Ky 加速度响应e Ka Kn,K,K。是位置偏差系数、速 度偏差系数和加速度偏差系数, e。对0、1、2型系统有不同的数值
§5 控制系统根轨迹设计方法 一、设计准则 系统设计所依据的性能指标为：稳态指标与动态指标。 （1）稳态性能指标（稳态误差es）： 对应于给定输入x(t)所引起的偏差esx： 对阶跃响应 p s K e + = 1 1 Ka es 1 加速度响应 = Kv es 1 斜波响应 = esx对0、1、2型系统有不同的数值。 是位置偏差系数、速 度偏差系数和加速度偏差系数， Kp Kv Ka ,
(2)动态性能指标(时域动态性能指标): 通常以系统的阶跃响应来进行描述: 常用的指标有上升时间r、峰值时间tp、超调量σ、 调节时间ts等 详细讨论二阶欠阻尼系统的质量指标。 如果高阶系统存在一对闭环主导极点的话,将主导系 统过渡过程的主要形式。 闭环主导极点的定义是: 1、在S平面上,距离虚轴比较近,且周围没有 其它的零极点。 2、与其它闭环极点距虚轴的距离在5倍以上
（2）动态性能指标（时域动态性能指标）： 通常以系统的阶跃响应来进行描述： 常用的指标有上升时间tr、峰值时间tp、超调量σ、 调节时间ts等。 详细讨论二阶欠阻尼系统的质量指标。 如果高阶系统存在一对闭环主导极点的话，将主导系 统过渡过程的主要形式。 闭环主导极点的定义是： 1、在S平面上，距离虚轴比较近，且周围没有 其它的零极点。 2、与其它闭环极点距虚轴的距离在5倍以上
设计步骤: ●根据提出的性能指标,画出指标等频线 线,确定合格区。 ●确定系统的根轨迹是否穿过 -合格区 阴影区域 ●如果是,只要调整根轨迹增 益K就可以完成设计工作 ●如果系统的原根轨迹不穿过图示的阴影区域, 就要设计相应的校正装置,增加开环极点和开 环零点,使得校正后的根轨迹落到阴影区域, 从而实现给定的性能要求
设计步骤： i 0 等频线 等 α 线 合格区 l 确定系统的根轨迹是否穿过 阴影区域。 l 如果系统的原根轨迹不穿过图示的阴影区域， 就要设计相应的校正装置，增加开环极点和开 环零点，使得校正后的根轨迹落到阴影区域， 从而实现给定的性能要求。 l 如果是，只要调整根轨迹增 益K就可以完成设计工作。 l 根据提出的性能指标，画出指标 线，确定合格区
二、校正方法和基本校正装置 校正方法 (1)增加开环极点 增加了新的开环极点可以使得原系统根轨迹的整 体走向在平面上向右移(靠近虚轴),其结果是系 统动态性能变坏,但可以改善系统的稳态性能。 (2)增加开环零点 增加了新的开环零点,可以使得原系统根轨迹 的整体走向在s平面上向左移,其结果是系统的动 态性能和稳定性得到改善
二、校正方法和基本校正装置 （1）增加开环极点 增加了新的开环极点可以使得原系统根轨迹的整 体走向在s平面上向右移（靠近虚轴），其结果是系 统动态性能变坏，但可以改善系统的稳态性能。 （2）增加开环零点 增加了新的开环零点，可以使得原系统根轨迹 的整体走向在s平面上向左移，其结果是系统的动 态性能和稳定性得到改善。 校正方法
(3)增加偶极子 实轴上一对距离很近的开环零点和极点,如果附 近没有其他零极点,称为偶极子 对于校正装置,一般取具有积分性质的偶极子,Z1>P, 增加偶极子可以做到 K∏ ①基本不改变原有根轨迹。 ∏ ②改变开环增益Kπ,改善稳态性能。 K开的定义是:当传递函数化为标准形式时的增益项。 传递函数的标准形式G(③s) K开(T1S+1)…(TmS+1) (TS+1)…(TnS+1) 传递函数的零极点形式Gn(s) K(s+x1)…(s+zm) (s+P1)…(S+pn)
（3）增加偶极子 实轴上一对距离很近的开环零点和极点，如果附 近没有其他零极点，称为偶极子。 对于校正装置，一般取具有积分性质的偶极子， , ZI PI K开的定义是：当传递函数化为标准形式时的增益项。 ①基本不改变原有根轨迹。 ②改变开环增益K开，改善稳态性能。 增加偶极子可以做到： ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 1 ' ' 1 0 + + + + = T s T s K T s T s G s n m 开 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 n m s p s p K s z s z G s + + + + = 传递函数的零极点形式 传递函数的标准形式 , 1 1 = = = n i i m i i p K z K开
偶极子的传递函数为G,()=s+,由于z1≈P,因 s+P 此,系统的闭环极点s满足: 5+Z +P/~, s+21≈01 般设计3~10 s→>0 所以,可以增加偶极子来增加原开环增益K的大小, 从而改善稳态误差e
偶极子的传递函数为 ，由于 ，因 此，系统的闭环极点s满足： I I I s P s Z G s + + ( ) = ZI PI 1, + + I I s P s Z 0 5 + + I I s P s Z 基本上不影响原系统根轨迹的 幅值条件和相角条件。 i s 0 j ●× − ZI − PI × 而增益的补偿值为： lim ( ) 0 K G s I s I → = I I P Z = 1 一般设计3~10。 所以，可以增加偶极子来增加原开环增益K的大小， 从而改善稳态误差es
(4)超前校正装置(微分校正) 校正装置 微分校正环节用来改善原系统的动态性能,它使根 轨迹向左移,以此改善系统的超调量σ和调节时间ts。 其传递函数: s+z (S) ,∠GD(3)=∠(+Z)-∠(s+PD)>0 s+p 恒有:PD>Zn, J S平面 S平面 ∠GD(s) 超前校正 实际微分环节 0 (a)GD(s)零极点 (b)GD(s)的幅值与幅角
（4）超前校正装置（微分校正） 微分校正环节用来改善原系统的动态性能，它使根 轨迹向左移，以此改善系统的超调量σ和调节时间ts。 其传递函数： ( ) , D D D s P s Z G s + + = ( ) ( ) ( ) D D PD G s = s + Z − s + 恒有：PD>ZD， 超前校正－ 实际微分环节 j 0 S平面 × − PD ● − ZD (a) GD(s)零极点 × G (s) D Si (b) GD(s)的幅值与幅角 j 0 S平面 × ● − PD − ZD 0 校正装置
(5)滞后校正装置(积分校正) 积分校正可以改善系统的稳态性能。 在原点附近增加一对积分性质的开环偶极子,增加系 统的开环增益,从而满足稳态要求 积分校正装置的传递函数为 (3)-3+2 G1( s+p ∠G1(s)=∠(s+Z1)-∠(+P)<0 J 恒有P1<Z1,滞后校正。 偶极子的性质一增加积分校正基 S平面 本不改变系统根轨迹。 积分校正装置对开环增益的补偿值 为:K=2,校正后的开环增益为:kK
（5）滞后校正装置（积分校正） 积分校正可以改善系统的稳态性能。 在原点附近增加一对积分性质的开环偶极子，增加系 统的开环增益，从而满足稳态要求。 积分校正装置的传递函数为 ( ) , I I I s P s Z G s + + = ( ) ( ) ( ) I I PI G s = s + Z − s + j 0 S平面 ● × × − Pi − ZD 恒有P Si I < ZI ，滞后校正。 偶极子的性质－增加积分校正基 本不改变系统根轨迹。 积分校正装置对开环增益的补偿值 为： ' , I I P Z K = 校正后的开环增益为：K开 K' 。 0
(6)微分一积分校正 系统的动态性能、稳态性能都不好,可以考虑采用微 分一积分校正。 其传递函数:Gn()=+2n+ +PD)(S+P) 校正计算时, )先计算徼分校正,根据要求的 动态性能,完成根轨迹的移动。 平面 ●然后再计算积分校正,以满足 给定要求的稳态性能。 Pl 0 ●最后,选择相应的微分积分 校正装置完成校正设计
（6）微分－积分校正 系统的动态性能、稳态性能都不好，可以考虑采用微 分—积分校正。 ( )( ) ( )( ) ( ) D I D I DI s P s P s Z s Z G s + + + + 其传递函数： = 校正计算时， l 最后，选择相应的微分—积分 校正装置完成校正设计。 l 然后再计算积分校正，以满足 给定要求的稳态性能。 l 先计算微分校正，根据要求的 动态性能，完成根轨迹的移动。 j 0 S平面 × − Pi ● − Zi × − PD ● − ZD
根据控制指标设计K 例45-1单位反馈控制系统的开环传递函数为 K G2() s(S+4)(s+6) 若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量∝≤17%, 试确定开环增益K开 KI 对上式有G(s) 24 K 开 S(S+1)(s+1) 24 1
三、根据控制指标设计K 例4-5-1 单位反馈控制系统的开环传递函数为 ( 4)( 6) ( ) + + = s s s K G s o 若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量σ≤17%， 试确定开环增益K开。 ( 1)( 1) ( ) 6 1 4 1 24 0 + + = s s s G s K 对上式有 = = = n i i m i i p K z K 1 1 开 24 K =