北京化工大学：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性系统状态空间设计方法（7.3）能控性和能观性的判定

第三节能控性和能观性的判定 能控性的判定 1.格拉姆矩阵判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是 存在这样一个时刻t1>0,使得格拉姆矩阵 W(0,4)= ∫e A at dt 是非奇异的,或者在[0区间,e4B的 是彼此独立的

第三节 能控性和能观性的判定 一、能控性的判定 1．格拉姆矩阵判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是 存在这样一个时刻t1>0，使得格拉姆矩阵 是非奇异的，或者在[0,t]区间， 的行 是彼此独立的 W t e BB e dt t At T A t c T  − −  = 1 0 1 (0, ) e B At

注意:格拉姆矩阵判据主要应用于理论分 析,这是因为在实际应用中,首先要计 算出矩阵指数函数e-A,而当A的维数 较大时并非易事。根据格拉姆矩阵判据 可以求出一种将初始点转移到原点所需 的控制变量,且此种控制变量是耗能最 小的。利用格拉姆矩阵判据可以推出 个较为实用的能控性判据,即秩判据

注意：格拉姆矩阵判据主要应用于理论分 析，这是因为在实际应用中，首先要计 算出矩阵指数函数e－At，而当A的维数 较大时并非易事。根据格拉姆矩阵判据 可以求出一种将初始点转移到原点所需 的控制变量，且此种控制变量是耗能最 小的。利用格拉姆矩阵判据可以推出一 个较为实用的能控性判据，即秩判据

2.秩判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是 rankB AB A B AB 称矩阵Q=BABA2B…4”B」为系统 的能控性判别阵,该结论完全是由线性定 常系统的格拉姆矩阵的非奇异性推导而来, 与格拉姆矩阵判据是完全等价的

2．秩判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是 称矩阵 为系统 的能控性判别阵，该结论完全是由线性定 常系统的格拉姆矩阵的非奇异性推导而来， 与格拉姆矩阵判据是完全等价的。 rankB AB A B A B n n = 2  −1 Q B AB A B A B n c 2 −1 = 

132 21 例A=|020B=1 l00 013 试判断能控性 解:写出能控性判别矩阵 213254 Qc=112244 1-1-1-1-1-1 ranko=2(3系统不完全能控

  〈 系统不完全能控 解：写出能控性判别矩阵 试判断能控性 例 ， 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 4 2 1 3 2 5 4 1 0 0 1 1 1 1 2 1 013 0 2 0 13 2 =           − − − − − − = =           − − =           = C C rankQ Q A B C

3.PBH秩判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是对 矩阵A的所有特征值2.i=12n,均有 下式成立: rank / -A B=n, i=1, 2,,n 或mmks-AB]=n,Ws∈C复数域 即s-A和B是左互质的

3．PBH秩判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是对 矩阵A的所有特征值 ，均有 下式成立： 即 是左互质的。 i , i =1,2,...,n   或 ranksI A B n s C复数域 rank i I A B n i n − =   − = = ,  , 1,2,..., sI − A和B

上例A阵的特征值A=12=2A3=3 0-3-22 1=17mk0-1 1=3 0-1-3-1-1 1-3-22 2=2 rank00011=3 0-1-1-1-1 2-3-221 13=3ram01011|=2 所以系统不完全能控

所以系统不完全能控 上例 阵的特征值 2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 2 3 2 2 1 3 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 3 2 2 1 2 3 0 1 3 1 1 0 1 0 1 1 0 3 2 2 1 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 =           − − − − − = =           − − − − − − = =           − − − − − − − = = = = rank rank rank A      

4.PBH特征向量判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是A 不能有与B的所有列相正交的非零左特征向 量,即对A的任一特征值元使同时满足 Ca=na aB=o 的特征向量a≡0 此判据与其他能控性判据是完全等价的

4．PBH特征向量判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是A 不能有与B的所有列相正交的非零左特征向 量，即对A的任一特征值 使同时满足 的特征向量 i A = , B = 0 T T i T      0 此判据与其他能控性判据是完全等价的

与PBH特征向量判据的关系 由PBH判据可知,如果系统是不完全能控 的,mamk,- A B<n,也就是说该矩阵的 行是线性相关的,那么必定存在一个非零 的列向量,使德[-AB=0 即 a(,I-A)=0→aA=ax CB=0 这正是PBH特征向量判据的结论

由PBH判据可知，如果系统是不完全能控 的， ，也就是说该矩阵的 行是线性相关的，那么必定存在一个非零 的列向量 ，使得 即： 这正是PBH特征向量判据的结论。 ranki I − A B n   i I − A B = 0 T   0 ( ) 0 = − =  = B I A A T i T T i T       PBH秩判据与PBH特征向量判据的关系

5频域判据 ■线性定常系统完全能控的充分必要条件是 eB的行是彼此独立的 或(S1-A)B的行是彼此独立的 ■此判据可以用来导出输入输出描述和状态空 间描述之间的关系

5 频域判据  线性定常系统完全能控的充分必要条件是  的行是彼此独立的  或 的行是彼此独立的  此判据可以用来导出输入输出描述和状态空 间描述之间的关系。 e B AtsI A B 1 ( ) − −

6.约当规范型判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是 Casel:当A矩阵的特征根两两相异时,在导出 的对角线规范型 0 x+Bu 中,矩阵B不包含元素全为零的行

6．约当规范型判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是 Case1:当A矩阵的特征根两两相异时，在导出 的对角线规范型 中，矩阵 不包含元素全为零的行。 x x Bu n +           = −1 1 0 0     B