北京化工大学：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性系统状态空间设计方法（7.5）线性变换及规范型

第五节线性变换及规范型 线性变换(坐标变换) 目的:在状态空间分析过程中,为了使所研究 的系统在表达上更简洁,而不改变系统的任 何内在特性,以方便对系统的分析

第五节 线性变换及规范型 一.线性变换（坐标变换） 目的：在状态空间分析过程中，为了使所研究 的系统在表达上更简洁，而不改变系统的任 何内在特性，以方便对系统的分析

代数等价: 给定一线性定常系统》(A,B,C,D 如果可以引入一非奇异变换x=Px 其中P是非奇异矩阵,经变换后系统写为 x=ax+ Bu= PaPx+ PBu y=Cx+ Du=cPx+ Du 那么就称这两个状态空间描述是代数等价的

代数等价： 给定一线性定常系统 (A,B,C,D) x = Px, y Cx Du CP x Du x Ax Bu PAP x PBu = + = + = + = + − − 1 1  如果可以引入一非奇异变换 其中P是非奇异矩阵，经变换后系统写为： 那么就称这两个状态空间描述是代数等价的

■代数等价系统能控性与能观测性保持不变,也 就是说经过非奇异变换之后,两个性质不变, 完全能控(观测)仍对应完全能控(观测), 不完全能控(观测)仍对应不完全能控(观 测),且不完全能控(观测)的程度不变 代数等价系统的输入输出传递函数不变,特征 方程不变

 代数等价系统能控性与能观测性保持不变，也 就是说经过非奇异变换之后，两个性质不变， 完全能控（观测）仍对应完全能控（观测）， 不完全能控（观测）仍对应不完全能控（观 测），且不完全能控（观测）的程度不变。  代数等价系统的输入输出传递函数不变，特征 方程不变

■对于完全能控或是完全能观测的线性定常系 统,如果单从能控性或是能观测性这两个基 本特性出发构造出一个非奇异变换,那么就 可以把系统的状态空间描述在这一线性变换 下,转化成只有能控系统或能观测系统才具 有的标准形式。通常把这种标准形式的状态 空间描述称为能控规范型,能观测规范型

 对于完全能控或是完全能观测的线性定常系 统，如果单从能控性或是能观测性这两个基 本特性出发构造出一个非奇异变换，那么就 可以把系统的状态空间描述在这一线性变换 下，转化成只有能控系统或能观测系统才具 有的标准形式。通常把这种标准形式的状态 空间描述称为能控规范型，能观测规范型

二能控性规范型 给定系统Σ:文=Ax+bn,y=cx,且系 统是完全能控的,有 rankb A6….Anb=n 持征多项式为 det(sl-A)=a(s=S"+a,"+.+a, s+ao

二 能控性规范型 给定系统 ，且系 统是完全能控的，有 特征多项式为  : x  = Ax + bu, y = cx rankb Ab A b n n =  −1 1 0 1 1 det(sI A) (s) s a s a s a n n n − = = + + + + − −   

定义常数及构造变换矩阵 n-1=cb Bm-2=CAb+an-cb B=CA"6+am-CA"b+.+a,cb B0=cb+ancA”b+…+acb 0 P=Ab Ab b

定义常数及构造变换矩阵 cA b a cA b a cb cA b a cA b a cb cAb a cb cb n n n n n n n n n 1 2 1 1 0 2 3 1 2 1 2 1 1 = + + + = + + + = + = − − − − − − − − −                      = − − − 1 1 1 0 1 1 1 1 n n n a a a P A b Ab b     

在变换 下,可以导出系统的 能控标雅型 x=Ax+b u y 其中 A=PAP 00a 6=pb 0 c=CP=[B0B1…B

在变换 下，可以导出系统的 能控标准型 其中 x P x −1 =   0 1 1 1 0 1 1 1 , 1 0 0 , 0 0 0 1 0 0 0 1 − − − − = =             = =             − − − = = c n c n c c cP b P b a a a A P AP        y c x x A x b u c c c = = + , 

举例:给定系统 x=0-21x+|1l 01x 特征多项式为 det(sl-A)=a(s)=S+6s+lls+6

举例：给定系统 特征多项式为： y  x x x u 1 0 1 1 1 0 0 0 3 0 2 1 1 1 2 =           +           − − −  = det( ) ( ) 6 11 6 3 21 − = = + + +  sI A  s s s s

非奇异变换矩阵 001830 610|=451 31‖116 28 10 1828 以及构造常数B02…,Bn1 ββ cb=1 CAb+acb=6 Bo=CA b+a2CA6+a,cb=10

非奇异变换矩阵： 以及构造常数           − − − − =           =                     − − − − = − 2 18 28 2 8 8 2 3 3 10 1 2 3 1 4 5 1 8 3 0 11 6 1 6 1 0 1 0 0 9 3 1 1 1 1 10 3 0 1 P P 0 1 , ,    n− 10 6 1 2 1 2 0 1 2 2 = + + = = + = = = cA b a cAb a cb cAb a cb cb   

因此可以得到系统的能控性标准型 010 b=0 6 6 06 ]

因此可以得到系统的能控性标准型： 10 6 1 1 0 0 , 6 11 6 0 0 1 0 1 0 =           =           − − − = c c c c A b