第五节采样系统的数学描述及求 数学描述及相互转化 线性系统的数学模型有三种 差分方程 k+n)+a,y(k+n-1)++a,_(k-1)+any(k bor(k+m)+b,r(k+m-1)+.+bm r(k) 脉冲传递函数G(2)=Y(Z儿U(Z) 状态空间表达(状态差分方程) X(k+1)=A(k)x(k)+B(ku(k) y(k)=C(k)x()+D(ku(k
第五节 采样系统的数学描述及求 解 一 数学描述及相互转化 线性系统的数学模型有三种 差分方程 脉冲传递函数 G(Z)=Y(Z)/U(Z) 状态空间表达（状态差分方程） x(k+1)=A(k)x(k)+B(k)u(k) y(k)＝C(k)x(k)+D(k)u(k) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 1 b r k m b r k m b r k y k n a y k n a y k a y k m n n = + + + − + + + + + − + + − − +
与连续系统一样,在一定条件下,三者可 以相互转化 条件:当初始条件为零时: y(0)=y(1)=.=y(n-1)=0 u(0)=u(1)=.=u(m-1)=0 因为脉冲传函都是在初始条件为零是定义 的,变换方法与连续系统相同
与连续系统一样，在一定条件下，三者可 以相互转化 条件：当初始条件为零时: y(0)=y(1)=…=y(n-1)=0 u(0)=u(1)=…=u(m-1)=0 因为脉冲传函都是在初始条件为零是定义 的，变换方法与连续系统相同
差分方程vs脉冲传递函数 方法:z变换与反变换 已知系统差分方程为 y(k+n)+a,y(k+n-1)+.+a,yk-1)+a,y(k) bor(k+m)+b, r(k+m-1)+.+bm r(k 在零初值条件下,将其进行z变换得: C12++a +an)X(=) (b2+b1=”+…+bn12+bn)R(z)
差分方程vs脉冲传递函数 方法：z变换与反变换 已知系统差分方程为 在零初值条件下，将其进行z变换得： ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 1 b r k m b r k m b r k y k n a y k n a y k a y k m n n = + + + − + + + + + − + + − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 1 b z b z b z b R z z a z a z a Y z m m m m n n n n = + + + + + + + + − − − −
则脉冲传递函数为 a12 G(=) Y(z R(2) boom+b +6 举例:已知差分方程如下,求G(z) y(k+2)-y(k)=u(k) ■解:将差分方程进行z变换得: zY(z)-Y()=U/(z) G(z)=
则脉冲传递函数为 举例：已知差分方程如下，求G(z) 解：将差分方程进行z变换得： m m m n n n b z b z b z a z a R z Y z G z + + + + + + = = − − 1 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) y(k + 2) − y(k) = u(k) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 − = − = z G z z Y z Y z U z
差分方程vs状态方程 ■由描述离散系统动态特性的差分方程,可用 状态变量为基础列出系统的离散动态方程 (单入单出): X(k+1)=AX(k)+bu(k) y(k)=CX(k +x(k+1) x(k) y(k c
差分方程vs状态方程 由描述离散系统动态特性的差分方程，可用 状态变量为基础列出系统的离散动态方程 （单入单出）： = + = + ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) y k CX k X k AX k bu k
A高阶差分方程转为离散状态空 间方程 假定系统差分方程为: y(k+n)+a1y(k+n-1)+…+an1y(k-1)+any(k)=bnr(k 算法:取状态变量为 x1(k)=y(k) x2(k)=x1(k+1)=y(k+1) x,(k)=x,-(k+1)=y(k+n n经推导可得下列形式的状态方程:
A 高阶差分方程转为离散状态空 间方程 假定系统差分方程为： 算法：取状态变量为 经推导可得下列形式的状态方程： ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 1 1 y k n a y k n a y k a y k b r k + + + − ++ n− − + n = m = + = + − = + = + = − ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 1 2 1 1 x k x k y k n x k x k y k x k y k n n
X(k+1=AX(k)+bu(k y(k)=CX(k)+du(k) 其中 0…0d=0
其中 = + + = + ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) y k CX k du k X k AX k bu k 1 0 0, 0 , 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 = = = − − − − = − c d b b a a a a A m n n
■例将2阶差分方程转化离散状态空间方 y(k+2)+y(k+1)+0.16y(k)=u(k) 解:设变为 ()=x(k+1)=y(k+1) x1(k+ 01‖x1(k).0 (k x2(k+1)|-0.16-1x2(k (k)=[ 01( x2(4)/=x(k) 初始条件×1(0)=y(0),x2(0)=y(1)
例 将2阶差分方程转化离散状态空间方 程。 y(k+2)+y(k+1)+0.16y(k)=u(k) 解：设状态变量为 则 初始条件 x1(0)=y(0), x2(0)=y(1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 2 1 1 = + = + = x k x k y k x k y k ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) 1 0 ( ) ( ) 0.16 1 0 1 ( 1) ( 1) 1 2 1 2 1 2 1 x k x k x k y k u k x k x k x k x k = = + − − = + +
B离散状态空间方程转化为高阶差 分方程 ■注意此项转化相对困难,一般以脉冲传递函 数作为中介,即: 离散状态空间方程 脉冲传递函数 高阶差分方程
B 离散状态空间方程转化为高阶差 分方程 注意此项转化相对困难，一般以脉冲传递函 数作为中介，即： 离散状态空间方程 脉冲传递函数 高阶差分方程
离散状态方程vs脉冲传递函数 ■至于由离散状态空间方程求得脉冲传递函数, 则可将动态方程先求z变换,在零初始条件下 消去中间变量则有 G(=)=C(z/-A)b
离散状态方程vs脉冲传递函数 至于由离散状态空间方程求得脉冲传递函数， 则可将动态方程先求z变换，在零初始条件下 消去中间变量则有 G z c zI A b 1 ( ) ( ) − = −
