第四章控制系统的根轨迹分析方法 系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统 的稳定性和动态特性。 研究闭环特征根的分布与闭环系统的动态特性 之间的定性、定量关系(分析问题) 根据控制系统动态特性要求决定闭环极点在根平 面的位置; ●研究调节器参数与闭环特征根的变化关系,设计 调节器(设计问题)
第四章 控制系统的根轨迹分析方法 系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统 的稳定性和动态特性。 l 研究调节器参数与闭环特征根的变化关系，设计 调节器（设计问题）。 l 研究闭环特征根的分布与闭环系统的动态特性 之间的定性、定量关系（分析问题）； l 根据控制系统动态特性要求决定闭环极点在根平 面的位置；
伊凡思( W.R. Evans发明根轨迹法 几何图解求解特征根 ●系统中某一参数在全部范围内(0→∞)变化时, 系统闭环特征根随之变化的轨迹 ●利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控 制系统。 常规根轨迹法以开环增益K做为参数画出根轨迹的 ●可以推广到其它参数的变化一参数根轨迹。 可用于单变量系统和多变量系统
伊凡思(W.R. Evans)发明根轨迹法 －几何图解求解特征根 l 系统中某一参数在全部范围内（0→∞）变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹。 l 可以推广到其它参数的变化－参数根轨迹。 l 可用于单变量系统和多变量系统。 l 常规根轨迹法以开环增益K做为参数画出根轨迹的。 l 利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控 制系统
本章主要内容 口以K为变量的常规根轨迹的绘制方法 口以其它参数为变量的参数根轨迹的绘制方法 口根轨迹分析方法的应用 利用根轨迹分析和设计控制系统
本章主要内容 ❑ 以K为变量的常规根轨迹的绘制方法 ❑ 以其它参数为变量的参数根轨迹的绘制方法 ❑ 根轨迹分析方法的应用 －利用根轨迹分析和设计控制系统
§1根轨迹的基本概念 定义: 根轨迹一系统中某一参数在全部范围内变化时, 系统闭环特征根随之变化的轨迹
§1 根轨迹的基本概念 定义： 根轨迹 —系统中某一参数在全部范围内变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹
、根轨迹举例 例4-1-1二阶系统的方块图如下,绘制它的根轨迹。 开环传递函数:G(s)H() K s(S+1) →→K s(s+1) 闭环传递函数:C(s) K 1+G(S)H(S)S+s+K 分析有2个开环极点P1=0,P2=-1,没有开环零点 闭环特征方程1+G(s)H(s)=0,s2+s+K=0 求出2个闭环特征根: S1,=-0.5±0.5√1-4K (4-1-1) 闭环特征根是K的函数。当K从0~∞变化 闭环特征根在根平面上形成根轨迹
1、根轨迹举例 例4-1-1 二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。 － s(s 1) 1 + 开环传递函数： ( 1) K ( ) ( ) + = s s K G s H s 分析 有2个开环极点 p 0, p 1 , 1 = 2 = − 没有开环零点。 闭环特征方程 1 ( ) ( ) 0, 0 2 + G s H s = s + s + K = 求出2个闭环特征根： s1,2 = −0.5 0.5 1− 4K （4-1-1） 闭环特征根是K的函数。当K从0～∞变化， 闭环特征根在根平面上形成根轨迹。 闭环传递函数： s s K K G s H s G s + + = + 2 1 ( ) ( ) ( )
K取不同值: 5=5051-4k(co()=K S(S+ K=0,S1=0,s2=-1, (等于两个开环极点) K=,S1=-0.5,52=-0.5,(两根重合于-0.5处) K:0→>0.25,S1:0--0.5,S2:-1→-0.5 (即0≤Kl,s12=-05±05j4K-1 1-0.50Re (两根为共轭复数根,其实部为-0.5) K→>∞,Re(S12)=-0.5,Im(S1,2)→>
K取不同值： • K = 0, （等于两个开环极点） Im 0 Re , (两根重合于－0.5处) 4 1 • K = （即0≤K≤1/4，两根为实根） • K : 0 → 0.25, × × ﹣1 ﹣0.5 (两根为共轭复数根，其实部为－0.5) , 4 1 • K ● s1,2 = −0.5 0.5 1− 4K ( 1) ( ) ( ) + = s s K G s H s 0, 1, s1 = s2 = − 0.5, 0.5, s1 = − s2 = − 0.5 0.5 4 1 s1,2 = − j K − • K → , Re(s1,2 ) = −0.5, Im(s1,2 ) → s1 : 0 → −0.5, s2 : −1→ −0.5
总结: K G(SH(S) S(S+ 这是个2阶系统,有两个闭环极点,有2条根轨迹 口根轨迹是从开环极点出发点。 口根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的 口通过选择增益K,可使闭环极点落 在根轨迹的任何位置上。 口如果根轨迹上某一点满足动态特 1-0.50 Re 性要求,可以计算该点的K值实现 设计要求
总结： ❑ 有两个闭环极点，有2条根轨迹。 ❑ 根轨迹是从开环极点出发点。 ❑ 通过选择增益K，可使闭环极点落 在根轨迹的任何位置上。 ❑ 如果根轨迹上某一点满足动态特 性要求，可以计算该点的K值实现 设计要求。 Im 0 Re × × ﹣1﹣0.5 ● ( 1) ( ) ( ) + = s s K G s H s 这是个？阶系统， 2 ❑ 根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的
例41-2对上述单位反馈的二阶系统,希望闭环系统 的阻尼系数ξ=0.5,确定系统闭环特征根 解:根据以前课程,根据阻尼系数求出阻尼角 阻尼角0计算如下: toe= 3 c 5=0.5 √3 0=60° S12=c±j 0.0 Re 2 on±ooV1- 3 =-0.5± √3 2
例4-1-2 2 3 2 3 − = 0.5 对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统 的阻尼系数ξ=0.5，确定系统闭环特征根。 解：根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。 阻尼角θ计算如下： 3 , 1 2 = − = tg = = 60 s1,2 = j 2 0 0 = − 1− 2 3 = −0.5 j × Im 0 Re × ﹣1 ﹣0.5 ●
S12=-0.5±j √3 S,,=-0.5±0.5√1-4K(4-1-1) 口阻尼系数为05时的射线与根轨迹交点处的K值可 以计算出来。 口与(4-1-1)式比较得:√4k-1=√3,即K=1。 获得系统的根轨迹有两个方法: 口解析法;对闭环特征方程解-051 析求解,逐点描绘 精确,工作量大 口图解法:利用 Evans总结的 0.0 规律画出根轨迹。 近似,简单,尤其适合高阶系统
❑ 阻尼系数为0.5时的射线与根轨迹交点处的K值可 以计算出来。 ❑ 与（4-1-1）式比较得： 4k −1 = 3 , 即K=1。 s1,2 = −0.5 0.5 1− 4K （4-1-1） 获得系统的根轨迹有两个方法： ❑ 图解法：利用Evans总结的 规律画出根轨迹。 －近似,简单，尤其适合高阶系统 ❑ 解析法：对闭环特征方程解 析求解，逐点描绘。 －精确，工作量大 2 3 2 3 − = 0.5 × Im 0 Re × ﹣1 ﹣0.5 ● 2 3 s1,2 = −0.5 j
§2根轨迹的基本性质及绘图规则 1、根轨迹的基本关系式 G(S) × 典型的反馈控制系统如图: H(S) 其开环传递函数: a(s) G(SH(S)=K b(s) K(S-z1)(S-2)…(--n) (S-z) (4-2-1) s-p)(S=B2)…=P)I(s-p) 其中:K:开环增益, ;,i=1,2,…m 开环零点, P;i=1,2,…n,n≥m—开环极点
§2 根轨迹的基本性质及绘图规则 1、根轨迹的基本关系式 典型的反馈控制系统如图: G(s) H(s) － 其开环传递函数： （4-2-1） ( ) ( ) b s a s = K ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p K s z s z s z − − − − − − = = = − − = n i i m i i s p s z K 1 1 ( ) ( ) G(s)H(s) 其中：K:开环增益， zi , i = 1,2, m — 开环零点， pi , i = 1,2, n, n m — 开环极点。 ×