§2控制系统的状态空间模型 前面所讲的采用系统输入、输出微分方程描述系统的动态特性对于单输入、单输 出线性定常系统比较简单实用,现代控制理论采用状态空间的方法建立系统数学 模型,而且这两种表示方法可以互相转换。 状态空间法是现代控制理论采用的一种时域方法,这种方法适用于线性系统、非 线性系统、单变量系统或多变量系统。通过状态反馈可对系统内的各状态变量进 行控制,所以可能实现最优控制。 21状态空间的基本概念 被控对象的变量可以分为三类 (1)控制变量和干扰变量(输入变量):u=[u,l2…u, (2)对象的被控变量(输出变量) y=[1,y2 (3)状态变量:x=[x1,x2…xn],状态空间表达式中的状态是表征系统动态特 性的变量,是确定系统运动状态所需要的最少一组变量。只要知道这组变量的初 始值(初始状态)和t≥l时的外施作用(外加输入信号),就能够完全唯一的 确定在t≥t0的任何时间的系统状态。 用状态变量描述系统的动态方程称为状态方程,因其能反映系统内各状态变量的 信息,所以状态变量描述法又称为内部描述法 对于线性定常系统,其状态方程的基本形式为 x= dx+B y=Cx+Du 其中,x:n维向量,u:r维向量,y:m维向量。A:n×n维的系数矩阵,B:n r维的控制矩阵,C:m×n的输出矩阵,D:m×r的直接关联矩阵。 状态变量的选取不是唯一的,只要满足作为状态变量的条件都可以选择做状态变 量。从理论上讲,可以有无穷多组状态变量,在选择系统的状态变量时可以选择 可以测量或不可测量的变量。状态变量的选择要充分考虑完全表示系统状态和最 小数目独立变量这两点 22状态空间方程的建立 例2-2-1力学系统弹簧质量阻尼器系统入图示。列出以拉力Fi为输入,以质 量单元的位移y为输出的状态方程。 (1)确定输入变量:系统入Fi,出 (2)基本定理:古典力学系统符合牛顿第二定律 d 2 a= ∑F M
§2 控制系统的状态空间模型 前面所讲的采用系统输入、输出微分方程描述系统的动态特性对于单输入、单输 出线性定常系统比较简单实用，现代控制理论采用状态空间的方法建立系统数学 模型，而且这两种表示方法可以互相转换。 状态空间法是现代控制理论采用的一种时域方法，这种方法适用于线性系统、非 线性系统、单变量系统或多变量系统。通过状态反馈可对系统内的各状态变量进 行控制，所以可能实现最优控制。 2.1 状态空间的基本概念 被控对象的变量可以分为三类： （1）控制变量和干扰变量（输入变量）： T u u u ur [ , ] = 1 2 （2）对象的被控变量（输出变量）： T m y [ y , y , y ] = 1 2 （3）状态变量： T n x [x , x x ] = 1 2 ，状态空间表达式中的状态是表征系统动态特 性的变量，是确定系统运动状态所需要的最少一组变量。只要知道这组变量的初 始值（初始状态）和 0 t t 时的外施作用（外加输入信号），就能够完全唯一的 确定在 0 t t 的任何时间的系统状态。 用状态变量描述系统的动态方程称为状态方程，因其能反映系统内各状态变量的 信息，所以状态变量描述法又称为内部描述法。 对于线性定常系统，其状态方程的基本形式为 y Cx Du x Ax Bu = + = + 其中，x：n 维向量，u：r 维向量，y：m 维向量。A：n×n 维的系数矩阵，B：n ×r 维的控制矩阵，C：m×n 的输出矩阵，D：m×r 的直接关联矩阵。 状态变量的选取不是唯一的，只要满足作为状态变量的条件都可以选择做状态变 量。从理论上讲，可以有无穷多组状态变量，在选择系统的状态变量时可以选择 可以测量或不可测量的变量。状态变量的选择要充分考虑完全表示系统状态和最 小数目独立变量这两点。 2.2 状态空间方程的建立 例 2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统入图示。列出以拉力 Fi 为输入，以质 量单元的位移 y 为输出的状态方程。 （1）确定输入变量：系统入 Fi，出：y （2）基本定理：古典力学系统符合牛顿第二定律 2 2 dt d y ma = F = m （2-2-1）
合力:∑F=F+F+F 其中,弹簧阻力FA=-ky,k是弹簧的弹性系数。 图2-5弹簧-质量阻尼 壁摩擦力F,=-∫,f是摩擦系数, dt 代入(21)式:m2+r+=F (22-2) 弹簧平移运动是一个二阶线性系统。定义状态向量、控制向量和输出向量 u=F, y=y x2=y=X 整理(2-2-2)式 d +fx,+kx,=u 可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分方程组的形式 dt k x;+-l 这个方程组是用每个状态变量的变化率来描述系统状态的变化规律。可以进一步 表示为矩阵形式: XI k 和 以上用矩阵形式表示的系统方程就是系统的状态方程。它由状态方程 文=Ax+Bu,输出方程y=Cx组成 其中系统系数矩阵A=k_f,控制矩阵B 输出矩阵C=[d 对同一系统可以选择各种不同的状态变量组,因而也可以用不同的状态方程来描 述它。但是,只要系统的输入和输出量已经确定,则描述其输入、输出关系式的 数学模型却是唯一的 建立状态方程的步骤: 1.确定系统的输入变量和输出变量。 2.用微分方程表达对象的数学模型,如有非线性特性则作线性化处理。 3.根据微分方程的阶次,选择独立的状态变量,用一阶微分方程组的形式来表 达对象的数学模型。 4.整理表达式为x=Ax+B的形式
图 2-5 弹簧-质量-阻尼 器系统 合力： F = Fi + Fk + Ff ， 其中，弹簧阻力 F ky k = − ，k 是弹簧的弹性系数。 壁摩擦力 dt dy F f f = − ，f 是摩擦系数。 代入（2-2-1）式： Fi ky dt dy f dt d y m + + = 2 2 （2-2-2） 弹簧平移运动是一个二阶线性系统。定义状态向量、控制向量和输出向量 2 1 1 x y x x y = = = u F , y y , = i = 整理（2-2-2）式 fx kx u dt dx m + 2 + 1 = 2 可将 2 阶微分方程表示的系统写成 2 个一阶微分方程组的形式 u m x m k x m f dt dx x dt dx 1 2 1 2 2 1 = − − + = 这个方程组是用每个状态变量的变化率来描述系统状态的变化规律。可以进一步 表示为矩阵形式： u m x x m f m k x x x + − − = = 1 0 1 0 2 1 2 1 和 = 2 1 1 0 x x y 以上用矩阵形式表示的系统方程就是系统的状态方程。它由状态方程 x = Ax + Bu, 输出方程 y = Cx 组成。 其中系统系数矩阵 A = − − m f m k 0 1 ，控制矩阵 B = m 1 0 输出矩阵 C = 1 0 对同一系统可以选择各种不同的状态变量组，因而也可以用不同的状态方程来描 述它。但是，只要系统的输入和输出量已经确定，则描述其输入、输出关系式的 数学模型却是唯一的。 建立状态方程的步骤： 1．确定系统的输入变量和输出变量。 2．用微分方程表达对象的数学模型，如有非线性特性则作线性化处理。 3．根据微分方程的阶次，选择独立的状态变量，用一阶微分方程组的形式来表 达对象的数学模型。 4．整理表达式为 x = Ax + Bu 的形式
5.根据输出变量是状态变量的线性组合,得出输出方程y=Cx 例2-2-2如图由两个液体贮槽串联组成。 由以前分析可知,经线性化后: QI h R1 B fh,=+kf f o R2 k=a√h2 图2-6液体贮槽 在这个系统中,液位h2作为被控变量,仍通过安装在流出管道上的调节阀的开 度f控制液位。因此,f是控制变量。在例2-2中,我们已就相同情况下的一阶 贮槽建立了数学模型式(2-1-10)。去除Δ号,为 dh 1 h=旦1-6 这里,只要再增加第一个贮槽的模型即可。Q1与h有关,g=当,R1为阀门 R 的阻力系数。 建立模型: (1)确定输入输出变量入(自变量):Qn(扰动量)、F:(控制量),出:(因变量h2 (2)根据物料守恒定律列出原始方程 A,-=2mn-Q=Q h dt 内 R1 整理: AR A h, h, h 91-Q kf h, RR A,R A, A (3)选择系统的状态变量Ⅹ、控制变量U和输出变量y 选择X ha (4)列写状态方程 上面方程可改写: AR A 0 X+ A R, A2R2 A2 (5)列写输出方程
5．根据输出变量是状态变量的线性组合，得出输出方程 y = Cx 例 2-2-2 如图由两个液体贮槽串联组成。 由以前分析可知，经线性化后： 2 0 2 0 0 2 2 2 1 2 1 1 1 , 2 1 , , k h h f R k f R h Q f h h R R h Q out = = + = = = = 图 2-6 液体贮槽 在这个系统中，液位 h2 作为被控变量，仍通过安装在流出管道上的调节阀的开 度 f 控制液位。因此，f 是控制变量。在例 2-2 中，我们已就相同情况下的一阶 贮槽建立了数学模型式（2-1-10）。去除Δ号，为 h Q kf dt R dh A + = 1 − 1 （2-1-10） 这里，只要再增加第一个贮槽的模型即可。Q1 与 h1有关， 1 1 1 R h Q = ，R1 为阀门 的阻力系数。 建立模型： (1) 确定输入输出变量 入(自变量)：Qin(扰动量)、F：(控制量)，出：(因变量)h2 (2) 根据物料守恒定律列出原始方程 kf R h R h Q Q dt dh A R h Q Q Q dt dh A out in in = − = − − = − = − 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 整理： f A k A R h A R h h A Q A R h h in 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 = − − = − + (3) 选择系统的状态变量 X、控制变量 U 和输出变量 y 选择 2 2 1 2 1 y h f Q u h h x x X in = = = = (4) 列写状态方程 上面方程可改写： 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 u A k A R x A R x x A u A R x x = − − = − + − + − − = • 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 u u A X X k A A R A R A R (5) 列写输出方程 y = 0 1X
此例中,二阶贮槽系统的系数矩阵、控制矩阵和输出矩阵是 A 0 0 C=[01 通过状态方程的求解,我们不仅能够知道被控变量h2随扰动量Qi、控制量f (调节阀流通面积)的变化情形,也可以了解系统内部的变量,如h的变化 情况 注意:状态方程各向量的维数(变量个数)问题(判断正误): 输入输出向量由问题本身决定(假设r个输入m个输出) 状态变量个数由方程阶次决定,几阶系统有几个状态变量: 各矩阵维数:系数矩阵n×n,控制矩阵n×r,输出矩阵m×n。 状态变量选择不是唯一的,如可选x1=h2,x2=h2,则状态方程不同。 状态方程只能描述线性系统,非线性系统需线性化后方可使用
此例中，二阶贮槽系统的系数矩阵、控制矩阵和输出矩阵是 [0 1] 0 0 0 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 = − = − − A = B C A k A A R A R A R 通过状态方程的求解，我们不仅能够知道被控变量 h2 随扰动量 Qin、控制量 f （调节阀流通面积）的变化情形，也可以了解系统内部的变量，如 h1 的变化 情况。 注意：状态方程各向量的维数（变量个数）问题（判断正误）： 输入输出向量由问题本身决定（假设 r 个输入 m 个输出）； 状态变量个数由方程阶次决定，几阶系统有几个状态变量； 各矩阵维数：系数矩阵 n×n，控制矩阵 n×r，输出矩阵 m×n。 状态变量选择不是唯一的，如可选 1 2 2 2 x = h , x = h' ，则状态方程不同。 状态方程只能描述线性系统，非线性系统需线性化后方可使用