§3根轨迹方法的推 常规根轨迹一以开环增益K为可变参量 参数根轨迹一其它参数为变量 (如某些开环零极点、调节器PID参数 或者系统的时间常数等) 这些参数必须以线性乘法因子形式出现在 特征方程中
§3 根轨迹方法的推 广 常规根轨迹－以开环增益K为可变参量 这些参数必须以线性乘法因子形式出现在 特征方程中。 （如某些开环零极点、调节器PID参数 或者系统的时间常数等） 参数根轨迹－其它参数为变量
1、单参数根轨迹 绘制参数根轨迹的步骤如下 (1)写出原系统的特征方程式; (2)列写等效系统的开环传递函数(GH)2。 ●概念:指具有相同的闭环特征方程: 1+GH=1+(GH 因而具有相同的闭环特征根,即相同的根轨迹 ●做法:从原系统的特征方程出发,把参变量的乘 积项写到分子上,其余部分写在分母上。这样, 参变量移到K的位置 (3)把等效系统的参数当作原系统中的增益K,以常 规根轨迹的绘制规则,绘制参数根轨迹。 绘制参数根轨迹的关键是得到等效开环传递函数
1、单参数根轨迹 绘制参数根轨迹的步骤如下： (2) 列写等效系统的开环传递函数(GH )e。 (1) 写出原系统的特征方程式； l 概念：指具有相同的闭环特征方程： GH GH e 1+ = 1+ ( ) l 做法：从原系统的特征方程出发，把参变量的乘 积项写到分子上，其余部分写在分母上。这样， 参变量移到K的位置。 因而具有相同的闭环特征根，即相同的根轨迹。 (3) 把等效系统的参数当作原系统中的增益K，以常 规根轨迹的绘制规则，绘制参数根轨迹。 绘制参数根轨迹的关键是得到等效开环传递函数
(1)等效开环传递函数 以下图所示的调节系统为例说明。 R(S Kp Y( 1、G(s)=Ka,以K为变量 Ges a(s) K K 开环传递函数:G0(s) c p aS 闭环特征方程:a(s)+KKn=0 IGHe a(s 闭环特征方程相同 K=KK K K:0→∞,K:0→)∞ P
（1）等效开环传递函数 以下图所示的调节系统为例说明。 a(s) Kp Gc (s) ﹢﹣ R(s) Y(s) , ( ) ( ) 0 a s K K G s c p 开环传递函数： = [GH] e = 闭环特征方程：a(s) + Kc Kp = 0 K = Kc Kp ( ) , c Kc 1、 G s = 以Kc 为变量。K : 0 → , Kc : 0 → p c K K K = 闭环特征方程相同。 Kc K p a(s)
R(S)Ca1 KpY(s) a(s) 2、G(s)=k(+T),以T为变量。 开坏传递函数:G() KK,+KK,IS a(s) 闭环特征方程a(s)+K,Kn+K,K,Ts=0 KcK,Tds GGH。= a(s)+KK 闭环特征方程相同 P K=KK, Ia=klkKp
2 、 a ( s ) Kp Gc(s) ﹢ ﹣ R(s) Y(s) 开环传递函数： 闭环特征方程： , ( ) ( ) c p c p d e a s K K K K T s GH + = , ( ) ( ) 0 a s K K K K T s G s c p + c p d = a ( s ) + Kc K p + Kc K p Td s = 0 ， 闭环特征方程相同。 K KcKpTd Td K KcKp = , = / G (s) K (1 T s) c = c + d ,以Td 为变量
R(S)Ca1 KpY(s) a(s 3、G2(S)=K2(1+ 以T为变量 KKP(S+ 1) sa(s) 闭环特征方程:()+K.K+KK%=0 KK (GH) 有相同的闭环特征方程。 a(s)s+KK,S KK K:0→ k=kK,/T, T= K T12:∞→0
3 、 a ( s ) Kp Gc(s) ﹢ ﹣ R(s) Y(s) ) 1 ( ) ( 1 T s G s K i c = c + , ( ) ( ) ( ) 1 0 sa s K K s G s c p Ti + = a s s K K s K K GH c p c p T e i + = ( ) ( ) 1 / , K = Kc K p Ti 闭环特征方程： ( ) 0 + + 1 = c p c p Ti sa s K K s K K 有相同的闭环特征方程 。 →→ : 0 : 0 Ti K K K K T c p i = , 以 Ti 为变量
参数根轨迹绘制总结: 关键点要把新参数移到原K的位置上,利用常规 根轨迹的画法。 ●移动的原则是等效系统的闭环特征方程必须和原 系统相同。 必须注意: ▲等效只等效在闭环特征方程和它的解(闭环极点) 上,不等效在闭环传递函数上。 ▲闭环零点往往是不相同的,而闭环零点对相同的 闭环过程也有影响。 参数根轨迹只用在分析闭环极点对系统的影响, 不能用于分析整个闭环系统
参数根轨迹绘制总结： l 关键点要把新参数移到原K的位置上，利用常规 根轨迹的画法。 ▲ 等效只等效在闭环特征方程和它的解(闭环极点) 上，不等效在闭环传递函数上。 l 移动的原则是等效系统的闭环特征方程必须和原 系统相同。 必须注意： ▲ 参数根轨迹只用在分析闭环极点对系统的影响， 不能用于分析整个闭环系统。 ▲ 闭环零点往往是不相同的，而闭环零点对相同的 闭环过程也有影响
(2)参数根轨迹的画法 例431绘制当对象的开环极点p(可以认为是时间 常数)变化时的参数根轨迹。 ①开环传递函数: R(S) Y(S) G(S)H(S) K s(s+P) s(s+p) 开环极点:P1=0,D2=-P 图4-1 特征方程:s2+ps+4=0 ②等效系统的开环传递函数 (GH) ps Ps s2+4(s+j2)(s-j2)
（2）参数根轨迹的画法 绘制当对象的开环极点p（可以认为是时间 常数）变化时的参数根轨迹。 例 4-3-1 ① 开环传递函数： ( ) 4 ﹢﹣ s s + p R(s) Y(s) 图4-11 ( ) 4 ( ) ( ) s s p G s H s + = 开环极点： p1 = 0, p2 = − p 特征方程: 4 0 2 s + ps + = K=4 ② 等效系统的开环传递函数 4 ( ) 2 + = s ps GH e (s j2)(s j2) ps + − =
分析:研究开环极点对闭环极点的影响/ 等效系统有两个开环极点±j2,一个开环零点0。 根轨迹起点于±j2,终止于零和无穷远处 负实轴为根轨迹,有一会合点 Im(s) 渐近线:φ=180/1=180,=0 P=0 12 ●求会合点坐标: →00 s2+4 1+(GH2=0,P P Re(s) j2 dP =0s=±2,s=-2在根轨迹上 把s=-2代入p的公式,求出此点p=4
分析： l 等效系统有两个开环极点 j2 ，一个开环零点0。 l 根轨迹起点于 j2 ，终止于零和无穷远处。 ● 渐近线： 180 /1 180 , 0 0 0 = = a = Im(s) Re(s) × × ● -2 P→∞ ∞←P P=0 j2 -j2 ● 求会合点坐标： 1+ ( ) = 0, GH e , 4 2 s s p + = − 0 4 2 2 = − = − s s ds dP s = 2, s = −2在根轨迹上 ● 4 ( ) 2 + = s ps GH e l 负实轴为根轨迹，有一会合点。 P=0 把s＝-2代入p的公式，求出此点p=4。 研究开环极点对闭环极点的影响
还可以画出在p=0时,K从零到无穷大变化时的根轨迹。 此时,系统的开环传递函数为: D=0 K G(s)H()= j2(K=4) s(S+0 2 开环极点:D1=0,D2=0 0 特征方程:s2+K=0,s=±jK K K:0→>∞,s:0→0 图4-13 根轨迹为两条从原点出发,沿正负虚轴 趋向无穷远处的轨迹 )在S=士几2处两图都有K=4
还可以画出在p=0时，K从零到无穷大变化时的根轨迹。 此时，系统的开环传递函数为： 2 ( 0) ( ) ( ) s K s s K G s H s = + = 开环极点： 0, 0 p1 = p2 = 特征方程： 0, 2 s + K = s = j K , K : 0 → ,s: 0 → 根轨迹为两条从原点出发，沿正负虚轴 趋向无穷远处的轨迹 。 0 × j2(K=4) -j2(K=4) p=0 图4-13 比较 在 s = j2处两图都有K=4，p=0
2、多参数根轨迹 当系统中有两个以上参数变化时的根轨迹 叫作根轨迹族。 根轨迹族的一般做法是: 每次选定一个参数为常数,让另一个参数从零 变化到无穷大,画出根轨迹; 随后,改变第一个参数值,重复前面的过程画出 根轨迹
2、多参数根轨迹 当系统中有两个以上参数变化时的根轨迹 叫作根轨迹族。 根轨迹族的一般做法是： l 随后，改变第一个参数值，重复前面的过程画出 根轨迹。 每次选定一个参数为常数，让另一个参数从零 变 化到无穷大，画出根轨迹；
