第五章频率特性分析 §3奈魁斯特( Nyquist)稳定判据及应用 口闭环系统稳定的充要条件是闭环特征根均具有负实部; 口奈魁斯特稳定判据将这个条件转化到频率域,是在频率 域内判定系统稳定性的准则; 口与根轨迹分析方法类似: o不求取闭环特征根 o利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性 o能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性 口奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上; 口理论依据是复变函数中的柯西定理
§3 奈魁斯特(Nyquist)稳定判据及应用 第五章频率特性分析 ❑ 闭环系统稳定的充要条件是闭环特征根均具有负实部； ❑ 奈魁斯特稳定判据将这个条件转化到频率域，是在频率 域内判定系统稳定性的准则； ❑ 与根轨迹分析方法类似： o 不求取闭环特征根 o 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性 o 能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性 ❑ 奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上； ❑ 理论依据是复变函数中的柯西定理
、柯西定理(围线映射)定理 第五章频率特性分析 §3奈魁斯特稳定判据及应用 、柯西定理(围线映射)定理 系统闭环传递函数(s) G(s) X(s)1+G(s)H() 其中:F()=1+G()H(S)是闭环特征多项式 K(s+S1)(s+S2)…(S+S2) (s+n1)(S+p2)…(s+pp) F(s)=1+G(s)H(S)=0是闭环特征方程。 s;,i=1,2F(s)零点 p,i=1,2…,pF(s)的极点
一、柯西定理（围线映射）定理 系统闭环传递函数 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s X s Y s + = 其中： F(s) = 1+ G(s)H(s) 是闭环特征多项式 一、柯西定理（围线映射）定理 第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 F(s) = 1+ G(s)H(s) = 0 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 p z s p s p s p K s s s s s s + + + + + + = 的极点 的零点 , 1,2,... ( ) , 1,2,... ( ) p i p F s s i z F s i i − = − = 是闭环特征方程
、柯西定理(围线映射)定理 第五章频率特性分析 §3奈魁斯特稳定判据及应用 柯西定理:F(s)=1+G)H(s) (1)除奇点外(使F(s)为不定值的解),F(s)是s的单值函数 当在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线C时,在F(平面上也有 封闭曲线C与之对应。即当s连续取封闭曲线上数值时,F(s 也将沿着另一曲线连续变化,把c3称作c的围线映射。它们分 别是s和F(S)的矢量端点变化的轨迹。 IF(S) 「F(s) 1.12 0.577 6 例:某系统:F(s)=1+G)H(s)=1+ (S+1)(s+2) 若s1=1+j2,F(S1)=1+G(s1)H(S1)=112-0.577
柯西定理： 第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 也将沿着另一曲线连续变化，把c’称作c的围线映射。它们分 别是s和F(s)的矢量端点变化的轨迹。 例：某系统： ( 1)( 2) 6 ( ) 1 ( ) ( ) 1 + + = + = + s s F s G s H s 若 1 2, 1 s = + j ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 1 F s = +G s H s = 1.12 − j0.577 一、柯西定理（围线映射）定理 j2 1 [s] [F(s)] ﹣j0.577 1.12 （1）除奇点外（使F(s)为不定值的解），F(s)是s的单值函数。 [s] c [F(s)] c′ 当s在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线C时，在F(s)平面上也有 一封闭曲线C’与之对应。即当s连续取封闭曲线上数值时，F(s) F(s) = 1+ G(s)H(s)
、柯西定理(围线映射)定理 第五章频率特性分析 §3奈魁斯特稳定判据及应用 F(s)=1+G(s)H(3) K(s+s1)(s+2)…(+S2) 0 (s+P1)(s+P2)…(s+pn) S,i=12zF(s)的零点 p,i=12,pF(s)的极点 (2)当s平面上的围线C不包围F(s)的零点和极点时,围线C 必定不包围F(s)平面的坐标原点。 c F(s)
（2）当s 平面上的围线C不包围F(s)的零点和极点时，围线C’ 必定不包围F(s)平面的坐标原点。 第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 一、柯西定理（围线映射）定理 F(s) = 1+ G(s)H(s) 0 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 = + + + + + + = p z s p s p s p K s s s s s s 的极点 的零点 , 1,2,... ( ) , 1,2,... ( ) p i p F s s i z F s i i − = − =
、柯西定理(围线映射)定理 第五章频率特性分析 §3奈魁斯特稳定判据及应用 (3)如果C以顺时针方向包围F(s)的一个零点, C将以顺时针方向包围原点一次。 如果C以顺时针方向包围F(s)的一个极点, C将以逆时针方向包围原点一次。 F(S)
第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 （3）如果C以顺时针方向包围F(s)的一个零点， 一、柯西定理（围线映射）定理 C C’ C C’ [s] [F(s)] [s] [F(s)] C’将以顺时针方向包围原点一次。 如果C以顺时针方向包围F(s)的一个极点， C’将以逆时针方向包围原点一次
、柯西定理(围线映射)定理 第五章频率特性分析 §3奈魁斯特稳定判据及应用 (4)如果围线C以顺时针方向包围F(s)的z个零点和p个极点, 则围线映射C将以顺时针方向包围F(s)原点N次,N=zp 若zp,N为正值,顺时针包围;若xp,N为负值,逆时针包围 Is c F(S) 口围线映射定理是奈魁斯特稳定判据的核心 口物理含义是s平面上任一封闭曲线包围F(s)的零极点情况 和它的映射在F(s)平面包围原点的情形有关
第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 （4）如果围线C以顺时针方向包围F(s)的z个零点和p个极点， 一、柯西定理（围线映射）定理 若z>p, N为正值, 顺时针包围; C C’ [s] [F(s)] 则围线映射C’将以顺时针方向包围F(s)原点N次，N=z-p。 若z<p, N为负值, 逆时针包围。 ❑ 围线映射定理是奈魁斯特稳定判据的核心 ❑ 物理含义是s平面上任一封闭曲线包围F(s)的零极点情况 和它的映射在F(s)平面包围原点的情形有关
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 §3奈魁斯特稳定判据及应用 1、F(s)的零点和极点 G闭()= G(s) 1+G(s)H(s) KⅠI(s+s) F(s)=1+G(s)H(s) II(s+p:) 设有z个零点,p个极点。 it G(S)H(S)=0.1+G(S)(S)=oN=F() D 口F(s)的极点是开环传递函数的极点; 口F(s)的零点是闭环极点
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 1、F(s)的零点和极点 F(s) = 1+ G(s)H(s) 设有z个零点，p个极点。 设 ( ) ( ) , 0 0 D N G s H s = ❑ F(s)的极点是开环传递函数的极点； ❑ F(s)的零点是闭环极点。 0 0 0 1 ( ) ( ) D D N G s H s + + = = = + + = p i i z i i s p K s s 1 1 ( ) ( ) = F(s) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s G s + 闭 =
二、魁斯特稳定判据53.魅斯特稳定判据及应用 2、奈魁斯特轨迹 ●取根平面上的封闭围线包围全部s右半平面,此封闭围线由 整个虚轴(从s=j到s=j∞)和右半平面上半径为无穷大的半圆轨 迹构成,这一封闭围线称作奈魁斯特轨迹。 ●考察闭环系统的稳定性问题就可变为考察在奈魁斯特轨迹 内是否包围F(s)的零点一闭环极点问题。 F(s)=1+G(s)H(S) oo F(s)的极点是开环极点 F(S)的零点是闭环极点
2、奈魁斯特轨迹 二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 l 取根平面上的封闭围线包围全部s右半平面，此封闭围线由 整个虚轴(从s=-j∞到s= j∞)和右半平面上半径为无穷大的半圆轨 迹构成，这一封闭围线称作奈魁斯特轨迹。 F(s)的极点是开环极点 F(s)的零点是闭环极点 F(s) = 1+ G(s)H(s) l 考察闭环系统的稳定性问题就可变为考察在奈魁斯特轨迹 内是否包围F(s)的零点—闭环极点问题
第五章频率特性分析 一付3奈魁斯特稳定判据及应用 2、奈魁斯特轨迹 s=-∞ ●根据上述的映射定理,在平面的奈魁斯特轨迹包围F(s)的 零极点问题可以等效为其映射在F(s)平面上包围原点的问题。 ●其映射恰好是系统的开环频率特性。 求出奈魁斯特轨迹的映射,考察其包围原点的情况,就可 以知道在s右半平面是否有F(s)的零点,即系统的不稳定的闭环 极点,以此判断系统的闭环稳定性。 以上是奈魁斯特稳定判据的基本原理
2、奈魁斯特轨迹 二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 l 根据上述的映射定理，在s平面的奈魁斯特轨迹包围F(s)的 零极点问题可以等效为其映射在F(s)平面上包围原点的问题。 l 其映射恰好是系统的开环频率特性。 l 求出奈魁斯特轨迹的映射，考察其包围原点的情况，就可 以知道在s 右半平面是否有F(s)的零点，即系统的不稳定的闭环 极点，以此判断系统的闭环稳定性。 以上是奈魁斯特稳定判据的基本原理
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 §3奈魁斯特稳定判据及应用 2、奈魁斯特轨迹 为什么s平面上的奈魁斯特轨迹 在F(s平面上的映射就是系统的 频率特性?? 奈魁斯特轨迹的二个组成部分: 1、沿无穷大半径的半圆路径 F(s) 2、沿虚轴路径所对应的直线
2、奈魁斯特轨迹 二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 §3 奈魁斯特稳定判据及应用 1、沿无穷大半径的半圆路径 2、沿虚轴路径所对应的直线 奈魁斯特轨迹的二个组成部分： 为什么s平面上的奈魁斯特轨迹 在F(s)平面上的映射就是系统的 频率特性 ???