§3.2.3哈达玛变换 正反向哈达玛变换核(离散情况) 维正向哈达玛变换核的定义 g(x,u)=(1/N)(-1)2b(xbu;i=0,…,n-1,(N=2m 式中b(z)是z的二进制表达中的第k位(取0或1值); 维哈达玛变换为 H(u)=(1/N)∑f(x)(-1)2b(xb(;x=0,…,N-1 与沃尔什变换类似,哈达玛变换核组成的矩阵,对称且行列正交; 维哈达玛反向变换核的定义 h(x,u)=(-1)2b(xb0o;i=0,n-1 与正变换核相差常数1/N,算法可通用;
§3.2.3 哈达玛变换 • 一、正反向哈达玛变换核（离散情况） • 一维正向哈达玛变换核的定义： g（x,u）= （1/N）(-1) bi (x)bi(u)；i=0,…,n-1，（N=2n） 式中bk (z）是z的二进制表达中的第k位（取0或1值）； 一维哈达玛变换为 H（u）= （1/N） f（x）(-1) bi (x)bi(u) ； x=0,…,N-1 与沃尔什变换类似，哈达玛变换核组成的矩阵，对称且行列正交； 一维哈达玛反向变换核的定义： h（x,u）= (-1) bi (x)bi(u)；i=0,…,n-1 与正变换核相差常数1/N，算法可通用；
§3.2.3哈达玛变换(续1) 维哈达玛反变换:(与正变换相差常数1/N) f(x)=∑H(u)(-1)2bi(xbu0;(u=0…,N-1) 二维哈达玛正变换核和反变换核 g(xyuV)=(1/N2)(-1)2lb(xbio)+by);(i=0,…,n-1) g1(, u) g2(y,V); h(x,y,u, v)=(1)2[bi(x)(u)+ bi (y)bi(v); (i=O,. n-1) h,(,u) h2(y,V) 维哈达玛正变换和反变换分别为: H(Uv) 1/N2)∑∑f(xy)(-1)2bi(xbu+bybi(y (Xy=0,…n-1) f(xy)=∑∑H(u,v)(-1)2(xb(u)+byb)1;(uV=0,…,n-1)
§3.2.3 哈达玛变换（续1） 一维哈达玛反变换：（与正变换相差常数1/N） f（x） = H（u）(-1) bi (x)bi(u) ； （u=0,…,N-1） 二、二维哈达玛正变换核和反变换核： g（x,y,u,v）= （1/N2）(-1) [bi (x)bi(u)+ bi (y)bi(v) ]；（i=0,…,n-1） = g1（x,u）g2（y,v）； h（x,y,u,v）= (-1) [bi (x)bi(u)+ bi (y)bi(v) ]；（i=0,…,n-1） = h1（x,u）h2（y,v）； 二维哈达玛正变换和反变换分别为： H（u,v）= （ 1/N2 ） f（x,y） (-1) [bi (x)bi(u)+ bi (y)bi(v) ]； （x,y=0,…,n-1） f（x,y） = H（u,v） (-1) [bi (x)bi(u)+ bi (y)bi(v) ]； （u,v=0,…,n-1）
832.3哈达玛变换(续2) N=8时,一维哈达玛变换核组成的矩阵如下(略去常数,仅用符 号表示+1/N、-1/N): +++++++ 符号变换次数07341625(竖直方向由+变-或由-变+) 可见,与沃尔什变换矩阵的区别行和列的次序不同; N=2时可混合使用
§3.2.3 哈达玛变换（续2） N=8时，一维哈达玛变换核组成的矩阵如下（略去常数，仅用符 号表示+1/N、-1/N）： + + + + + + + + + - + - + - + - + + - - + + - - + - - + + - - + + + + + - - - - + - + - - + - + + + - - - - + + + - - + - + + - 符号变换次数0 7 3 4 1 6 2 5 （竖直方向由+变- 或 由-变+） 可见，与沃尔什变换矩阵的区别行和列的次序不同； N=2n时可混合使用
83.2.4离散余弦变换 DCT变换在图像处理中应用最广泛 维DCT的正向变换核和反向变换核 1D正变换核g(xu)=(2/N)12cos(2x+1)um/2N);x=0,…,N-1 =a(ucos(2X+ 1)uT/2N) 式中,a(u)=(1/N)12,当u=0,9(x0)=1/N12;a(u)=(2/N) 当u≠0; 1D反变换核h(Xu)=g(×,u) 由上述变换核有一维DCT的正反变换如下 C(u)=a(u)∑f(x)cos(2X+1)u/2N);X,u=0…N-1 f(x)=∑a(u)C(u)Cos(2X+1)uπ/2N);uX=0,…,N-1
§3.2.4 离散余弦变换 DCT变换在图像处理中应用最广泛； • 一、一维DCT的正向变换核和反向变换核 • 1D正变换核 g(x,u)=(2/N)1/2 cos((2x+1)u/2N)；x=0,…,N-1 • =a(u)cos ((2x+1)u/2N)； • 式中，a(u)= (1/N)1/2 ,当u=0,g(x,0)= 1/N1/2；a(u) = (2/N)1/2 , 当u0； • 1D反变换核 h(x,u) = g(x,u) • 由上述变换核有一维DCT的正反变换如下： • C（u）= a(u) ∑f（x）cos((2x+1)u/2N)；x,u=0,…,N-1 • f（x） = ∑ a(u) C（u） cos((2x+1)u/2N)；u,x =0,…,N-1
83.2.4离散余弦变换(续1) DCT计算 已知一维DCT C (u)=a(u Retz f(x) exp((2X+ 1)uT/2N)1 a(u)Re{exp(-juπ/2N)·∑f(x)exp(2Xuπ/2N)} 式中求和项就是2N个点的离散傅里叶变换 因此,DCT可以用FFT程序计算,反DCT也可以用反F计算 三、DCT的有关性质 DCT为实正交变换,即a=a*;a1=aT; DCT对高相关数据有能量集中的优势;能量集中在高频 正弦变换与余弦变换类似
§3.2.4 离散余弦变换（续1） • 二、DCT计算 • 已知一维DCT • C（u）= a（u）Re{ f（x）exp ((2x+1)u/2N) } • = a（u）Re{exp（-ju/2N）· f（x）exp(2xu/2N) } • 式中求和项就是2N个点的离散傅里叶变换， • 因此，DCT可以用FFT程序计算，反DCT也可以用反FFT计算； • 三、DCT的有关性质 • DCT为实正交变换，即a=a*；a -1 = a T ； • DCT对高相关数据有能量集中的优势；能量集中在高频。 • 正弦变换与余弦变换类似
83.2.5斜变换 斜变换也称斯拉特变换,适合于灰度有渐变性质的变换; 、Sant变换矩阵 Slant变换矩阵用S(n)或Sn表示。 设N=2(偶数),S(1)或S1=:1/212 用递归方式(迭代关系)定义10 S(2)或S2=:1/21210 2-a2 010-1 b a b-a S2=:1/4121 a+b a-b a+b -a-b a-b -a-b atb -a,+b
§3.2.5 斜变换 斜变换也称斯拉特变换，适合于灰度有渐变性质的变换； 一、Slant变换矩阵 Slant变换矩阵用S（n）或Sn表示。 设N=2n（偶数） ， S（1）或S1 = ：1/21/2 1 1 1 -1 用递归方式（迭代关系）定义S2， S（2）或S2 = ：1/21/2 1 0 1 0 a2 b2 -a2 b2 S1 0 0 1 0 -1 0 S1 - b2 a2 b2 -a2 S2 = ：1/41/2 1 1 1 1 a2+ b2 a2 - b2 -a2+b2 -a2 -b2 1 -1 -1 1 a2 - b2 - a2 - b2 a2+b2 -a2+b2
§3.2.6斜变换(续1) ST的性质: ST是实正交变换,S=S*;S1=S1; ST是一种快速变换,适用于灰度渐变图像; 对图像有较好的能量集中特性; S阵的基向量就是各行向量;
§3.2.6 斜变换（续1） • 二、ST的性质： • ST是实正交变换， S = S* ； S -1 = ST ； ST是一种快速变换，适用于灰度渐变图像； 对图像有较好的能量集中特性； S阵的基向量就是各行向量；
§33霍特林变换(Hote!ng) 霍特林变换是基于图像的统计特性的变换,可直接用于对数字图像进行变换。 求均值矢量和协方差矩阵 设一组M个如下形式表示的随机矢量 N,k=1,2…,M 这组矢量的均值矢量为mx=E{x};E{}表示期望值; 协方差矩阵C=E{(xmx)*(X-mx)T 因为x是N阶的,所以C是N*N阶矩阵,为实对称矩阵 Ck的元素C是各矢量的第个分量组成的矢量x的方差 C的元素G是第份分量组成的矢量x和第个分量组成的矢量x之间的协方差 如果X和x不相关,协方差为0 C=0
§3.3 霍特林变换（Hotelling） • 霍特林变换是基于图像的统计特性的变换，可直接用于对数字图像进行变换。 • 一、求均值矢量和协方差矩阵 • 设一组M个如下形式表示的随机矢量 • x k=[xk 1 x k 2 … x k N ] T ，k=1,2,…,M • 这组矢量的均值矢量为mx=E{x}； E{·}表示期望值； 协方差矩阵Cx = E{（x- mx）*（x- mx）T} 因为x是N阶的，所以Cx是N*N阶矩阵，为实对称矩阵； Cx的元素Cii是各矢量的第i个分量组成的矢量xi的方差； Cx的元素Cij是第i分量组成的矢量xi和第j个分量组成的矢量xj之间的协方差； 如果xi和xj不相关，协方差为0； Cx= Ci= 0；
§3.3霍特林变换(续1) 近似计算公式:mx=(1/M)2×;(k=1,…,M) CX=(1/M)2××-mxmx;(k=1…,M) 举例: 特征值和特征向量的计算(、e1) 矩阵C是一个实对称矩阵,会有一组N个正交特征值 令e和;(i=1…,N-1)分别为C的特征向量和对应的特征值。 且入1≥计+1(=1,…,N-1),单调排列; 求e1和入举例
§3.3 霍特林变换（续1） • 近似计算公式： mx = （1/M）∑xk；（k=1,…,M） • Cx = （1/M） ∑xk xk T - mxmx T；（k=1,…,M） • 举例： • 二、特征值和特征向量的计算（i、ei） • 矩阵Cx是一个实对称矩阵，会有一组N个正交特征值； • 令ei和 i （i=1,…,N-1）分别为Cx的特征向量和对应的特征值。 • 且i ≥i+1 （i=1,…,N-1），单调排列； • 求ei和 i 举例：