清华大学：《数字图像处理 Digital Image Processing》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 图像恢复和重建 IMAGE RESTORATION and RECONSTRUCTION（1/2）

第五章图像恢复和重建 o CHAPTER 5 IMAGE RESTORATION oand RECONSTRUCtion §1退化的数学模型和对角化 §2无约束恢复 §3有约束恢复 §4几何失真校正 4·§5投影重建 版权所有,1997(c) Dale Carnegie& Associates,nc

第五章 图像恢复和重建 版权所有， 1997 (c) Dale Carnegie & Associates, Inc. •CHAPTER 5 •IMAGE RESTORATION •and RECONSTRUCTION •§1 退化的数学模型和对角化 •§2 无约束恢复 •§3 有约束恢复 •§4 几何失真校正 •§5 投影重建

85.1退化的数学模型和对角化 退化:图像质量的降低 失真可看作是退化,校正是恢复 投影可看作是退化(三维到二维平面),重建是恢复; §5.1.1简单的通用图像退化模型 n(X,y) f(X,y H g(Xy) 模型化:一个作用在f(Xy)上的系统H与一个加性噪声n(xy)的 联合作用,导致产生退化图像g(xy)。 假设已知冂(xy)的统计特性(或先求出),图像复原就是已知g (xy)求f(Xy)的问题(近似过程)。 g(Xy)=HIf(Xy]+ n(xy) 已知退化解 噪声

§5.1 退化的数学模型和对角化 • 退化：图像质量的降低； • 失真可看作是退化，校正是恢复； • 投影可看作是退化（三维到二维平面），重建是恢复； • • §5.1.1 简单的通用图像退化模型 • n（x,y） • f（x,y） H + g（x,y） • 模型化：一个作用在f（x,y）上的系统H与一个加性噪声n（x,y） 的 联合作用，导致产生退化图像g（x,y）。 • 假设已知n（x,y）的统计特性（或先求出），图像复原就是已知g （x,y）求f（x,y）的问题 （近似过程）。 • g（x,y）= H [f（x,y）] + n（x,y） ； • 已知 退化 解 噪声

85.1.2退化模型的计算 1D情况: 设f(X)和h(x)均匀采样后放入尺寸为A、B的数组; f(x),x=0,1…,A-1:h(x),x=0,1,B-1 为了避免卷积的周期重叠,取M≥A+B-1 将f(x)和h(x)用零扩展补齐;(M周期) 9e(X)=∑f(m)h(xm);x,m=0,1…,M-1 用矩阵形式表示的卷积为g(x)=Hf,展开得 (0) he(0) h(-1)….he(-M+1)||f(0) (1) 力。(1) h(0)…h(M+2)e(1) 9e(M-1)=h(M-1)he(M-2)…h(0) f(M-1)

§5.1.2 退化模型的计算 一、1D情况： 设f（x）和h（x）均匀采样后放入尺寸为A、B的数组； f（x），x=0,1,…,A-1； h（x），x=0,1,…,B-1； 为了避免卷积的周期重叠，取M  A+B-1； 将f（x）和h（x）用零扩展补齐；(M周期)  ge（x）=  fe（m）h（x-m） ； x, m=0,1,…,M-1； 用矩阵形式表示的卷积为 g（x）= H f ，展开得 ge（0） = he（0） he（-1） … he（-M+1） fe（0） ge（1） = he（1） he（0） … he（-M+2） fe（1） ge（M-1）= he（M-1） he（M-2）… he（0） fe（M-1）

5.1.2退化模型的计算(续1) 式中,「h2(0)he(-1)…he(1) H=he(1)he(0)…he(2) he(M-1)he(M-2)….he(0) H矩阵是一个循环矩阵,其特点有:行列首尾相接;环形 循环矩阵相加后仍是循环矩阵,相乘后仍是循环矩阵;

§5.1.2 退化模型的计算（续1） • 式中， he（0） he（-1） … he（1） • H = he（1） he（0） … he（2） he（M-1） he（M-2）… he（0） • H矩阵是一个循环矩阵，其特点有：行列首尾相接；环形 • 循环矩阵相加后仍是循环矩阵，相乘后仍是循环矩阵； •

§5.1.2退化模型的计算(续2) 2D情况(1D的直接推广,0≤X≤M-1,0≤y≤N-1) h(xy)=(xy),0X≤A-1,0≤y≤B-1,否则h(Xy)=0 f(xy)=f(xy),0≤≤C-1,0≤y≤D-1,否则f(x,y)=0; ge(xy)=∑∑(m,n)he(Xm,yn);m=0,1…,M-1;n=0,1…,N-1; 用矩阵形式表示的卷积为g=Hf,展开得 ge(0)=HHM1…H1f(0) 9(1) H1…2 ge(M-1)= HM-1 HM fe (MN-1) 其中每个块H是由扩展函数加(xy)的第i行而来,是块循环矩阵

§5.1.2 退化模型的计算（续2） • 二、2D情况（1D的直接推广，0x  M-1, 0  y  N-1 ） • he (x,y)= h(x,y) ，0x  A-1, 0  y  B-1 ，否则he (x,y)= 0； • fe (x,y)= f (x,y) ，0x  C-1, 0  y  D-1 ，否则fe (x,y)= 0；  ge (x,y) =   fe (m,n) he (x-m,y-n) ； m=0,1,…,M-1； n=0,1,…,N-1； • 用矩阵形式表示的卷积为 g = H f ，展开得 ge（0） = H0 HM-1 … H1 fe（0） ge（1） = H1 H0 … H2 fe（1） ge（M-1）= HM-1 HM-2 … H0 fe（MN-1） 其中每个块Hi 是由扩展函数he (x,y)的第i行而来，是块循环矩阵

85.1.3循环矩阵对角化 1D对角化 设循环矩阵H的本征值和特征向量分别为: o(k)=[1 exp[2T/M*k exp[2T/M*(M-1)k'; (k)=ha(0)+h2(M-1)exp[2π/Mk]+…h2(1)exp2M·(M-1)k] 将H的M个特征向量组成一个MM的矩阵W: W=[o(0)0(1)0(2)….o(M-1) H= WDW-1 式中D为一个对角矩阵,其元素正是H本征值 即D(kk)=(k)

§5.1.3 循环矩阵对角化 一、1D对角化 设循环矩阵H的本征值和特征向量分别为： (k) = [ 1 exp[j2/M *k] …… exp[j2/M* (M-1)k]T； (k) = he (0)+he (M-1)exp[j2/M•k]+……+ he (1)exp[j2/M • (M-1) k] ； 将H的M个特征向量组成一个M*M的矩阵W： W=[(0) (1) (2) …… (M-1)] H = WDW-1； 式中D为一个对角矩阵，其元素正是H本征值， 即 D (k,k)= (k)

5.1.3循环矩阵对角化(续1) 设对4*4的循环矩阵C对角化。 设o(k)为整数1的M次根,k为根的序号,即o(k)M=1=ne; 因o(k)=expi2k/M:例中M=4;即o(k)4=1;o(k)=expi2mk/4] 规定标量λ(k)=c+o(k)c1+0(k)2c2+o(k)3c3=∑c1expi2mk4] 根据线性代数分析,k=0,1,2,3时可得到四个本征值和相应的特征向量; (k)o(k)=Co(k);组成o(k)矩阵W=[o(0)o(1)0(2)0(3) 各元素o(k)=[1exp(2/4k)exp(242k)exp(j2π/43k)]; 当循环矩阵已知本征值和特征向量后,可以进行对角化; 设对角化矩阵为D,则D=W1cW;(C等于H) D为对角阵,D(k,k)=(k)=MH(k)=W1HW;

§5.1.3 循环矩阵对角化(续1) 设对4*4的循环矩阵C对角化。 设(k)为整数1的M次根，k为根的序号，即 (k)M = 1 = lne； 因(k)=exp[j2k / M]；例中M=4；即(k)4 = 1； (k)=exp[j2k/4]； 规定标量(k)= c0+ (k) c1 + (k)2 c2 +(k)3 c3 = ∑ ci exp[j2k/4*i]； 根据线性代数分析，k=0,1,2,3时可得到四个本征值和相应的特征向量； (k) (k)=C (k)；组成(k)矩阵 W=[(0) (1) (2) (3)] 各元素 (k) =[ 1 exp (j2/4•k ) exp (j2/4•2k ) exp (j2/4•3k ) ]； 当循环矩阵已知本征值和特征向量后，可以进行对角化； 设对角化矩阵为D，则D= W-1CW；（ C等于H ）； D为对角阵，D (k,k)= (k) =MH (k) = W-1HW；

§5.1.3循环矩阵对角化(续2) 2D对角化(块循环矩阵的对角化) 借助循环矩阵的结果进行推广; 设矩阵W的尺寸为MN*MN,每个元素为W(,m)=exp(2m/M*mWN W为一个N*N矩阵,每个元素为WKkn)=exp(j2/N*kn) H=WDW1;且H=WDW1;D*为D的复共轭; D=WHW;可转化为对角阵

§5.1.3 循环矩阵对角化(续2) 二、2D对角化（块循环矩阵的对角化） 借助循环矩阵的结果进行推广； 设矩阵W的尺寸为MN*MN，每个元素为W(i,m)=exp(j2/M*im)WN ； WN为一个N*N矩阵，每个元素为WN(k,n)=exp(j2/N*kn)； H = WDW-1 ；且HT = WD*W-1 ； D*为D的复共轭； ∴ D = W-1HW；可转化为对角阵

85.1.4退化模型对角化的效果 1D情况 H=WDW1;等式代入g=Hf,并两边同左乘W1,得W1g=DW1f W1g=DW1f都是M维向量,令它们分别为G(k)和F(k),得G(k)=DF(k); 其中,G(k)=(1/M)∑ge()exp(2/M*k)是ge(x)的傅里叶变换 F(k)=(1M)2f()eXp(2x/M*k)是(x)的傅里叶变换; 已知D(k,k)=2(k)=2he()exp(2/M*ki)=MH(k) H(Kk)是h()的傅里叶变换, 所以G(k)=M×H(k)F(k),式中H(k)F(k)为f(x)与g2(x)的卷积, 可采用FFT计算

§5.1.4 退化模型对角化的效果 一、1D情况： H=WDW-1 ；等式代入g=H f，并两边同左乘 W-1 ，得W-1 g= DW-1 f， W-1 g= DW-1 f 都是M维向量，令它们分别为G(k)和F(k)，得G(k)=DF(k)； 其中， G(k)= (1/M) ∑ ge (i) exp(j2/M*ki)是ge (x)的傅里叶变换； F(k)= (1/M) ∑ fe (i) exp(j2/M*ki)是fe (x)的傅里叶变换； 已知D (k,k)= (k) = ∑ he (i) exp(j2/M*ki)=MH (k) ， H (k)是he (i)的傅里叶变换， 所以G(k)= M× H (k) F(k)，式中 H (k) F(k)为fe (x) 与ge (x)的卷积， 可采用FFT计算

514退化模型对角化的效果(续1) 2D情况 G(u, v)=(1/MN)22 ge(x,y)exp[-j2Tt(Ux/M+Vy/N) F(u,v)=(1/MN)∑Σf(xy)exp[-j2(ux/M+w/N N(u)=(1/MN)Σe(xy)exp[j2π(ux/M+wN) H(u, v)=(1/MN) 22 he(x,y) exp[-j2T(Ux/M+V/N) D的MN个对角元素可用下式表示 D(k,)=MN料H([k/N], k mod N);当i=k;否则为0 其中k/N]表示取最大整数,mod表示取余数; 所以G(uy)=H(uv)F(u,)+N(u,v);u,v=0,…,M-1

§5.1.4 退化模型对角化的效果(续1) 二、2D情况： G(u,v)= (1/MN) ∑∑ ge (x,y) exp[-j2 (ux/M+vy/N)] ； F(u,v)= (1/MN) ∑∑ fe (x,y) exp[-j2 (ux/M+vy/N)] ； N(u,v)= (1/MN) ∑∑ ne (x,y) exp[-j2 (ux/M+vy/N)] ； H(u,v)= (1/MN) ∑∑ he (x,y) exp[-j2 (ux/M+vy/N)] ； D的MN个对角元素可用下式表示， D(k,i)= MN *H ([k/N]，k mod N) ；当i=k；否则为0； 其中[k/N]表示取最大整数，mod表示取余数； 所以G(u,v)= H(u,v) F(u,v) + N(u,v)；u,v=0,…,M-1