85.3有约束恢复 §5.3.1维纳滤波(Wner滤波) Winner滤波器是一种最小均匀误差滤波器; 维纳滤波是基于图像和噪声的相关矩阵的(统计方法),属 于有约束恢复 设R和R分别是原图像f(xy)和噪声图像n(xy)的相关矩阵 R和Rn均为实对称矩阵。 考虑一般图像像素间的相关不超过20-30像素,故相关矩阵 在主对角线方向有不为0的条带,R和R都可用块循环矩阵表 达。 R=WAW1;Rn=WBW1;A,B类似于H→D对角化
§5.3 有约束恢复 §5.3.1 维纳滤波(Winner 滤波) Winner 滤波器是一种最小均匀误差滤波器； 维纳滤波是基于图像和噪声的相关矩阵的（统计方法），属 于有约束恢复。 设Rf和Rn分别是原图像f (x,y)和噪声图像n(x,y)的相关矩阵， Rf和Rn均为实对称矩阵。 考虑一般图像像素间的相关不超过20-30像素，故相关矩阵 在主对角线方向有不为0的条带， Rf和Rn都可用块循环矩阵表 达。 Rf = WAW-1 ；Rn = WBW-1 ；A, B类似于H → D 对角化
85.3.1维纳滤波(续1) 定义QQ=R4Rn,并代入一般公式f=[HH+sQQ]1Hg; 得f=[HH+sRRn]Hg [WD*DW-1+ SWA-IBW-1]-IWD*WIg 整理得 F'(uv)={(1/H(uv)*H(u)/[H(uy)2+s[S(u,V)/Sn(u)]}* G(u,v 讨论(1)5=1,{}中的项就是维纳滤波器 2)s是变量,称为参数维纳滤波器; (3)无噪声时,Sn(uV)=0:原式=1/H(uv) 即维纳滤波器成为了理想逆滤波器。 若S(u,v)和Sn(uV)未知时,可近似计算 F'(u)≈{(1/H(u))*|H(uv)/[H(uV)2+K]}*G(uV) 式中,K为预先设定的常数 比较:维纳滤波需要事先知道统计量R和Rn,在图像受噪声影响时,恢 复效果比逆滤波要好,而且噪声越大,优势越明显
§5.3.1 维纳滤波()续1) 定义QTQ= Rf -1Rn ，并代入一般公式f ‘ = [HTH +s QTQ]-1HT g； 得f ‘ = [HTH +s Rf -1Rn ] -1 HT g = [WD*DW-1 + sWA-1BW-1 ] -1 WD*W-1 g； 整理得 F‘ (u,v)={(1/ H(u,v) )*|H(u,v)|2 / [| H(u,v)|2 + s [Sf (u,v)/Sn (u,v) ] }* G(u,v)； 讨论（1）s=1，{·}中的项就是维纳滤波器； （2）s是变量，称为参数维纳滤波器； （3）无噪声时，Sn (u,v)=0；原式=1/ H(u,v)， 即维纳滤波器成为了理想逆滤波器。 若Sf (u,v)和Sn (u,v) 未知时，可近似计算： F‘ (u,v) ≈ { (1/ H(u,v) )*|H(u,v)|2 / [| H(u,v)|2 + K ] }* G(u,v)； 式中，K为预先设定的常数； 比较：维纳滤波需要事先知道统计量Rf和Rn，在图像受噪声影响时，恢 复效果比逆滤波要好，而且噪声越大，优势越明显
§5.32有约束最小平方恢复 有约束最小平方恢复也称为最小乘方滤波恢复; 有约束最小平方恢复方法只需要有关噪声均值和方差即可。 将(xy)扩展,得 P(xy)=以(x):当0≤X≤2和0≤y≤2时 P(Xy)=0; 百3≤X≤M-1和3sy≤N-1时 用矩阵形式表示,构造分块循环矩阵C; 用W进行对角化,有E=W1CW;E是一个对角矩阵 对角矩阵元素E(ki)=P([k/NJ, k mod N);如i=k,否则为0 其中,P(uv)是pe(xy)的2D傅里叶变换
§5.3.2 有约束最小平方恢复 有约束最小平方恢复也称为最小乘方滤波恢复； 有约束最小平方恢复方法只需要有关噪声均值和方差即可。 将pe (x,y)扩展，得 pe (x,y)= p(x,y)；当0≤x≤2和0≤y≤2时 pe (x,y)=0； 当3≤x≤M-1和3≤y≤N-1时 用矩阵形式表示，构造分块循环矩阵C； 用W进行对角化，有E = W-1CW；E 是一个对角矩阵。 对角矩阵元素E(k,i) = P([k/N], k mod N) ；如i=k，否则为0； 其中，P(u,v)是pe (x,y)的2D傅里叶变换
§5.32有约束最小平方恢复(续1) 求满足约束条件lgHf"‖P2=|n‖2的最优解,得 f=HH +SC CIH g [WD DW-+ SWE EW--lWD*W-g: Wf'=[D*D+sE*E]1D*W1g;(简化计算,转移到 频域) F(u, v)=H*(u, )/[I Hu, v)l2+s P(u, v)2]G(u, v); 可见与维纳滤波器相似,但仅与噪声均值和方差有关。 与维纳滤波的比较: 有模糊又有噪声时,有约束最小平方滤波的效果较好: 仅有模糊没有噪声时,两者基本一致
§5.3.2 有约束最小平方恢复（续1） 求满足约束条件 ||g-H f ‘ ||2 = || n ||2 的最优解，得 f ‘ = [HTH +s CT C ] -1 HT g = [WD*DW-1 + sWE*EW-1 ] -1 WD*W-1 g； Wf ‘ = [D*D + sE*E]-1 D*W-1 g；（简化计算，转移到 频域） F‘ (u,v) = H*(u,v) / [| H(u,v)|2 + s P(u,v) 2 ] G(u,v)； 可见与维纳滤波器相似，但仅与噪声均值和方差有关。 与维纳滤波的比较： 有模糊又有噪声时，有约束最小平方滤波的效果较好； 仅有模糊没有噪声时，两者基本一致
85.4几何失真校正 几何失真在广义上也是一种图像退化,校正就是一种图像恢复的 过程。 几何失真校正主要包括二个步骤: 空间变换,恢复像素原空间的位置; 灰度插值,对空间变换后像素赋予原位置的灰度值; §54.1空间变换 按照一幅标准图像或一组基准点来校正一幅几何失真图像; 设基准(原)图像为f(xy),几何形变图像为g(xy); y为失真图像的坐标,即x=xy)、y=t(xy) s(xy)和t(xy)代表空间变换;若已知s和t,就可以通过反变 换来恢复图像
§5.4 几何失真校正 • 几何失真在广义上也是一种图像退化，校正就是一种图像恢复的 过程。 • 几何失真校正主要包括二个步骤： • 空间变换，恢复像素原空间的位置； • 灰度插值，对空间变换后像素赋予原位置的灰度值； • §5.4.1 空间变换 • 按照一幅标准图像或一组基准点来校正一幅几何失真图像； • 设基准（原）图像为f (x,y)，几何形变图像为g (x’,y’) ； • x’,y’为失真图像的坐标，即x’= s(x,y)、 y’= t (x,y) ； • s (x,y)和t (x,y) 代表空间变换；若已知s 和t ，就可以通过反变 换来恢复图像
85.4.1空间变换(续1) 线性失真(三角形线性法) s(xy)=kiX+ k2y +k3 Di ax+ by+C: t(xy)=kaX+ ksy k6 n dx ey f 将小三角形区域三个顶点作为控制点,3组(6个)已知点建立方程组, X'=kiXi+k2yi k3 1,2,3 y′=k4x+k+k6,i=1,2,3 由待定系数法,求出k1kx2…k6,即可实现三角形内各像素的校正 关键:找出控制点的位置; 二、双线性等式(四边形区域) s(x,y)=k1X+ k2y k3xy k4 t(x,y=ksX+ key +k,xy + ka;
§5.4.1 空间变换（续1） 一、线性失真（三角形线性法） s (x,y) = k1x+ k2y + k3 或 ax + by + c； t (x,y) = k4x+ k5y + k6 或 dx + ey + f； 将小三角形区域三个顶点作为控制点，3组（6个）已知点建立方程组， xi ’ = k1xi+ k2yi + k3 ，i=1, 2 , 3 yi ’ = k4xi+ k5yi + k6 ，i=1, 2 , 3 由待定系数法，求出k1 ,k2 ,…,k6，即可实现三角形内各像素的校正。 关键 ：找出控制点的位置； 二、双线性等式（四边形区域） s (x,y) = k1x+ k2y + k3xy + k4 ； t (x,y) = k5x+ k6y + k7xy + k8 ；
85.4.1空间变换(续2) 将四边形区域的顶点作为控制点,4组(8个)已知点建立方程组, x=k1x+k2+k3X1+k4,i=1,2,3,4 y′=k5x+k61+k7XM1+k8,i=1,2,3,4 由待定系数法,求出k1k2x…,k38个系数,这些系数可映射到四边形内的所 有点。 元多项式法 将原图像的空间坐标和被校正图像的空间坐标之间的关系用下式描述 x=Σ∑axy=a+ay+a02y2+a10X+a1xy+a22 yi=22bX y= boo +boy+bo2y2+b10X+b11 Xy+b20X2 元多项式中,a1和b为待定系数,i=0…,m;j=0…n- 同线性法类似,采用已知的控制点对,用曲面拟合方法求解系数,补充拟 合误差平方和的一阶导数为0的条件,构成线性方程组,求出a和b,变换
§5.4.1 空间变换（续2） 将四边形区域的顶点作为控制点，4组（8个）已知点建立方程组， xi ’ = k1xi+ k2yi + k3 xiyi + k4 ，i=1, 2 , 3, 4 yi ’ = k5xi+ k6yi + k7 xiyi + k8 ，i=1, 2 , 3, 4 由待定系数法，求出k1 ,k2 ,…,k8 8个系数，这些系数可映射到四边形内的所 有点。 三、二元多项式法 将原图像的空间坐标和被校正图像的空间坐标之间的关系用下式描述： xi ’ = ∑∑aij x i y i = a00+a01y+a02y 2+a10x+a11xy+a20x 2 yi ’ = ∑∑bij x i y i = b00+b01y+b02y 2+b10x+b11xy+b20x 2 二元多项式中，aij 和bij 为待定系数，i=0,…,n; j=0,…,n-i； 同线性法类似，采用已知的控制点对，用曲面拟合方法求解系数，补充拟 合误差平方和的一阶导数为0的条件，构成线性方程组，求出aij 和bij ，变换
85.4.2灰度插值 灰度插值确定校正点处的亮度,以内插法为主。 最近邻插值(零阶插值) 将像素邻点中距离最近的邻点灰度作为该点的灰度。 方法简单,但不够准确。 双线性插值 计算公式g(+uj+V)=(1-u)(1-)g(j)+(1-u)vg(+1)+ u(1-v)g(+1,j)+UⅣg(+1j+1)
§5.4.2 灰度插值 • 灰度插值确定校正点处的亮度，以内插法为主。 • 一、最近邻插值（零阶插值） • 将像素邻点中距离最近的邻点灰度作为该点的灰度。 • 方法简单，但不够准确。 • 二、双线性插值 • 计算公式 g(i+u,j+v)= (1-u) (1-v) g(i,j)+ (1-u) v g(i,j+1)+ • u (1-v) g(i+1,j) + uv g(i+1,j+1)； • •
§5.5投影重建 §5.5.1概述 投影重建定义 投影重建指从一个物体的多个(轴向)投影图重建目标图像的 过程。输入是一系列图像,输出是一幅重建图 投影重建包括: 透射断层成像TCT,简称CT, transmission computer tomography;对大脑不同层面进行多次扫描,合成图像 发射断层成像ECT, Emission C 反射断层成像RCT, Reflection Ct 核磁共振成像MRI, Magnetic Resonance Imaging
§5.5 投影重建 §5.5.1 概述 一、投影重建定义 投影重建指从一个物体的多个（轴向）投影图重建目标图像的 过程。输入是一系列图像，输出是一幅重建图。 投影重建包括： 透射断层成像TCT，简称CT，transmission computer tomography；对大脑不同层面进行多次扫描，合成图像。 发射断层成像ECT，Emission CT； 反射断层成像RCT，Reflection CT； 核磁共振成像MRI，Magnetic Resonance Imaging
5.5.1概述(续1) 投影重建图像模型 设重建图像f(xy)在一个以原点为圆心的单位圆Q外为零 考虑有一条由发射源到接受器的直线在平面上与f(xy)在Q内相 交,这条直线可用2条参数来确定 1)它与原点的距离s,2)它与X轴的夹角θ; 用g(s,0)表示沿直线(s,0)对f(xy)积分,经坐标变换有 g(s,θ)=∫f(xy)dt ∫f(s*Cos0-t*sin0,S*sinθ-t*cosθ)dt 这个积分结果含义就是f(xy)沿t方向的投影,积分限取决于s0 和Q,若θ转一个360度,S从0到边缘,整个图形全部被投影了
§5.5.1 概述（续1） 二、投影重建图像模型 设重建图像f (x,y) 在一个以原点为圆心的单位圆Q外为零。 考虑有一条由发射源到接受器的直线在平面上与f (x,y)在Q内相 交，这条直线可用2条参数来确定： 1）它与原点的距离s，2）它与X轴的夹角； 用g(s, )表示沿直线(s, ) 对f (x,y) 积分，经坐标变换有 g(s, )=∫f (x,y) dt ； = ∫f (s * cos - t * sin, s * sin - t * cos) dt 这个积分结果含义就是f (x,y) 沿t方向的投影，积分限取决于s, 和Q，若转一个360度，s从0到边缘，整个图形全部被投影了