s15-3波的能量 波动能量的传播 当波在弹性媒质中传播时,各质元都在振动 因振动→有振动动能 因形变→有形变势能 波的能量 以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播 O:x dx V: y+dy
§15--3 波的能量 ➢ 当波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动 因振动 → 有振动动能 因形变 → 有形变势能 波的能量 以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播. x x O dx O x y y + dy 一 波动能量的传播
x: d X 十dy 波函数y= A coSO(t--)+] X 速度 at -oAsin a(t- F振动动能dW=(dm)2=(md)2 X odvAo sin a(t-) 2
= cos[ ( − ) + ] ux 波函数 y A t sin ( ) u v x A t ty = − − 速度 = x x O dx O x y y + dy 振动动能 ( ) ( ) 2 2 k d 21 d 21 d W = m v = V v d sin ( ) 21 2 2 2 ux = VA t −
弹性势能 d、1 x: dx k(dyr X yy+dy F△l 杨氏模量=E I F ES Se △lk dWp=k(dy)= esd( y)2 u= E X X pudy Asin a(t-) X l2si2(t--)
( ) 2 P d 21 d W = k y 杨氏模量 ll E SF = E u = sin ( ) ux A t x u y = − − x SE k d = d sin ( ) 21 2 2 2 ux = VA t − 2 2 ) dd d ( 21 xy = u V ( )2 2 P ) dd d ( 21 d 21 d xy W = k y = ES x 弹性势能 x x O dx O x y y + dy l l ES F =
dWk =dw=pdVA@ sin- a( 2 体积元的总机械能 dw =dwk +dm=pdvAosin a(t-) 讨论 1)在波动传播的媒质中,任一体积元的动、 势能、总机械能均随x.t作周期性变化,且变化是 同相位的 早体积元在平衡位置时,动能、势能和总机械能 均最大 体积元的位移最大时,三者均为零
d sin ( ) 2 1 d d 2 2 2 k p u x W = W = VA t − 讨 论 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能 均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零. ➢ 体积元的总机械能 d d d d sin ( ) 2 2 2 k p u x W = W + W = VA t − 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动、 势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是 同相位的. x,t
2)任一体积元都在不断地接收和放出能量, 即不断地传播能量.任一体积元的机械能不守恒 波动是能量传递的一种方式 能量密度:单位体积介质中的波动能量 dO42a2sin20(、h dw 平均能量密度:能量密度在一个周期内的平均值 w= wdt=PO2A
2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量， 即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 . ➢ 能量密度：单位体积介质中的波动能量. sin ( ) d d 2 2 2 u x A t V W w = = − 平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值. 2 2 0 2 1 d 1 w t A T w T = =
二波的能流和能流密度 能流:单位时间内垂直通过某一面积的能量 平均能流: P=wuS >能流密度(波的强度): 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流 P swu dt S =pAQu
二 波的能流和能流密度 ➢ 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. ➢ 平均能流： P = wuS wu S P I = = ➢ 能流密度 ( 波的强度 ) : 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流. I udt S u I A u 2 2 2 1 =
例证明球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比,S 1^ 并求球面简谐波的波函数 证介质无吸收,通过 两个球面的平均能流相等 2 P412l4 PA5Ou4 r, Abro cosO( A, r 式中7为离开波源的距离,A为F=1处的振幅
例 证明球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比， 并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过 两个球面的平均能流相等. 1 s 2 s 1 r 2 r 1 2 2 1 r r A A = cos ( ) 0 0 u r t r A r y = − 1 uS1 =2 uS2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 4π 2 1 4π 2 1 即 A u r = A u r 式中 r 为离开波源的距离， 为 处的振幅. 0 r = r A0