14-5简谐运动的能量 以弹簧振子为例 k X 0 X 能量的时间函数 由F=-{x∫x=Acos(t+q) 乙=- Ao sin(ot+) 可得E=mo2=mO2A2sn2(ot+q) 2 E kA coS(at+o
14－5 简谐运动的能量 以弹簧振子为例 k m x 0 x 一、能量的时间函数 sin( ) cos( ) A t x A t v 由 F kx cos ( ) 2 1 2 1 2 2 2 Ep kx kA t 可得 sin ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 Ek mv m A t
E=EK+En=mo'A sin(at+o) 2=k/m +=kA coS(at+o k2∝A(振幅的动力学意义) 2 线性回复力是保守力,作简诺运动的系统机械能守恒
sin ( ) 2 1 2 2 2 E Ek Ep m A t cos ( ) 2 1 2 2 kA t k / m 2 2 2 2 1 kA A （振幅的动力学意义） 线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒
简谐运动能量图 X v x-t =0 O x=A cos ot ⌒1-1=- Ao Sin ot 能量 E 人A E kA cos ot O TT 3T t E=-mo2A2 sin 2 ot 424
简 谐 运 动 能 量 图 x t v t 2 2 1 E kA 0 x Acost v A sin t x, v o t T 4 T 2 T 4 3T 能量 o T t E kA t 2 2 p cos 2 1 E m A t 2 2 2 k sin 2 1
二、能量的位置函数 E E.=E-E.=-k4 P 2 简谐运动能量曲线 p \E∠简谐运动能量守 B 恒,振幅不变 E a O X +a X
简谐运动能量曲线 Ek Ep x E C B A A Ep x O 二、能量的位置函数 2 p 2 1 E kx 2 2 k 2 1 2 1 E E E kA kx p 简谐运动能量守 恒，振幅不变
思考:1、能量在一个周期内对时间的平均值 mo A Sin(at+odt==kA 4 E kA- coS(at+o)dt=kA 4 2、能量在一个周期内对位置的平均值 kx2dx=kA ∫(f2-k2)=2k 2 e=E+E P 2
思考：1、能量在一个周期内对时间的平均值 2 0 2 2 2 4 1 sin ( ) 2 1 1 m A t dt kA T E T k 2 0 2 2 4 1 cos ( ) 2 1 1 kA t dt kA T E T p 2 2 1 E Ek Ep kA 2、能量在一个周期内对位置的平均值 2 0 2 6 1 2 1 1 kx dx kA A E A p 2 0 2 2 3 1 ) 2 1 2 1 ( 1 kA kx dx kA A E A k
推导 3、能量守恒匚 简谐运动方程 E=m2+kx2=常量 d 1 m2+-kx2)=0 dt 2 2 d mu-+kx 0 dt d dx k +-x=0 dt 2 m
3、能量守恒 简谐运动方程 推导 2 2 常量 2 1 2 1 E mv kx ) 0 2 1 2 1 ( d d 2 2 m kx t v 0 d d d d t x kx t m v v 0 d d 2 2 x m k t x
例质量为010kg的物体,以振幅10×10-m 作简谐运动,其最大加速度为40m.s2,求: (1)振动的周期; (2)通过平衡位置的动能; (3)总能量; (4)物体在何处其动能和势能相等? 解(1)a=Aa2 max =20s max 2丌 T 0.314s
例 质量为 的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为 ，求： 0.10kg 1.0 10 m 2 2 4.0m s （1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？ 解 （1） 2 amax A A amax 1 20s 0.314s 2π T
(2)Em=m=mo242=20×103J (3)E=Em=2.0×10°J (4)E,=E.时,E=1.0×103J 由E.=-kx2=-mo2x2 p 2E =0.5×104m 2 no x=±0.707cm
（2） 2.0 10 J 3 2 2 2 k,max max 2 1 2 1 E mv m A （3） E Ek,max 2.0 10 J 3 （4） Ek Ep 时， 1.0 10 J 3 p E 由 2 2 2 p 2 1 2 1 E kx m x 2 2 2 p m E x 4 2 0.5 10 m x 0.707cm