徐州师范大学：《电路分析》第八章 相量法

第8章相量法 重点: 1.正弦量的表示、相位差 2.正弦量的相量表示 3.电路定理的相量形式

第8章 相量法 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式； ⚫ 重点： 1. 正弦量的表示、相位差；

81复数 1.复数及运算 ●复数A的表示形式 代数形式4=a+b0=√-1为虚数单位 b b OT Re Re A=a+j指数形式A=A|e 三角形式A=A|(cosO+ isin 6) 极坐标形式A=A|e=A|∠0

⚫ 复数A的表示形式 (j = − 1 为虚数单位) A b Re Im 0 a 代数形式 A=a+jb A b Re Im 0 a  |A| 三角形式 A A j = + | | (cos sin )   8.1 复 数 1. 复数及运算 A = a + jb | | | | j A A e A  极坐标形式 = =  | | j A A e  指数形式 =

两种表示法的关系: Im A=a+jb 直角坐标表示 A A=4e0=4极坐标表示D70 Re 1A|=Va2+b2 a=a coso b 或 0= arct b= a sing 图解法 复数运算 (1)加减运算—采用代数形式 若A1=1+jib1,A2=a2+b2 Re 则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)

两种表示法的关系： A=a+jb A=|A|ej =|A|  直角坐标表示 极坐标表示      = = + a b θ A a b arctg | | 2 2 或    = = b A θ a | A | θ | |sin cos ⚫ 复数运算 则 A1±A2=(a1±a2 )+j(b1±b2 ) (1)加减运算——采用代数形式 若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1 A2 Re Im 0 A b Re Im 0 a  |A| 图解法

(2)乘除运算采用指数形式或极坐标形式 若A1=4l/1,A2=42O, 则:A1·A2=A1l.A2le12=A2e j(61+62) =AA2∠B1+2乘法:模相乘,角相加 41|41|∠01|A1|e_|A1|o12 A2|A2|∠02|42|el02|42 A, 0,-0 除法:模相除,角相减。 2 例1.5∠47+10∠-25=? 解52∠474+102-25=(3:41+3657)+(9.063-4.220 =1247-0.569=1248∠-261

(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式 若 A1=|A1 |  1 ，A2=|A2 |  2 1 2 2 1 j( ) 2 1 j 2 2 j 1 2 2 1 1 2 1 | | | | e | | | | | | e | | e | | | | 1 2 1 θ θ A A A A A A A θ A θ A A θ θ θ θ = − = =   = − 除法：模相除，角相减。 例1. 乘法：模相乘，角相加。 则: 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2       =  +  =  = + A A A A A e A e A A e j j j 547 +10 − 25 = ?   547 +10− 25 = (3.41+ j3.657)+ (9.063− j4.226)   = 12.47 − j0.569  = 12.48 − 2.61 解

例2 220∠35°+ (17+9)(4+j 20+j5 解原式=1802+j126,2+ 9.24∠27.9×7211∠56.3 20.62∠14.04 180.2+j1262+6.728∠70.16 180.2+j126.2+2.238+j6.329 1825+jl32.5=225.5236m A·c6 (3)旋转因子: e 复数el=cosO+jsin=1∠0 Re Aee相当于A逆时针旋转一个角度θ,而模不变。 故把e称为旋转因子。当A除以旋转因子时, 相当于A顺时针旋转一个角度θ,模不变

例2. ? 20 j5 (17 j9) (4 j6) 220 35 = + + +  +  (3) 旋转因子： 复数 e j =cos +jsin =1∠ A• e j 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。 故把 e j 称为旋转因子。当A除以旋转因子时， 相当于A顺时针旋转一个角度θ，模不变。 解 原式= 180.2+ j126.2    20.62 14.04 19.24 27.9 7.211 56.3     +  = 180.2+ j126.2+ 6.72870.16 = 180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329  = 182.5+ j132.5 = 225.536 A Re Im 0 A• e j 

几种不同0值时的旋转因子 元 6 Re e 2=cos-+isin 2 T 0=-2,e2=0(2)+jsim(-2)= 6=±π,e=cos(±π)+jsin(±π)=-1 故+j,-j,-1都可以看成旋转因子。即:一个复数乘以j, 相当于把该复数在复平面上逆时针旋转

e j j j = + = + = 2 sin 2 cos , 2 2      e j j j = −  + −  = −   = −  − ) 2 ) sin( 2 , cos( 2 2  =  , = cos() + sin() = −1  e j j 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。即：一个复数乘以j， 相当于把该复数在复平面上逆时针旋转 几种不同值时的旋转因子 Re Im 0 I  + jI  jI − I  −  2 

82正弦 正弦量」→◆电路中按正弦规律变化的电压或电流 正孩电流电路 激励和响应均为正弦量的电路称 为正弦电路或交流电路。 1.正弦量 波形 瞬时值表达式 i()=lmC0(什y) 周期T( perlo和频率f( frequency): 周期T:重复变化一次所需的时间。单位:s,秒 频率f:每秒重复变化的次数。单位:Hz,赫(兹)

⚫ 正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路称 为正弦电路或交流电路。 8.2 正 弦 量 1. 正弦量 瞬时值表达式： i(t)=Imcos(w t+y) 波形： t i O y/w T 周期T (period)和频率f(frequency) : 频率f ：每秒重复变化的次数。 周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：Hz，赫(兹) 单位：s，秒 T f 1 = ⚫ 正弦量 电路中按正弦规律变化的电压或电流

2正弦量的三要素 i(t=Icos(at+y) (1)幅值( amplitude)(振幅、最大值)lm 反映正弦量变化幅度的大小。 (2)角频率( angular frequency)O 相位变化的速度,反映正弦量变化快慢。 =2元 f 2兀 单位:rad/s,弧度/秒 T (3)初相位 Initial phase angle)y 反映正弦量的计时起点。 指正弦量在七0时刻的相位,平 2丌 ot 用弧度或度表示。通常在 在-180-之向间

(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im (2) 角频率(angular frequency)w 2. 正弦量的三要素 t i O y/w (3) 初相位(initial phase angle) y T Im 2  wt T w = 2 f = 2 单位： rad/s ，弧度 / 秒 反映正弦量变化幅度的大小。 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点。 指正弦量在t=0时刻的相位。 用弧度或度表示。通常在 在 之间 i(t)=Imcos(w t+y) 0 0 − + 180 180

同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同。 一般规定:|Y≤π。 y=0 y=T/2 y=-m/2

同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 t i O 一般规定：| | 。 y =0 y =/2 y =－/2

例 已知正弦电流波形如图,=103rads,(1 100 写出i)表达式; (2)求最大值发生的时间t1 50T 解i(t)=100c0s(103t+0) 0 t=0→)50=100c0s6 =±/3 由于最大值发生在计时起点之后→6=3 元 i(t)=100c0s(10°t-) 3 丌/3 当101=x/3有最大值 =1.047n 10

例 已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，（1） 写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1 t i 0 100 50 t1 解 ( ) 100cos(10 ) 3 i t = t + t = 0→50 = 100cos  =  3 由于最大值发生在计时起点之后 3   = − ) 3 ( ) 100cos(103  i t = t − 当 103 t 1 =  3 有最大值 t 1.047ms 10 3 1 ＝ 3 ＝ 